华师大版九年级数学上册教案

华师大版九年级数学上册教案

第21章二次根式

21.1二次根式

教学目标＜:«<

1•理解二次根式的概念，并利用,(a—0)的意义解答具体题目.

2-理解3(a20)是非负数和(6)2=a.

3-理解G=a(a2O)并利用它进行计算和化简.

重白难QV:«<

重占

I-形如f(a2O)的式子叫做二次根式.

2.6(a20)是一个非负数；(S)2=a(a20)及其运用.

a(a20)，

—a(a<0).

难点

利用“3(a》0)”解决具体问题.

a(a20)»

关键：用分类思想的方法导出m(a20)是一个非负数；用探究的方法导出迎=

—a(a<0).

数与设计＜：«<

一、复习引入

回顾：

当a是正数时，，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.

当a是零时，g等于0，它表示零的算术平方根.

当a是负数时，，没有意义.

二、探究新知

概括：g(aNO)表示非负数a的算术平方根，也就是说，3(a20)是一个非负数，它的平方等于a.

即有：

(lh/^》O(a2O)；(2)(3)2=a(a20).

形如金(aNO)的式子叫做二次根式.

注意：在3中，a的取值必须满足aNO，即二次根式的被开方数必须是非负数.

思考：声等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2，一2，3，一3等，分别计算对应的信的值，看看有什么规律.

概括：当a＞0时，＜7=a；当a＜0时，＜?=­a.

三、练习巩固

1・x取什么实数时，下列各式有意义？

(1A/3-4X；⑵目

(3y\](x-3)2；(4)^3x-4+A/4-3x.

2•计算下列各式的值：

⑴(标产⑵(。|)：

(3)(乎产(4)(3小F

3-若y/a+1+<b—1=0，求的值.

4•化简：

("；QN(-4)2；

(3)725；(4hJ(-3)2.

5•若一3WxW2时1试化简|x—2|+d(X+3),,

四、小结与作业

小结

1•师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：

⑴雨2=心》0)；

(2)当a20时，-\/£=a；当a<0时，<£=—a.

2•通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

布置作业

从教材相应练习和“习题21.1”中选取.

教与反思<

本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关

性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2

二次根式的乘除

21.2.1二次根式的乘法

敦字目标<：«<

理解胡•加=丽@》0，b>0)，并利用它们进行计算和化简.

由具体数据发现规律，导出6=4花(a20，b20)并运用它进行计算.

通过探究3・加=强伯》0，b，0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现

能力，激发学生的学习兴趣.

事占雅(5

，11，人d，，，，[<<<

重点

,•正=，而(a/0，b20)及它的应用.

难点

发现规律'导出而・正=，而(a20,b，0).

教学设计：«<

一、情境引入

1•填空：

("又也=________，

，4X9=________；

(2届*叵=，

[16X25=________：

(3^/700X^36=，

#100X36=.

参照上面的结果，用“>"、"v”或“="填空.

也义小________、4义9；

V16X^/25________'16X25；

VTOOXA/36A/100X36.

2.利用计算器计算填空.

小X小,水；

2X^5_______画;

^5X76_______标;

,X小_____病

二、探究新知

（学生活动）让3，4个同学上台总结规律.

教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等

于前两个二次根式的被开方数的积.

一般地，对二次根式的乘法规定为

>/a-^/b=^/ab（a5:0,b》0）.

例1计算：

解：Q邓X币=平；

1•直角三角形两条直角边的长分别为行。〃和6cm，那么此直角三角形斜边长是（）

A-3A/2cmB.3小cm

C-9cmD.27cm

2•化简a寸光的结果是（）

A.、一aB.yfa

C•—y]—aD.—y[a

3.等式后二山+1=52-1成立的条件是（）

A•x'lB.x》一l

C•一l〈xWl£>.xel或xW-1

4•下列各等式成立的是（）

A•44X2小=8小

B-5V3X4-V2=20V5

C•4小X3g=7小

D-5V3X4-V2=20V6

四、小结与作业

小结

1•由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

2•教师总结归纳二次根式的乘法规定

6.#=y[^>（a》O1b>0）.

布置作业

从教材“习题21.2”中选取.

教学反思<

这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出3・黄=丽俗》。，b》0），并学会它的应用，

培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.

21•2.2积的算术平方根

1,理解"7^=3,册(a30，b>0).

2•运用.加(a20'b20).

：«<

重占

Vab=Va-Vb(a^O，b20)及其应用.

难点

Vab=Va-Vb(a^O,b20)的理解与应用.

一、情境引入

一般地，对二次根式的乘法规定为

Va-Vb=A/ab(a>0，b，0).

反过来''Tab,b'0).

二、举例分析

教师用多媒体出示例1，引导学生利用幅=3•册(a》。，b20)直接化简.

例1化简：

(1-9X16；(2)716X81；

(3h/8lX100；(4h/54.

解：(lh/9X16=^9X716=3X4=12；

(2-16X81=标><两=4X9=36；

(3-81X100=WXVT00=9X10=90；

(4h反=y9X6=V?X,=3"

教师用多媒体出示例2，学生板演，集体讲评，注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条

件：a20，b20.

例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正：

(1N(-4)X(—9)=V-4xV-9；

三'练习巩固

1・化简：

(1酒;(2)718；(3)^24;(4/754.

2•自由落体的公式为s=*，(g为重力加速度，它的值约为10w/.y2)，若物体下落的高度为120m'

则下落的时间是s.

四、小结与作业

小结

1•通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

2•教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即

■\/^ij=„(a20，b>0).

布置作业

从教材“习题21.2”中选取.

教学反思<:«<

本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的

空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训

练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.21.2.3二次根式的除法

教学目标<：«<

2•利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式

及利用它们进行计算和化简.

3-理解最简二次根式的概念，并运用它将不是最简二次根式的化成最简二次根式.

重占难（5

=ts:，II，人H，I，I

重占

1•理解奈=耒⑺，0，b>0），耒=焉20，b>0）及利用它们进行计算和化简.

2•最简二次根式的运用.

难点

发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.

教学设计<：«<

一、情境引入

（学生活动）请同学们完成下列各题.

1•写出二次根式的乘法规定及逆向公式.

•2受

一

⑴

⑵=

⑶-

⑷=

规

916

---

36

16;

写-

46

--

8r

16;

僚

2=

0

一

写

应

V3一4;

WV3

V7

0伤V8

.—

小5*

教师用多媒体展示，每组推荐一名同学阐述运算结果，教师最后点评.

二、探究新知

刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确根据大家的练习和回答，我们可以得到:

一般地，对二次根式的除法规定

*a》0，b>0）.

加一

反过来，（a>0，b>0）.

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

例1计算：

⑴喟Q晤心'

小X5=2小;

(1沂；⑵4/；

⑶,襟

解：(1阪=3市；

内加巨64一—迎洞一-亚8；

1____正——或

n⑶小飞X小-5’

而乖X巾小

⑷m二m乂巾=2•

观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点:

(1)被开方数中不含分母；

(2)被开方数中所含的因数(或因式)的幕的指数都小于2.

教师在此过程中强调，要求最后结果化成最简二次根式.

三、练习巩固

1•化简：

Q叭信⑵717=132;

⑷

2•已知，则a的取值范围是

3•如图，在/?/AABC中，ZC=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长.

第1题可由学生自主完成，第2、3题教师可给予相应的指导.

四、小结与作业

小结

请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.

布置作业

从教材“习题21.2”中选取.

教与反思＜

本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，

再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探

究的激情.

21-3二次根式的加减

致与目标＜：«<

1•掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.

2•掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.

重后难后＜：«<

重点

二次根式加减法的运算.

难点

探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.

教学设计＜：«<

一、情境引入

1•合并同类项：

(l)2x+3x；(2)2x2—3X2+5X2.

解：(l)5x；(2)4x2.

这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.

2•化简：

(1雄:(2)A/48.

解:(1)-^^；(2)4-\/3.

3•如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并.

4•同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称

为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如2啦与3/；2小，3m与5m.

二、探究新知

例1计算：

⑴2啦+3啦；

(2)278-3^8+578；

(34+2市+3,9X7；

(4)3^3-2-734-^3.

教师多媒体展示例1.(1)如果我们把血当成x，不就转化成上面的问题了吗？

因此，二次根式的被开方数相同的可以合并，如2g与,表面上看是不同的，但它们可以合并.

归纳:二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.

例2计算：

⑵诉+病+(小一小).

教师多媒体展示例2.学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视.

三、练习巩固

I-下列计算是否正确？为什么？

("-小=^/^；

(2＞V4+A/9=^/4+9;

⑶3啦一啦=2啦.

2•以下二次根式：①V衣；②＞因；③喟；④V刃中，与小是同类二次根式的是()

A•①和②B.②和③

C■①和④D.③和④

3•计算：

(lh/80—V20+V5;

(2)718+(-798-^27)；

13

(3)2(V2+V3)-4(V2+V27)；

4•已知x=＜§+l，y=小一1，求下列各式的值.

(l)x2+2xy+y2；(2)x2—y2.

教师多媒体展示，点名回答第1，2题，第3题学生板演，教师点评.

四、小结与作业

小结

请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.

布置作业

从教材相应练习和“习题21.3”中选取.

教与反思＜

本节课通过复习整式的加减法、合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则

的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了

分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.

第22章一元二次方程

22.1一元二次方程

致与目标＜：«<

1•知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(aH0).

2•在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，使

学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.

重Q难Q<：«<

重占

判定一个数是否是方程的根.

难点

由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

教学设计

一、情境引入

教师展示多媒体，引导学生列出方程，解决问题.

问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，

并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x(x+10)=900

整理可得

X2+10X-900=0.(1)

问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均

增长率.

解：设这两年的年平均增长率为X.

我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(l+x)万册，

同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍，即5(l+x>(l+x)=5(l+x)2万册，

可列得方程5(1+X)2=7.2，

整理可得

5x2+lOx-2.2=0.(2)

二、探究新知

教师指出问题，学生小组讨论，归纳.

问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然，这两个方程都不是一元一次方程，那么这两个

方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

共同特点：

(1)都是整式方程；

(2)只含有一个未知数；

(3)未知数的最高次数是2.

【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程

叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式ax2+bx+c=0(a>b>c是已知数，aWO).其中ax?叫

做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项.

例1判断下列方程是否为一元二次方程：

①l-x2=0；②2(x2-l)=3y；

③2X2_3X_]=0;^=0：

⑤6+3)2=慎一3/⑥9X2=5—4X.

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断.

例2将方程(8-2x)(5—2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次

项系数及常数项.

解：2x2—13x+ll=0；2，-13-11.

三、练习巩固

1•将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

(1)5X2-1=4X；

(2)4x2=81；

(3)4x(x+2)=25；

(4)(3x-2)(x+l)=8x-3.

解：(l)5x2-4x—1=0；5)—41—1；

(2)4x2—81=0；4，o，一8i；

(3)4X2+8X-25=0；4，8，-25；

(4)3X2-7X+1=0；3--7＞1.

2•根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.

(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；

(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一

段的长X.

解:(1)4x2=25；4x2-25=0；

(2)x(x—2)=100；X2-2X-100=0；

(3)x=(l-x)2；X2-3X+1=0.

3•若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，求a的值.

解：：x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.

，4a+8—5=0，

解得a=V3

四、小结与作业

小结

1•只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2•一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(aW0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定

义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.

3•在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要

性.

布置作业

从教材相应练习和“习题22.1”中选取.

教学反思＜

学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而

强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.

22-2一元二次方程的解法

22.2.1直接开平方法和因式分解法

教学目标＜：«<

1•会用直接开平方法解形如a(x-ky=b(aW0，abNO)的方程.

2•灵活应用因式分解法解一元二次方程.

3•使学生了解转化的思想在解方程中的应用.

重启难总＜：«<

重占

利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.

难点

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.

教与设计＜:«＜

一、情境引入

教师提出问题，让学生说出作业中的解法，教师板书.

问：怎样解方程(x++=256?

解：方法1：直接开平方，得x+l=±16，

原方程的解是Xi=15，X2=-17.

方法2：原方程可变形为

(x+1)2—256=0，

方程左边分解因式，得(x+l+16)(x+l—得)=0，

即(x+17)(x—15)=0，

，x+17=0或x—15=0>

原方程的解是X|=15，X2=-17.

二、探究新知

教师多媒体展示，学生板演，教师点评.

例1用直接开平方法解下列方程：

(l)(3x+1产=7；(2)y2+2y+l=24；

(3)9n2-24n+16=ll.

解：(1)3；

⑵一1±2加；

【教学说明】运用开平方法解形如(x+m)2=n(n>0)的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5X2-4X=0；

(2)3x(2x+l)=4x+2；

(3)(x+5"3x+15.

4

解：(l)Xi=01X2=5；

21

(2)X,=3，X2=一》

(3)X|=­5，x2=—2.

【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想.

三、练习巩固

教师多媒体展示出题目，由学生自主完成，分组展示结果，教师点评.

1•用直接开平方法解下列方程：

(1)3(X-1)2-6=0；

(2)X2-4X+4=5；

(3)(X+5『=25；

(4)X2+2X+1=4.

解：(1)X]=1+啦，X2=l-也；

(2)xi=2+小，X2=2一小；

(3)X]=O，x2=-10；

(4)xi=1»x2=-3.

2•用因式分解法解下列方程：

(l)x2+x=0；(2)x2—2小x=0；

(3)3X2-6X=-3;(4)4X2-121=0；

(5)(X-4)2=(5-2X)2.

解：(l)Xi=0>x2=—1：

(2)X|=O，X2=25

(3)X|=X2=1；

，八1111

(4)xi=5>x2=­y；

(5)X]=3，X2—1.

3•把小圆形场地的半径增加5根得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.

解：设小圆形场地的半径为X〃L

则可列方程2凌企=T(X+5/，

解得xi=5+5也，X2=5—5啦(舍去).

答：小圆形场地的半径为(5+5啦)九

四、小结与作业

小结

1•引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.

2•对于形如a(x-k)2=b(aW0，abeO)的方程，只要把(x~k)看作一个整体，就可转化为x2=n(n20)

的形式用直接开平方法解.

3•当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.

布置作业

从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

教学反思:«<

本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结

探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中

注意整体划归的思想.

22-2.2配方法

教学目标＜r«<

1•使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.

2•在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.

重总难总＜:«<

重占

使学生掌握用配方法解一元二次方程.

难点

发现并理解配方的方法.

教与设计＜:«<

一、情境引入

教师多媒体展示问题，引导学生解决问题.

问题要使一块矩形场地的长比宽多6〃7，并且面积为16/H2＞场地的长和宽分别是多少？

解：设场地的宽为xm,则长为(x+6))

根据矩形面积为16/，得到方程x(x+6)=16，

整理得到X2+6X-16=0.

二、探究新知

教师多媒体展示问题，用问题唤起学生的回忆，明确该问题的特点.

探究如何解方程x?+6x—16=0?

问题1通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.

【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个

完全平方式，右边是一个非负常数，即(x+m)2=n(n20)，运用直接开平方法可求解.

问题2你会用直接开平方法解下列方程吗？

(1)(X+3)2=25；

(21+6x+9=25；

(3)X2+6X=16；

(4)X2+6X-16=0.

教师重点讲解第3小题.

解：移项,得*~+6*=16,

两边都加上9即,I,

使左边配成x2+bx+(1)2的形式，得

x2+6x+9=16+9>

左边写成完全平方形式，得

(x+3『=25，

开平方，得-x+3=±5.，(降次)

即x+3=5或x+3=—5，

解一次方程得xi=2'x?=-8..

【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接

开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

教师展示课件，让学生自主完成以下例题，小组展示，教师点评归纳.

例1填空：

(1)X2+8X+16=(x+4)2：

(21—x+_/_=(x尸；

(3)4X2+4X+1=(2X+1)2.

例2解下列方程：

(1)X2+6X+5=0；(2)2X2+6X+2=0；

(3)(1+X)2+2(1+X)-4=0.

解：(1)X|=­1，x2=—5；

s、亚3亚3

(2)X|=-^-―5，X2=一_}--2:

(3冈二小一2，X2="\/5—2.

［归纳总结］利用配方法解方程应该遵循的步骤：

(1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=O；

(2)把常数项移到方程的右边；

(3)方程两边同时除以二次项系数a：

(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用直接开平方法来解.

三、练习巩固

学生独立解答以下练习，小组内交流，上台展示并讲解思路.

1•用配方法解下列方程：

⑴2x?-4x—8=0；

(2)X2-4X+2=0；

21

(3)x~一呼一1=0.

2,如果x?—4x+y?+6y+.z+2+13=0，求(xy)’的值.

四、小结与作业

小结

1•用配方法解一元二次方程的步骤.

2•用配方法解一元二次方程的注意事项.

布置作业

从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

敦与反思

本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为己学过的直接开平方

法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.

22•2.3公式法

教与目标<

1•理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.

2•会熟练应用公式法解一元二次方程.

重Q难总<

重占

求根公式的推导和公式法的应用.

难点

一元二次方程求根公式的推导.

敦与设计

一、情境引入

用配方法解方程：

(1)X2+3X+2=0；(2)2X2—3X+5=0.

解：(1)X|=-1，X2=-2；(2)无解.

二、探究新知

教师多媒体展示问题，引导学生利用配方法推出求根公式，学生小组展示.

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a^0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两

根？

问题已知ax2+bx+c=0(aW0)，试推导它的两个根x,=—"噂’趣,

Zd

-b-\/b'_4ac

X2=2a

【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成具体数字，根据上面的

解题步骤就可以推导下去.

探究一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根由方程的系数a'b>c而定，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，将a，b，c

代入式子x=--4aq就得到方程的根，当b2_4ac<0时，方程没有实数根；

Nd

(2)x=-bNf4二叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的求根公式；

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

教师板演第①小题，学生可自主完成余下的题目，小组展示，教师点评.

例用公式法解下列方程：

①2X2-4X—1=0；②5X+2=3X2；

③(x-2)(3x-5)=0;@4X2-3X+1=0.

解：①xi=l+当,X2=l—半；

②xi=2，x2=—

@X1=2，X2=|；

④无解.

三、练习巩固

教师展示课件，学生自主完成，小组内交流.用公式法解下列方程:

(1)X2+X-12=0；

(2)X2-V2X-1=0；

(3)X2+4X+8^2X+11；

(4)x(x-4)=2-8x；

(5)X2+2X=0；

(6)X2+2^/5X+I0=0.

四、小结与作业

小结

1•求根公式的概念及其推导过程.

2•公式法的概念.

3•应用公式法解一元二次方程.

布置作业

从教材相应练习和''习题22.2”中选取.

教与反思

在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识获取的过程，激

发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.

22-2.4一元二次方程根的判别式

教学目标＜

1•能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证.

2•会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.

重Q难总＜

重占

根的判别式的正确理解与应用.

难点

含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.

敦与设计

一、情境引入

教师多媒体展示，回顾已有知识.

用公式法解下列一元二次方程:

(1)X2+5X+6=0；

(2)9X2-6X+1=0；

(3)X2-2X+3=0.

解：(1)X1=—2，X2=—3；

c1

(2)X|=X2=§；

(3)无解.

二、探究新知

教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题.

观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a，b，c的值，然后求出b2-4ac

的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“A”来表

示>即A=b2—4ac.

我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：

.।b、2b2—4ac

支十五尸

【归纳结论】(i)当△>()时，方程有两个不相等的实数根：

—b+"\/b2-4ac—b-—b?-4ac

x尸2a，*2=2a；

(2)当△=()时，方程有两个相等的实数根：

b

Xi=X2=一3；

(3)当A〈0时，方程没有实数根.

例I利用根的判别式判定下列方程的根的情况：

3

(l)2x2—3x—2=0；(2)16x2—24x+9=0；

(3)X2-4A/2+9=0;(4)3X2+10X=2X2+8X.

解：(1)有两个不相等的实数根；

(2)有两个相等的实数根；

(3)无实数根；

(4)有两个不相等的实数根.

三、练习巩固

教师多媒体展示问题，引导学生灵活运用知识，学生小组内交流.

1•方程X2-4X+4=0的根的情况是()

A•有两个不相等的实数根

B■有两个相等的实数根

C-有一个实数根

D•没有实数根

2•已知x2+2x=m-l没有实数根，求证：x2+mx=l—2m必有两个不相等的实数根.

四、小结与作业

小结

1■用判别式判定一元二次方程根的情况：

(l)A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

(2)A=0时•，一元二次方程有两个相等的实数根；

(3)A<0时，一元二次方程无实数根.

2•运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为。这一隐含条件.

布置作业

从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

教学反思

本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学

生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能

力.

*22.2.5一元二次方程的根与系数的关系

教学目标＜

1•引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系及其关系

的运用.

2•通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察、判断到发现关系的过程.

垂Q难Q＜

重点

一元二次方程根与系数之间的关系的运用.

难点

一元二次方程根与系数之间的关系的运用.

教学设计＜

一、情境引入

教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题.

1•完成下列表格

方程XIX2X|+x2X]•x2

X2—5x+6=02356

X2+3X-1O=O2-5-3-10

问题你发现了什么规律？

①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项）.

②设方程x2+px+q=0的两根为xi，X2，用式子表示你发现的规律.

（x,+x2=­p'X1•x2=q.）

2•完成下列表格

方程X]x2X1+X2xi-x2

3

2X2-3X-2=02-1

~22

11

3X2-4X+1=01

33

问题上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）

请完善规律：

①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数

项与二次项系数之比.）

②设方程ax2+bx+c=0的两根为％，x2，用式子表示你发现的规律.

,.bc

（X1+X2=一£'X「X2=7）

二、探究新知

教师多媒体展示，提出问题，引导学生根据求根公式推出根与系数之间的关系.

通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）这一规律是否成立?

试通过求根公式加以说明.

ax2+bx+c=O的两根x尸「十坪三，

~b~~\/b~~4ac,bc

X2=2^，X|+X2=W，X|-X2=-.

教师课件展示问题，学生可自主完成，小组内交流，教师点评.

例1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：

(l)x~—6x—15=0；

(2)3X2+7X-9=0；

(3)5x—1—4x2.

解：(1)X]+X2=6'X|•X2=—15；

(2)xi+x2=—(，xi•x2=-3；

c、工51

(3)X|+X2=4，X,.X2=]

例2已知方程2x?+kx—9=0的一个根是一3，求另一个根及k的值.

3

解：另一个根为之，k=3.

三、练习巩固

可由学生自主完成抢答，教师点评.

1­不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：

(Dx?-3x=15；

(2)5x2-1=4x2；

(3)X2-3X+2=10；

(4)4x2-144=0；

(5)3x(x—l)=2(x—1)；

(6)(2X-1)2=(3-X)2.

2■两根均为负数的一元二次方程是()

A-7X2-12X+5=0

B-6X2-13X-5=0

C-4X2+21X+5=0

D-X2+15X-8=0

四、小结与作业

小结

1•一元二次方程的根与系数的关系.

2-一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.

布置作业

从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

教学反思＜

本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的

关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.

22-3实践与探索

教学目标＜：«<

使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方

程.

垂Q难Q＜:«<

重占

列一元二次方程解决实际问题.

难点

寻找实际问题中的等量关系.

教学设计＜：«<

一、情境引入

问题1学校生物小组有一块长32根，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边

的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540〃，，小道的宽应是多少？

问题2某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求

每次降价的百分率.

二、探究新知

教师引导学生分析解决问题，并让学生一题多解伺时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.

问题1【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540疗来列方程，设小道的宽为x

m，如何来表示种植面积？

方法一：如图，由题意得

32X20—32x—20x+x2=540.

方法二：如图，采用平移的方法更简便.

X

X

20

32-

由题意可得

(20-x)(32-x)=540，

解得Xi=50'X2=2'

由题意可得x<20，...x=2.

问题2【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价56元经过两次降价降为31.5

元，设每次降价的百分率为x，由题意得

56(1—X)2=31.5，

解得xi=0.25>X2=1.75(舍去).

三、练习巩固

1•青山村种的水稻前年平均每公顷产量为7200kg，今年平均每公顷产量为8450kg>求水稻每公

顷产量的年平均增长率.

2•用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.

(1)求此长方形的宽；

(2)能围成一个面积为101al的长方形吗？如能，说明围法；

(3)若设围成一个长方形的面积为S(c,〃2),长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当

x为何值时，S的值最大，最大面积为多少？

四、小结与作业

小结

1•列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、歹!1、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.

2•用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.

3•若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有a(l±x)n

=b(常见n=2).

布置作业

从教材相应练习和''习题22.3”中选取.

教学反思＜:«＜

本课时从创设情境入手，让学生体会数学建模思想，学会分析问题并利用一元二次方程解决实际问

题，举一反三，培养学生的创新意识和实践能力，同时通过合作交流培养学生参与合作的意识.

第23章图形的相似

23.1成比例线段

23.1.1成比例线段

致与目标＜r«<

1•了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.

2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.

重总