2018年高考数学二轮复习 24 数学思想方法教学案 理

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专题24数学思想方法

函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可

能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到.因此认真体会函数与方程思想是成功高考

的关键.

在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载

体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小

题。

因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考

查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。

分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，

高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论.

预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中（尤其导数与函

数），将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求

解题.

化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体

几何的问题转化为平面几何问题,解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问

题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法.

■点知识梳理

一、函数与方程思想

一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：

单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.在解题中，善于挖掘题目的隐含

条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、

不等式、数列等问题.

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1.方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的

其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使

问题得到解决.

2.方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)=O的解就是函数y=f(x)的图象与x轴

的交点的横坐标；函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)—y=0,通过方程进行研究，方程

f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.

可用函数与方程思想解决的相关问题.

1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取

值范围等问题；

(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的

有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.

2.方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：

(1)解方程或解不等式；

(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、

区间根、区间上恒成立等知识的应用；

(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；

(4)构造方程或不等式求解问题.

二、数形结合的数学思想

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分

为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为

目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性

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来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线

的几何性质.。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：

数形结合思想解决的问题常有以下几种：

(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；

(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；

(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

(5)构建立体几何模型研究代数问题；

(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

(7)构建方程模型，求根的个数；

(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.

常见适用数形结合的两个着力点是：

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借

助于解析几何方法.

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的

结合。

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题

时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速

度.具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象

法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要

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把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后

作出两个函数的图象，由图求解.这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，

能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和

谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问

题得到简捷解决。

1.数形结合的途径

（1）通过坐标系形题数解

借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的

相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数

解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大

缩短代数推理）

实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的

对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，

如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式（X-2）2+8-1）2=4。

常见方法有：

①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为

坐标间的代数关系。

②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。

③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等

问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、

夹角、距离等问题变得有章可循。

（2）通过转化构造数题形解

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许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将

a>0与距离互化，将4与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2-2l<3INC0S^^=6。喊'=120°)与

余弦定理沟通，将a》b》c>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对

(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.

这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)。另外，函数

的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助

于相伴而充分地发挥作用。

常见的转换途径为：

①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象

和性质解决相关的问题。

②利用平面向量的数量关系及模荏的性质来寻求代数式性质。

(3)构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将/

与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。

(4)利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式(如两点间的距离

_______________d_I♦两+坳o+C|

-小+(必-为吊，点到直线的距离JN+炉,直线的斜率，直线的截

距)、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。

2.数形结合的原则

(1)等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有

时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅

显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。

(2)双向性原则

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在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成,

仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。

例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，

若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。

（3）简单性原则

就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解

题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式一一代数问题运用

几何方法，几何问题寻找代数方法。

三、分类讨论的思想

分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基

础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于是增

加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问

题），优化解题思路，降低问题难度.

1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数

函数、对数函数等.

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给

出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.

3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对

数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角

函数的定义域等.

4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所

在的象限；点、线、面的位置关系等.

5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，

由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方

法.

6.由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数

问题时常用.

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四、化归与转化的思想

1、化归与转化的思想方法

解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等

思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，是

自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之

为“化归与转化的思想方法”.

2、化归与转化的思想方法应用的主要方向

化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题

的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向己

知转化的过程.化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步

转化的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知

识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转

化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等,

都是转化思想的体现.

3、等价转化和非等价转化

转化有等价转化和非等价转化之分.等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有

等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得

结论进行必要的验证.

高频考点突破

考点一、运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题

—x+6,xW2,

例1.若函数F(x)=3+logax,x>2,—x+6,xW2,,3+logax,x>2(a>0,且aWl)

的值域是［4,+8),则实数乃的取值范围是.

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02

解析由题意f(x)的图象如右图，则

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a>l,

3+loga224,,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(a>L,3+loga224,

・・・1VW2.

答案(b2]

【变式探究】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，

已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()

・y(千米)

—法匕/g乂千米)

.......

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1„

Ay=2,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(1,2x—

\*hps21\o(\s\up9(12

2,\*hps21\o(\s\up9(1,2x—x

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1.

By=2,EQ\*JcO\*/zFont:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(1,2x+

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(19

2,EQ\*JcO\*z，Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(1,2x—3x

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1„

C.y=4,EQ\*jcO\*/zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(1,4x—x

s21\o(\s\up9(1

Dy=4,s21\o(\s\up9(1,4x+

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(10

2,EQ\*jcO\*/zFont:Calibri，/\*hps21\o(\s\up9(1,2x—2x

【解析】由题目图象可知：该三次函数过原点,故可设该三次出数为y=f(x)=ax^bx-+cx,则y'=f(x)

r_i

F=-1,a-2,

=3ax-+2bx+c,由题意得：f(2)=0,f(2)=3,即Sa+4b+2c=0,解得＜h=_l所以、=白

U-£

U2a+4b+c=3,-

Lc=-1,

一-x.故选A.

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考点二、运用函数与方程思想解决方程问题

例2设函数f{x}=

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3x—1,x<l,

2x,,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3x—1,x<l,,2x,x，l,

则满足〃“4)=29的乃取值范围是()

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2

A.,1,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(2,,1B.[0,

1]

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2

C.,+8,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(2,,+°°

D.[1,+°°)

解析当a=2时，,3=<2)=2：=4>1,.也项=2%，.•.a=2满足题意，书滁A,B选项；当片争寸,

女尸.砥尸3x,1=1,加助=2婀，二户髓足题意，排除D选项，故答案为C.

答案C

【规律方法】

研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是

分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟

悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.

【变式探究】已知函数f(x)=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2—Ixl,xW2,

(x—2)2,x>2,,EQ\*jcO\*〃Mnt:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2—|x|,xW2,,(x—2)2,x>2,

函数g(x)=6—F(2—x),其中若函数y=F(x)—g(x)恰有4个零点，则6的取值范

围是()

EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(7

A.,+°0,EQ\*jcO\*zzFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(7,,+°°B.

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

4,EQ\*JcO\*〃巨ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7,4

\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

C.4,\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(7,4D.

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

,2,EQ\*jcO\*zzFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(7,,2

解析记力(x)=—F(2—x)在同一坐标系中作出F(x)与力(x)的图象如图，直线Afty=x

-4,当直线/〃48且与F(x)的图象相切时，由

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y=x+b'，

y=(x—2)2,,EQ\*jcO\*^Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(y=x+b,,,y=(x—2)2,

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EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(9

解得=—4,EQ\*JcO\*z，Font:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(9,4,—

EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(9

4,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(9,4—(—4)

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

4,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(7,4,

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

所以曲线力(x)向上平移4,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(7,4个

单位后，所得图象与Hx)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

因此，当4,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(7,4VZ?V2时，/'(x)与g(x)

的图象有四个不同的交点，即y=『(x)—g(x)恰有4个零点.选D.

答案D

考点三、运用函数与方程思想解决不等式问题

例3.已知函数f(x)=

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x3,xWa,

x2,x>a,,EQ\*jcO\*〃户ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x3,xWa,,x2,x>a,

若存在实数6,使函数g(x)=F(x)—6有两个零点，则a的取值范围是.

解析若OWaWl时，函数f(x)=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x3(xWa),

x2(x>a),EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(x3(xWa),,x2(x>a)

在R上递增，若或aVO时，

由图象知尸6存在。使之有两个零点，故a《(一8,0)U(1,+oo).

答案(一8,0)U(1,+8)

【规律方法】

(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决

是一种重要思想方法.

(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数

的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量

和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求

范围的量为参数.

(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高

考的一个热点.用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后

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借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式.

【变式探究】设函数f(x)=2x+3ax2+3bx+8c在x=l及x=2时取到极值.

⑴求a,b的值；

(2)若对于任意的xG［O,3］都有f(xh于成立,求c的取值范围；

(3)若方程f(x)=不有三个根，求c的取值范围.

【解析】(l)f(x)=6x:+6ax+3b=3(2x:4-2ax+b).

因为函数f(x)=2x'+3加+3bx+8c在x=l及x=2时取到极值，所以［二:'解得1］：为

If(2)=0.1b=4.

当a=-3>b=4时，

f(x)=3(2x2-6x4-4)=6(x-2)(x—1).

当x<l时，f(x)X)；

当I<xv2时，f(x)<0j

当x>2时，f(x)>0.

所以此时1与2都是极值点，

因此a=-3,b=4,f(x)=2x3-9x:+12x4-8c.

(2)由⑴知函数y=f(x)在x=l处取到极大值f⑴=5+8c,在x=2处取到极小值f(2)

=4+8c.

因为f(0)=8c,f(3)=9+8c,

所以当xe［0,3］时，函数y=f(x)的最大值是f(3)=9+8c,所以要使对于任意的x

e［0,3］都有f(x)〈c?成立，需要f(3)=9+8c〈c2,-8c—9>0,解得c〈一1或c>9.

(3)由(1)⑵知函数y=f(x)在区间(—k,1)上是增|困数，在11,为上是减函数，在(2,+工)上是增函数,

y=f(x)在x=l处取到极大值f(l)=5+8c,

在x=2处取到极小值f(2)=4+8c,f(l)>«2).

所以要使方程f(x)=c：有三个根，

需要f(2)<c-<f(l)，即4+8c<e<5+8c,

解得44-2粥vc<4+曲或4-«vcv4-2s.

考点四、运用函数与方程思想解决最优化问题

例4、某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划

修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为九12,山区边

界曲线为C,计划修建的公路为1,如图所示，M,"为C的两个端点，测得点〃到4,心的

距离分别为5千米和40千米，点”到为，心的距离分别为20千米和2.5千米，R以4，h

所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系xOy,假设曲线。符合函数y=

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EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(a

x2+b,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(a,x2+b(其中a,b

为常数)模型.

(1)求a,6的值;

(2)设公路/与曲线C相切于〃点，〃的横坐标为方.

①请写出公路/长度的函数解析式广(方)，并写出其定义域；

②当［为何值时，公路/的长度最短？求出最短长度.

解⑴由题意知，点弘N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).

将其分别代入

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(a

y=x2+b,EQ\*JcO\*〃户ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a,x2+b,得

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a

=2.5,,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(a,=2.5,

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a=l000,

解得b=0.,EQ\*JcO\*/zFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(a=l000,,b=0.

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000

(2)①由(1)知，y=x2,EQ\*jcO\*〃Mnt:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000,x2

(5WxW20),

“Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000

则点尸的坐标为t2,〃Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000,t2,

设在点尸处的切线/交x,y轴分别于4B点,

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2000

y'=—x3,EQ\*JcO\*z，Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(2000,x3,

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000

则1的方程为y—t2,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，/\*hps21\o(\s\up9(1000,t2

(2000

=-13,(2000,t3(x—t)9

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3t

由止匕得A,O,EQ\*jcO\*/zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3t,,0,B

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3000

t2,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3000,t2.

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(3000

故广(方)=2,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3000,2

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p9(3EQ\*jcO\*'Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(4X106

=2,p9(3,2t4,EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(4X106,t4,序

[5,20].

②设g(r)=£+W

L

则£(f)=2L

令g'⑺=0,解得

当£(5,IOS)时，g1(0<0,g⑴是减函数;

当fE(loS,20：时，g,(r)>0,g⑴是增函数.

从而，当f=10把时，函数g⑴有极小值，也是最小值，

所以g(r)5=300,此时Ona—1.

答：当r=ioS时，公路『的长度最短，最短长度为isS千米.

【规律方法】

解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，

思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决.

【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要

建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相

邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，

且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式.

(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

【解析】(1)设需要新建n个桥墩，(n+l)x=m,

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

即n=x,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(m,x—1,所以y=f(x)

=256n+(n+1)(2+)x=256

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

—1,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(m,—1+

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

x,EQ\*JcO\*^Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(m,x(2+)x

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(256m

x,EQ\*JcO\*〃户ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(256m,x+m+2m—256.

(2)由⑴知，『(x)=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(256m(\s\up9(1

x2,EQ\*jcO\*，zFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(256m,x2+2,(\s\up9(1,2m,x—

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1

2,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(1,2=

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EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

2x2,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(m,2x2(x

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3

2,EQ\*jcO\*/zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3,2—512).

3

令(x)=0,得x2,3,2=512,所以x=64.

当0VxV64时*(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数；

当64VxV640时，伊(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数,

所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

n=x,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(m,x-1=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(640

64,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(640,64—1=9.

故需新建9个桥墩才能使y最小.

【小结反思】

1.函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现.

2.有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想.

3.有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想.我们可以有意通

过函数思想部分训练提升自己的数学能力.

考点五、用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题

例5、(1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+l)=f(x—1)；②当x£［—L1］时，

f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是()

A.5个B.7个C.9个D.10个

⑵设有函数f(x)=a+和g(x)=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(4一

3,EQ\*JcO\*zzFont:Calibrizz\*hps21\o(\s\up9(4,3x+l,已知x£［—4,0］时恒有

f(x)Wg(x),求实数a的取值范围.

思路点拨：(D在同一坐标系中画出y=f(x)和y=：gx的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数.

(2)先将不等式其x)秘x)转化为《一x：-4烂玄+1-a,然后在同一坐标系中分别作出函数y=V-x：-4x

和y号+—a的图象，移动y与+1的图象使其满足条件，数形结合得要满足的数量关系.

解析：⑴由题意可知,却0是以2为周期,值域为［0,1］的函数.又f(x)=lgx,则x&O,10］,画出两

困数图象，则交点个数即为解的个数.

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由图象可知共9个交点，故选C.

EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(4

⑵f(x)Wg(x),即a+W3,EQ\*jcO\*"户ont:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(4,3x

+1，

\s\up9(4

变形得W3,\s\up9(4,3x+l—a,

令y=，①

EQ\*jcO\*，zFont:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(4

y=3,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(4,3x+1—a,②

①变形得(x+2>+y2=4(y20),即表示以(-2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆&口图);

②表示斜率为§纵截距为1-a的平行直线系(如图).

设与圆相切的直线为AT,其倾斜角为a,

47T

则有tana=70<a<y,

.,.sina=t,cosa=|,

c,、<903+a\1-cos(90，+a)

OA=2tan：―；—•

,f-sin(903+a)

r1+sina

=：-----------=

cosa

要使f(x)Sg(x)在x€[-4,0]B寸恒成立，

则②所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-心6,；.a的范围为｛a瞄-

误区警示：作图时弄清y=lgx的图象何时超过1,否则易造成结果错误.

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【规律方法】

(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解

的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的

表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个

函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.

(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多

个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化的数量关系来解决不等式的解的问题，

往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.

(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降，奇偶性经常联系函数图象的对称性，最

值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.

【变式探究】已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x—4)=—f(x),且在区间［0,2］

上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x”x2,x3,x4,则Xi

+x2+x3+x4=.

【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x),由f(x)为奇函数，所

以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=。.由f(x-4)=-f(x：知f(x-8)二贞x),所以函数是以8为周期的周期

函数，又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以f(x)在区间［-2,Q］上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)

=m［m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根xi,大，位，xx,不妨设X1<X2<K<X4由对称性知x】+x：=-

12,xs+xi=4所以x1+x：+x5+x4=—12+4=-3.

【答案】一8.

考点六、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题

例6、⑴已知x,y满足条件

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(x2

16,EQ\*jcO\*z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(x2,16+

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(y2

25,EQ\*jcO\*z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(y2,25=1,求y—3x的最大值与

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最小值.

⑵已知实数Xy满足不等式组

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2+y2W4,

x20,,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(x24y2W4,,x20,求函数

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y+3

z=x+l,EQ\*JcO\*zzFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(y-f~3,x+1的值域.

思路点拨：(d☆b=y—3x,即y=3x+b,视b为直线y=3x+b的截距，而直线与椭

圆必有公共点，故相切时，b有最值.

(2)此题可转化成过点(一1,—3)与不等式组

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2+y2W4,

x20,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(x2~f~y2W4,,x20表示区域的

点的连线的斜率的范围.

【解析】⑴令y—3x=b,则y=3x+b,原问题转化为在椭圆

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2

16,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(x2,16+

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y2

25,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(y2,25=1上找一点,使过该点的

直线斜率为3,且在y轴上有最大截距或最小截距.

由图可知，当直线y=3x+b与椭圆

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2

16,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(x2,16+

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y2

25,EQ\*jcO\*"Mnt:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y2,25=1相切时，有最大或最小

的截距.

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2

将y=3x+b代入16,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(x2,16+

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y2

25,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，/\*hps21\o(\s\up9(y2,25=1,

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得169x2+96bx+l6b2—400=0,

令A=0,解得b=±13.

故y-3x的最大值为13,最小值为一13.

(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆婷+F=4的右半圆域(含边界)，可改写为y

+3=z(x+1),

把z看作参数，则此方程表示过定点P(-l,-3),斜率为z的直线系.

那么所求问题的几何意义是：求过半圆域+(定0)内或边界上任一点与过点式-1,-3)的直线斜

率的最大、最小值.

Zmax

EQ\*icO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2—(—3)

0—(—1),EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(2—(—3),0—(—1)

=5.

过点P向半圆作切线，切线的斜率最小.

设切点为B(a,b),则过点B的切线方程为ax+by=4.又B在半圆周上，P在切线上，

则有

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a2+b2=4,

—a—3b=4,,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(a2+b2=4,，一a—3b=4,

又a>0,

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(6—3

解得6因此Zmin=3,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(6—3,3.

综上可知函数的值域为

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EQ\*jcO\*'Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(6—3

,5,EQ\*jcO\*"户ont:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(6—3,,5.

误区警示：此题很容易犯的错误是由z=

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(y+3

x+l,EQ\*jcO\*z/Font:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(y^3,x+1得到点(一1,一3)的

坐标时，很容易写成(1,3),所以做题时要看清顺序.

【规律方法】

如果参数、代数式的结构蕴含着明