高中数学：教案：高中数学人教A版2019必修 第一册 函数的单调性

《单调性与最大(小)值第一课时一一单调性》教学设计

一、教学目标

(1)通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的

完整过程；

(2)通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象，从特殊到一般，从

感性到理性的认知过程，体现数学的理性精神和力量。

(3)理解函数单调性的相关概念，掌握用定义证明简单函数单调性的一般

方法.

二、教学重难点

教学重点：函数单调性的符号语言刻画，判断和证明简单函数的单调性。

教学难点：函数单调性的符号语言刻画.

三、教学过程设计

一、情境引入

引导语：同学们，前面我们学习了函数的定义和表示法，今天我们继续来研

究函数的性质。

问题1：请观察图象，并依次说明函数图象从左往右上升与下降的趋势.

师生活动：教师用PPT展示例子，学生观察图象后回答问题，学生一块回答,

教师注意引导学生关注函数图象从左到右上升或下降的特点，要求学生注意语言

的规范性.

教师指出：在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大

(或减小)的性质，这就是函数的单调性，下面我们进一步用符号语言刻画这一

性质.

设计意图：通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结合初中知识，

符合学生掌握知识的最近发展区，激发学生的学习兴趣.

二、探索新知

问题2：观察二次函数/（%）=/图象，回答下列问题:

（1）在（F,0］函数图象上升还是下降？

（2）能从自变量％和函数值）的变化说明上述图象特点吗？

师生活动：学生口答，教师强调严谨性.

设计意图：从图象直观，定性刻画两方面让学生感受单调性，为后续定量刻画做

好铺垫.

追问：（3）如何用数学符号语言刻画》和y的这种变化？

师生活动：小组讨论，学生代表回答，教师强调要点.

设计意图：本环节十本节课的重点也是难点，可能面临问题是学生不会定量刻画，

可以适当引导，设立符合学生认知水平的问题串：比较大小需要几个量？如何体

现随工增大？丁减小呢？取值的时候是任意取还是只要有两个就行？让学生通

过合作探究，发现定义，体会成功的喜悦。

问题3：请大家仿照在（-8,0］上的分析，完成在［0,+8）上的相应问题.

⑴在［0+8）函数图象上升还是下降？

⑵能从自变量》和函数值y的变化说明上述图象特点吗？

⑶如何用数学符号语言刻画％和y的这种变化？

师生活动：学生小组讨论，共同呈现答案。

设计意图：让学生用类比思想解决问题，强化学生的数学思维，加深对单调性的

理解.

三、形成定义

教师板书定义的严格形式：一般地，设函数/（X）的定义域为/,区间。口/：

如果,当药＜%时，者陌，那么就称函数/（X）在区

间。上单调递增.

特别地，当函数/（X）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

如果,当西＜々时，者陌，那么就称函数/（X）在区

间。上单调递减.

特别地，当函数/（X）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

如果函数y="X）在区间D上单调递增或递减，那么就说函数y=于3在这

一区间具有（严格的）单调性，区间。叫做y=/（x）的单调区间.

设计意图：在前面学生理解的基础上给出严格定义，体现数学的严谨性.

四、思考探究

问题4：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举下列例子吗？

（1）在整个定义域内是单调递增的函数？

（2）在整个定义域内是单调递减的函数？

（3）在定义域内某些区间单调递增而在另一些区间上单调递减的函数？

请举例、画图并说出单调区间.

师生互动：学生完成，教师投影典型解答.

设计意图：通过展示不同学生的作业，加深学生对单调性的理解；通过画图象，

强化对单调性图象直观的认识.

五、巩固新知

例1:物理学中的玻意耳定律（左为正常数）告诉我们，对于一定量的气

体，当其体积V增大时，压强P将减小.

（1）玻意耳定律对应函数的什么性质？

（2）试用数学知识对定律进行证明.

追问：（1）自变量，函数值分别是谁？

（2）如何比较。1，2大小？

（3）做差之后要比较与谁的关系？

（4）怎样的形式才方便比较与。的关系？

师生互动：学生回答问题（1）,得到单调递减的结论，教师在此基础上引导学生

分析用定义该如何证明，教师板书过程，学生讨论一般步骤并回答，教师完善.

设计意图：这是物理学中的一个公式，本例要使学生体会函数模型可以用来刻画

现实世界中的现象，加深学生对数学的理解；通过问题串的形式，降低定理证明

的难度，培养学生分析问题解决问题的能力，培养学生的数学核心素养.让学生

体会代数证明的一般方法，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.

六、举一反三

练习1：画出反比例函数/（x）="（左＜o）的图象.

X

（1）这个函数的定义域/是什么？

（2）它在定义域/上的单调性是怎样的？证明你的结论？

师生互动：教师画出图象，师生共同写出定义域，学生通过图象回答单调性，强

调单调区间不能写成并集形式；让男女生分别推荐一人到黑板完成定理的证明，

教师点评.

设计意图：通过新颖的数学活动，增强课堂的趣味性，也同时在短时间内将题目

完全呈现，提高了课堂教学效率，也能让更多的问题暴露，教师的知道更有针对

性.

七、实战演练

根据定义证明函数于(X)=x+工在区间(l,y)上单调递增.

X

师生互动：在规定时间内完成题目，教师投影展示.

设计意图：在规定时间内完成题目，给学生强调一个良好的做题习惯，定时定量,

纠正学生平时做题拖沓的毛病，让学生认识到考试的限时