等式与不等式的性质解析版公开课教学设计课件资料

专题03等式与不等式的性质

【考纲要求】

1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.

2、会利用不等式性质比较大小

【思维导图】

两个关数db,其大小关系有三种可能，印第，Mb.

依据d>b^a-b>Qa=b^a~b=0

基确一要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的是与0的大小

本

事

实

①如果a=b,那么b=a

②如果a=b,b=c,那么a=c

③如果a=b,那么a士c=b±c

等

④如果a=b,那么ac=bc

式/

性⑤如果a=b"0,那么

fcc

质

与

不IQ别名性质内容注意

等

对称性a>b<^>b<a今

式

性传递性a>b,b>c=^a>c不可逆

质

可加性a>b<^a~^c>b+c可逆

a>btc>Q=>ae>bc

可柬性c的符号

a>b,c<0=>ac<bc

同向可加性a>btc>d=>a+c>b+d同向

同向

同向同正可乘姓a>b>0tC>d>0=>ac>bd

不

等可兼方性a>bX)=a">3(〃£N,n>2)同正

式

性

质

【考点总结】

【考点总结】

一、等式的基本性质

性质1如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,那么〃=c；

性质3如果a=b,那么a±c=b±c；

性质4如果a=b,那么ac=bc\

性质5如果a=b,c#),那么

二、不等式的概念

我们用数学符号“尹"岂"、"W’连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些

不等号的式子叫做不等式.

三、比较两个实数。、力大小的依据

文字语言符号表示

如果a>hf那么a—b是正数；

a>b<^>a—b>0

如果a<bf那么a-b是负数；

a<b<^a-b<0

如果。=力，那么〃一〃等于0,

a=boa—b=0

反之亦然

［化解疑难］

1.上面的表示“等价于“，即可以互相推出.

2.右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数

的运算性质与大小顺序之间的关系.

四、不等式的性质

(1)对称性：a>bob<a；

⑵传递性：a>h,b>c=^a>c；

(3)可加性：a>b=>a-\~c>b+c.

a>b]

推论(同向可加性)：J^a+ob+d；

c>a)

a>b]a>b]

(4)可乘性：„\^>ac>hc-,\^ac<bc-,

c>OJc<0nJ

6Z>Z»O]

推论(同向同正可乘性)：\^>ac>bd-.

c>力OJ

(5)正数乘方性：a>6>0=a">〃5GN*,n>l)；

(6)正数开方性：a>b>0=>y［a>y［b(nGN*,n>2).

［化解疑难］

1.在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.

2.要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.

【题型汇编】

题型一：利用不等式的性质比较数(式)大小

题型二：作差法比较数(式)大小

题型三：利用不等式的性质证明不等式

【题型讲解】

题型一：利用不等式的性质比较数(式)大小

一、单选题

1.(2022・浙江•三模)已知a,b,c,deR,S.a<b<c,c^d,(a-d)(b-d)(c-d)+c=d,则()

A."v"B.a<d<hC.b<d<cD.d>c

【答案】B

【解析】

【分析】

由(“-4)3—d)(c-4)+c=d得(a-d)3-d)=-l<0,结合“〈匕即可求解.

【详解】

由题意知：(a-d)(b-d)(c-d)=d-c,又cwd,则(a-d)(6-d)=-l<0,显然a-d,b-d异号,

又a<b,所以a<4<b<c.

故选：B.

2.(2022•北京・北大附中三模)已知。>人>0,下列不等式中正确的是()

A.—>yB.ab<h2

ab

C.a-b-\——-->2D.—!—<—!—

a-ba-\b-\

【答案】C

【解析】

【分析】

由。>匕>0,结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.

【详解】

解：对于选项A,因为a>b>0,0<」<2,而c的正负不确定，故A错误；

ab

对于选项B,因为。>方>0,所以外>从，故B错误;

对于选项C,依题意a>8>0,所以a—匕>0,—!->0,所以a-b+—Lw2j(a-6)x—!-=2,故C正确;

a-ba-bVa-b

对于选项。，因为〃>b>0,a-1>>-1,7与—止负不确定，故大小不确定，故D错误；

a-\b-\

故选：C.

3.(2022•江西萍乡•三模(理))设。=21nl.01,*=>/LO2-1,。=击，则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.h<a<cD.c<b<a

【答案】D

【解析】

【分析】

令/(x)=lnx,g(x)=«—l,h(x)=f(x)-g(x)=Inx-4+1，求导研究函数〃*)的单调性，从而得到。>8,

利用不等式的性质比较得出h>c,从而求得答案.

【详解】

令/(无)=加元送(工)=&-1,

h(x)=f(x)-g(x)=\nx->/x+l,

//(%)---一\=="正，可以判断Kx)在［0,4)上单调递增，

x2y1x2x

a-》=21n1.01-«55+l=In1.()/-而JT+1=In1.0201-455+1

>In1.02-^/L02+1=〃(1.02)>〃⑴=0,

所以a>h,

S+1)-C+I)』.02Y+-L)2=3-2.^=202200_2=」__

1011001011012100x1011012100x1011012

所以S+l)2>(c+l)2,

又因为b=Jl.02-1>0,c=>0,

所以b+l>c+l,即b>c,所以

故选：D.

4.(2022・北京•二模)是"(加一〃)(1。82，%-1。82〃)>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据不等式的性质，求解出(/n-n)(log2z72-log2n)>0,进而根据逻辑关系进行判断即可.

【详解】

对于(〃[一〃)(log?-log?〃)>0等价为：

nt-n>0[m-n<0

〈或《

[log2m-log2〃>0[log2m-log2n<0

m>nfm<n

即.《或《

[log2/n>log2n[log2tn<log2n

得：M>〃>0或0<机<〃，

，“小>〃>0”是“(m-«)(log2m-log2冷>0”的充分不必要条件.

故选：A.

5.(2022・江西鹰潭•二模(理))己知。>0,匕>0,且j"=手则下列不等式中恒成立的个数是()

①②③b_a<e〃-e"(4)ln£！5<：/2^7-72^7

b<ahab+52

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

①，分析得到所以匕―正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断

得解；④，转化为判断21nm+5)-"^<21皿+5)-亚而，再构造函数利用导数判断函数的单调性即得

解.

【详解】

解：①，若=所以矛盾，所以。所以厂；<小；正确；

b+l0

小1,11,1n.rzx1/八、/，/、(X+1)(X-1)

②,CI—<h—fu-\—</?4—,设f(X)=XH—,(X>0),/.f(x)------2-----，

baabxx

所以当xe(0,l)时，函数/(x)单调递减，当xe(l,+8)时，函数/(x)单调递增，因为a<b,所以+!不

恒成立，如a=gj(g)=圻=1J⑴=2<f(；),所以该命题错误；

③，e"-a<e"-b,设g(x)=ex-x,:.g'(x)=ex-l>0,:.g(x)在(0,-KO)单调递增，因为a<6,所以e"-a<e"-A

恒成立，所以该命题正确：

④，In<“2a+172b曰=2ln(a+5)-j2a+7<2Ing+5)-，2「+7,

b+52

设〃(x)=2ln(x+5)-<2x+7,

所以h'(x)=2^/^7-(x+5)=4(2x+7)-(x+5尸

(x+5)j2x+7(x+5),2x+7[2>/2x+7+(x+5)]

-(-r-l)(x+2)^

(x+5)j2x+7[2j2x+7+(x+5)]'

所以函数〃(x)在(0,1)单调递增，在(1,”)单调递减.

取a=1,e*-'=——(b+l)e*6=3e,

b+1

设k(x)=(x+l)ex,.'.k'(x)=(x+2)ex>0,所以k(x)在(0,+oo)单调递增，

k。)=2e<3e,k(2)=3e2>3e,

所以存在6e(1,2),(6+l)e〃>3e,

止匕时2ln(a+5)-j2a+7>2ln(6+5)-。2〃+7,

所以该命题错误.

故选：B

6.(2022•山东日照•二模)若“，b,c为实数，S.a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是()

A.a+c<b+cB.—<-C.ac>beD.b-a>c

ab

【答案】A

【解析】

【分析】

由不等式的基本性质和特值法即可求解.

【详解】

对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号方

向不变，则a<8=a+c<b+c,A选项正确；

对于B选项，由不等式的基本性质知,不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变，若a=-2,

b=—l,则B选项错误；

ab

对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0,

0<a<b=>ac<bc,C选项错误；

对于D选项，因为c>0,所以无法判断方-a与c大小，D选项错误.

7.（2022•陕西渭南•二模（文））设X、”都是实数，则“x>2且>>3"是“x+y>5且孙>6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.

【详解】

由x>2旦y>3,必有x+y>5且外>6,

当x+y>5且孙>6时，如x=l,y=7不满足x>2,故不一定有x>2且y>3.

所以2且y>3”是“x+y>5且孙>6”的充分不必要条件.

故选：A

8.（2022.安徽黄山.二模（文））设实数”、分满足“>6,则下列不等式一定成立的是（）

A.a1>b~B.—<-----C.ac2>be2D.3"+3*>2

aa+\

【答案】D

【解析】

【分析】

对于A,B,C可以取特殊值验证，对于D,根据题意得3">3">0，3"+3-〃>3"+3叫利用基本不等式求

解即可.

【详解】

对于A：当a=2,b=-4时不成立，故A错误；

对于B：当a=-1,b=-\,所以2=2,组=0,即空，故C错误；

2aa+1aa4-1

对于C：当c=0时不成立，故C错误；

对于D：因为。>b,所以3">3〃>0，乂3">0，

所以3"+3”>3"+3一"N2j3"x3一"=2(等号成立的条件是匕=0)，故D正确.

故选：D.

9.(2022•宁夏六盘山高级中学二模(文))设QWO,若x=〃为函数八月=〃(工-。)2(工-6)的极小值点，则

()

A.a<bB.a>h

C.ab<a2D.ab>a2

【答案】C

【解析】

【分析】

先对函数求导，令/'*)=0,则1=。或X=虫了，然后分”色言和结合。的正负讨论判断函

数的极值点即可

【详解】

由/（x）=6T（X-6T）2（X-Z?）,

得f'M=2a(x-a)(x-b)+a{x-a)2—a(x—a)(3x-a-2b),

令((x)=0,则彳=。或X=巴产，

当。<丝竺，即时，

3

若4>0时，则“X)在(-8,4),(M产,+8)上单调递增，在名")上单调递减,

所以X=4是函数的极大值点，不合题意，

若。<0时，则Ax)在(-«),a),(土产，茁)上单调递减，在上单调递增，

所以尤=。是函数的极小值点，满足题意，此时由a<0,可得/>必，

3a+2b…

当。＞---时，a＞b,

„.,、Ja+2b土产"，上单调递增,

若。＜0时，/U）^l-CO.-y-,3,物)上单调递减，在

所以x=a是函数的极大值点，不合题意,

〃+2b色|丝，，上单调递减,

若a>0时，/⑴在f3,m,yo)上单调递增，在

所以x=。是函数的极小值点，满足题意，此时由々>6,〃>0得〃2>ab,

综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，

故选：C

10.（2022♦江西•二模（文））已知正实数m人满足。+。=1,则下列结论不正确的是（）

A.有最大值g

14

B.上+；的最小值是9

ab

C.若a>b，则

a'b~

D.logza+log2。的最大值为。

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

对A：a>0,>0,1=a+b>2^/ab,y[abW—,

当且仅当a=b=；时，等号成立，故A正确；

14（\

对B：-+-=-+-（«+/>）=5+-+—>9,

ab\ab）ab

1?

当且仅当2a=b,即a力=（时，等号成立，故B正确；

对C：>/?>0,•*.a~>b~1•**~<yy,故C正确；

对D:由A可知0<"«—,故log,a+log"=log,ab<log,-7=-2,

44

当且仅当。=8=g时.，等号成立，故D错误.

故选：D.

二、多选题

1.（2022•全国•模拟预测）已知l<;<0,则下列不等关系中正确的是（）

ab

A.ab>a-bB.ab<-a—bC.—+—>2D.—>—

abab

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假.

【详解】

对A,由一<;<0,得当〃=---,b=—2时，A错误；

ab2

对B,当。=一2,〃=一3时，B错误；

对C,由得b<a<0,根据基本不等式知，C正确：

ab

对D,由1<1<0,得6<a<0,所以从>〃2,因为2-色=止《.>。，所以D正确.

ababah

故选：CD.

2.（2022・辽宁•二模）己知非零实数如匕满足〃>屹1+1,则下列不等关系一定成立的是（）

A.a2>h2+\B.2">2b+l

D.加+1

C.a2>4b

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用不等式的性质及特殊值法判断即可.

【详解】

解：对于非零实数。，6满足。习切+1,则/>（闻+1>,

即/>从+2闻+1>6+1,故A一定成立;

因为。>1勿+1泊+1=2">2"1故B一定成立;

又（|“-l）2z0,即后+122|切，所以/>4|勿246,故C一定成立;

b=3,满足此时料=3

对于D：令a=5,<〃+1=4故D不一定成立.

故选：ABC

3.(2022・重庆・二模)已知2"=5〃=10,贝U()

11

A.—+->1tB.a>2bC.ab>4D.a+b>4

ab

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.

【详解】

ab

2=5=10,/.a=log2iOyb=log510,

1,1_1,1_1।1_坨211g5

对于A,ablog210log510lg£<>IglOIglOIglO

lg5

=logI02+log105=log102x5=log1010=1,故A不正确；

2

对于B,-：a=log210,2b=2log510=log510=log5100,

23=8,24=16,52=25,53=125

log28<log210<log216=>3<a<4;logs25<log5100<log5125=>2<2Z?<3,

a>2h,故B正确；

对于c,岫=1吗10・1幅10=答袅=字鲁•异詈=（1+1啕5）（1+32）

1g21g5lg2lg5

=l+log25+log52+log251og52=2+log,5+log52

log25>log,4=2,log52>log51=06/Z>>2+2+0=4,故C正确；

311

对于D,由B知，3<<4,2<2b<31<b<一4<a+b<—,故DlE确；

22

故选：BCD.

题型二：作差法比较数（式）大小

—,单选题

1.（2022.全国.模拟预测（理））已知a>匕>J>0,则下列结论正确的是（）

a

A.⑶">1B.log〃<logJ

\a）bb

C.log/vlog"D.b--<a--

baah

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即

可得答案.

【详解】

因为。>b>L>0,所以4>1,

a

b

对于A：0<-<l,a-b>0,所以故A错误;

a

对于B：Y>1,所以'=垢8g”在（0,+8）上为增函数,

bb

又a>b,所以log/'bgj,故B错误；

bb

对于C："gg"T°g^b=l°g巴a+log„b=log„ab,

babbb

因哈“>】，所以log产号叫

所以bg£”>bg〃，故C错误；

ba

一；1TC,11l-ab}

对于D：b------a--\=b-a+---------=(za-b)\—―,

ayb)ba\ab)

因为a-b>0,ab>\,

所以6-，—储-口=(4-与(可)<0,gpz,_l<(7_'故D正确.

a\bj\ab)ab

故选：D

2.（2022•重庆•二模）若非零实数“，h满足。>6,则下列不等式一定成立的是（）

A.B.a+b>2\[ab

ab

C.Iga2>1g/?2D.a3>b3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，由因为“>〃，可得b-a<0,当时不确定，所以A错误;

对于B中，只有当a>0,0>0,4b不相等时，才有。+。>2而成立，所以B错误；

对于C中，例如4=1,6=-2,此时满足a>b,但所以C错误；

对于D中，由不等式的基本性质，当人时，可得成立，所以D正确.

故选：D.

3.(2022・江西上饶二模(理))设〃=1_3-匕113，b=£,c=噌，其中e是自然对数的底数，则()

242ece4"12

注：e=2.718…,ln2=0.693…

A.b<a<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】c

【解析】

【分析】

构造函数/(x)=W，则人=/(e)、c=/(41n2),利用导数研究函数的单调性可得

e

0>c；根据作差法和对数的运算性质可得c-a=：(lnG-4+26),构造新函数

g(x)=lnx-生?(x>0),利用导数研究函数的性质可得ln6-4+2G>0，

x+\

进而c>a,即可得出结果.

【详解】

令f(x)=。，

e

1—X

则小)=一，令八x)=Onx=l,

e

x

则/在a”)单调递减，

e

e41n2

所以b=^=/(e),c=-^=/(41n2),

ee

・.♦41n2>4x0.69=2.76>e,/.b>c；

41n2

e4m2

.In2A/31.1rr.*/T.

••c-a=-------1+—+—In—=—(ZI1nV3-4+2v3)，

42424

令g(x)=InX_2(x;DQ>0),

x+l

14(r-l)2

则g'(R)=--~~-7=告~\>0,・・・g(X)在(1,4W)单调递增,

x(x+l)~x(x+l)~

・・・P(V3)=lnV3-2(^~l)=lnV3-4+2>/3>0,

V3+l

：.c>a.

综上，b>c>a.

故选：C

4.(2022•安徽黄山•二模(文))设实数%方满足〃>如则下列不等式一定成立的是()

A.a1>b'B.—<-----C.ac1>be1D.3"+3"'>2

aa+1

【答案】D

【解析】

【分析】

对于A,B,C可以取特殊值验证，对于D,根据题意得3">3">0，3"+3">3〃+3”，利用基本不等式求

解即可.

【详解】

对于A：当a=2,b=T时不成立，故A错误；

对于B：当“=一4，b=—l,所以2=2,虻1=0,即2>小1,故C错误；

2a。+1aa+l

对于C：当c=0时不成立，故C错误；

对于D：因为a>b,所以3">3">0，又3">0，

所以3"+3">3］+3一”22y13bx3"=2（等号成立的条件是分=0），故D正确.

故选：D.

5.（2022・广东广州•一•模）若正实数a,b满足a>b,且InaJn人>0,则下列不等式一定成立的是（）

A.log„Z?<0B.a-->b--C.2uZ,+,<2a+bD.ab^'<b"'

ba

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数单调性及lna-ln0>0得至或分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项

可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项,

需要构造函数进行求解.

【详解】

因为a>6>0,）'=Inx为单调递增函数，故lna>ln/?,由于lna」n〃>0,故Ina>lnb>0,或lnb<lna<0,

当lna>lnb>0时,a>b>\,此时log“b>0：

a-6）［1-乙］>0,故；

b\a）Iab）ba

而+=2aM>2a+b;

当lnZ?vlna<0R寸，0<b<a<l,此时bg“b>0,«-y-|/?--|=（6t-/?）|1--y|<0,^a-\<b--；

b\a）\ab）ba

而+l-(a+/?)=(a-l)(人一l)〉0,2aM>2a+h;

故ABC均错误；

D选项，ah-'<ba-',两边取自然对数，仅-l)lna<(a-l)lnb,因为不管还是,均有

(4一1)仅一1)>0,所以当<丝，故只需证里〈瞥即可，

a-\b-\a-\b-\

1।

inx1f-----InX|

设--(x>0且xwl),则尸(工)=X2,令g(x)=l------Inx(x>0且xwl),则

X-(x-1)2X

g'(x)=3—1=M，当xe(O,l)时，g'(x)>0,当时，g'(x)<0,所以g(x)<g⑴=0,所以

r(x)<0在x>0且XHI上恒成立，故外同=巫(x>0且xwl)单调递减，因为。>6,所以迎〈学，

结论得证，D正确

故选：D

6.(2022•山西太原•二模(文))已知3"=2,5"=3,则下列结论正确的有()

®a<b②4++：③a+b<2ab®a+ah<b+ba

ab

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

求出。、b的值，比较。、匕的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式

逐项判断可得出合适的选项.

【详解】

因为3"=2,5'=3,则a=logj2,b=log53.

■2-2

对于①，25<32,则2<3储从而0=10831<。=10832<108333=§,

,22-2

•/33>52,则则一=k)gs53<k)gs3=》<k)g55=1,HP0<a<-<i<l,①对；

J°33

对于②，。叫+|}-{|=("蜉叫'

211

因为。则。一/?•<(),0<cib<1,所以，—>/?+：,②错；

3ab

对于③，2ab=21og32log53=21og52=log54,

所以，”+Tg%2+bg5370g54=嘀2-岷4呜6-1叫石=。，

所以，a+b>2ab,③错；

对于④，构造函数f(x)=W，其中()<x<e,则/'(力=与篝.

当0<x<e时,r(x)>0,则函数f(x)在(O,e)上单调递增,

因为则“。)</(3，即吆<华，可得d<b"，所以，a+ab<b+b",④对.

ab

故选：B.

7.(2022•河北衡水中学一模)已知则下列结论一定正确的是()

ab

A.a2>b2B.—+—<2C.D.Iga2<\gab

ab

【答案】D

【解析】

【分析】

由!<?<0,得到b<a<0,结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定,

ab

即可求解.

【详解】

由,<,<0,可得b<a<0,则a+匕V0,。一匕>0"必>0,

ab

对于A中，由。2—/=(a+b)(a-b)<Q,所以/<6，所以A不正确；

贝心+乌>2区屋2,所以B不正确;

对于B中，由一<0,7>0,且一声：，

ababab\ab

对于C中，由同">0,同〃>0,且卷=

14〜，

当时>1时,音=小>1,此时同">

*

当14=1时，4=14""'=1，此时|a『=

i小

间

当时<1时,"<1,此时向“<

“，所以c不正确；

2

对于D中,由1ga2-lgab=lg—=lg—,因为b<a<0,可得

ahbb

所以lgf<0,可得lga2<iga/>,所以D正确.

h

故选：D.

8.（2022•重庆•三模）己知〃=0=3，b=0胃9,c=sin0.1,则。，b,。的大小关系正确的是（）

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】

作差法比较出构造函数，利用函数单调性比较出c>“，从而得出c>a>4

【详解】

,0.30.90.3兀-0.903x3-0.9,、,,„,,,_,,,

a-b=------=-----j——>----2----=0,所CC以I,a-b>0,故a>b,X/（x）=7tsinx-3x,则

nn

0向上单调递减,且^-3<0,所以存在与e

/'(X)=7TCOSX-3在X£又广⑼=兀-3>0,f

使得/'（%）=0,且在xe（O,x（））时，f'（x）>0,在xe（xo,费时•，/（x）<0,即/。）=兀$吊》一3%在彳€（0,%）

乂竺0兀一3>0,所以%>号,又因为了（0）=0,所以

上单调递增，在X€单调递减，W.f'

41N

当xw(O,x0)时，y(x)=7rsinx-3x>0,其中因为得靖，所以持(0,须)，所以/品)=7tsin0.1-0.3>0,

故sin0.1>”,即c>a>6.

故选：B

9.（2022.湖南.雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间

颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：加2）分别为孙y,2,且xvyvz,三种颜色涂料的粉

刷费用（单位：元/疝）分别为。，b,c,且在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是

A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay-^-bx+cz

【答案】B

【解析】

【详解】

由xvyvz,a<b<c,所以or+by+cz-(az+by+cr)=a(x-z)+c(z-x)

=(x-z)(^z-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx；同理，ay+bz+cx-(ay+bx+cz)

=b(z—x)+c(x-z)=(x—z)(c-Z?)<0,古攵ay+Z?z+exv纱+bx+cz.因为az+力y+or-(ay+Z?z+ex)

=a(z-y)+0(y-z)=(a-Z?)(z-y)<0,故或+少+3<殁+m+3.故最低费用为成+办+5.故选B.

二、多选题

1.(2022・山东日照•三模)某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r>0),劳累程度

T(O<7'<1),劳动动机可1<。<5)相关，并建立了数学模型E=10-10T»«」〃，已知甲、乙为该公司的员

工，则下列结论正确的是()

A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低

C.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.则甲比乙劳累程度弱

D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

【答案】AC

【解析】

【分析】

设甲与乙的工人工作效率月,马,工作年限小今，劳累程度小靠，劳动动机片,仇，利用作差法和指数函数的

性质比较大小即可判断选项AB：利用作商法和'幕函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD.

【详解】

设甲与乙的工人工作效率耳,外，工作年限小与，劳累程度1名，劳动动机々也,

Mr

对于A,bi=b2,ri>r2,Ti<T2,\<b<5,0<b^<\：.b^>b^',T2>Ti>Q,

则£；-EzulOTOlk""_(10-10④2产刎)=10传力产&_14«力>0,

/.Et>E2,即甲比乙工作效率高，故A正确；

对于B,工=£，八>0，片>包，；.1>与°'4>6：”>0力丁3>伪4”攵>坪。叫，

则耳一4=10T叫曲向"电>外)=1四(石0i_。4")>0,

E,>E2,即甲比乙工作效率高，故B错误：

对于C,ft,=i>2,E,>E2,rt<r2,

4r2r,24r

：.Et-E2=10(7^-b^'-Tt-b^)>0,T2b^>Tl-b^''

.4T>能>-0.14/;

l\02

所以石>工，即甲比乙劳累程度弱，故C正确；

对于D,4=公&<4,0<3<1,

4r4

Z.Et-E2=10（7；-b^-Tt-b^''）>0,（。。…>7；"i•途>£5酝=（4尸"㈤>1，

所以《>7；,即甲比乙劳累程度弱，故D错误.

故选：AC

2.（2022•辽宁葫芦岛•二模）已知a+h+-+^-=5,则下列不等式成立的是（）

ab

A.l<a+b<4B.］：+“（\+Q）N4

C-%4>［+"）'D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

AB