天津中考圆的复习专题

天津中考天津中考圆的复习专题（13年真题）圆的有关概念与性质，圆的切线的判定和性质，圆心角与圆周角之间的关系，垂径定理，圆与三角形和三角函数，四边形结合等题型。圆在天津中考的大题中出现在第22题，分值是8分。一、圆的基本概念圆的定义1．描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．3．圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．4．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．弦和弧1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．3．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．5．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．二、垂径定理圆的对称性圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．⑴旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心．圆的旋转对称性弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，则其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：所对的两圆心角相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．⑵轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论1：⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．二点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的外部.点在圆内点在圆的内部点在的外部.确定圆的条件1.圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定．2.过已知点作圆⑴经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4.三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.三直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点．直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点无直线名称割线切线无三、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线长和切线长定理：⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．4．弦切角等于同弧所对的圆周角．①切线的判定定理设OA为⊙O的半径，过半径外端A作⊥OA，则O到的距离d=r，∴与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．证明一直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂直，证垂直在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：(1)垂直于切线(2)过切点(3)过圆心定理：①过圆心，过切点垂直于切线OA过圆心，OA过切点A，则OA⊥AT②经过圆心，垂直于切线过切点③经过切点，垂直于切线过圆心四、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含．设两个圆为、，半径分别为、，且，与间距离为，那么就有两圆相离；两圆相外切；两圆相内切；两圆相交；两圆内含(这里)．如果两圆、相交于、两点，那么垂直平分．如果两个半径不相等的圆、圆相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线上，并且直线上，并且直线平分两外公切所夹的角和两内公切线所夹的角．如果两条外公切线分别切圆于、两点、切圆于、两点，那么两条外公切线长相等，且、都被垂直平分．处理两圆位置关系的基本思路与处理关于直线与圆位置关系问题的基本思路是一致的．相切两圆的性质连心线：是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上．①通过两圆圆心的直线叫做连心线．②如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．．（2010•天津）已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．（2011•天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．（I）如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长（结果保留根号）；（II）如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的值．．（2012•天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．．（2009•天津）如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．．（2008•天津）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，（Ⅰ）求∠AOD的度数；（Ⅱ）若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长．．（2007•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5．（1）求PE的长；（2）求△COD的面积．．（2005•天津）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，且AB=3CD，∠COD=60°．（1）求大圆半径的长；（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长．．（2004•天津）如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．（Ⅰ）求∠P的度数；（Ⅱ）求DE的长．．（2006•天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；（Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2；（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On﹣1均与AB边相切，求rn．．（2003•天津）已知，如图⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点．（1）求证：AB⊥AC；（2）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2．求的值．．（2002•天津）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D