2025版新教材高中数学课时作业30无理数指数幂及其运算性质新人教A版必修第一册

课时作业30无理数指数幂及其运算性质基础强化1.已知a>0，则化简(eq\f(a2,a\r(2)))2＋eq\r(2)的结果是()A．a－2B．a－1C．aD．a22．计算3π×(eq\f(1,3))π＋(22eq\r(2))eq\r(2)＋1eq\r(5)的值为()A．17B．18C．6D．53．若2x＝3，2y＝4，则2x＋y的值为()A．7B．10C．12D．344．若3a·9b＝eq\f(1,3)，则下列等式正确的是()A．a＋b＝－1B．a＋b＝1C．a＋2b＝－1D．a＋2b＝15．若eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝3，则eq\f(a,a2＋1)的值为()A．eq\f(1,7)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,3)6．(多选)下列运算中正确的是()A．eq\r(－\f(1,a))＝－eq\f(\r(a),a)B．eq\r(（π－2）2)＝π－2C．(meq\s\up6(\f(1,3))n－eq\f(1,4))24＝eq\f(m8,n6)D．(x3－2eq\r(2))3＋2eq\r(2)＝x7．计算27－eq\f(2,3)＋(π－1)0－(3eq\r(2))－eq\r(2)＝________．8．已知2x＝3，则22x＋2－2x＝________．9．(1)若m＝(eq\f(25,4))0.5－0.752＋6－2×(eq\f(27,64))eq\s\up6(\f(2,3))，求meq\s\up6(\f(1,3))的值；(2)若a＝27，b＝16，求eq\f(（－2\r(ab)）×（－8\r(3,a2b5)）,\r(6,a2b7)×4\r(4,a2b5))的值．10．已知x＋y＝12,xy＝9，且x<y，求eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))的值．实力提升11.若3α＝5，3β＝6，则eq\f(125,36)＝()A．(eq\f(3,2))α－β＋1B．33α－2βC．3α3－β3D．325α－6β12．已知xeq\s\up6(\f(1,2))＋x－eq\f(1,2)＝5，则eq\f(x2＋1,x)的值为()A．5B．23C．25D．2713．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的()A．18倍B．24倍C．36倍D．48倍14．(多选)已知a＋a－1＝3，则下列选项中正确的有()A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝16C．aeq\s\up6(\f(1,2))＋aeq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(5)D．aeq\s\up6(\f(3,2))＋a－eq\f(3,2)＝2eq\r(5)15.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．16．已知a2x＝eq\r(2)－1，求eq\f(a3x＋a－3x,ax＋a－x)的值．课时作业301．解析：因为a>0，所以eq\f(a2,a\r(2))＝a2－eq\r(2)，所以(eq\f(a2,a\r(2)))2＋eq\r(2)＝(a2－eq\r(2))2＋eq\r(2)＝a(2－eq\r(2))(2＋eq\r(2))＝a2.故选D.答案：D2．解析：3π×(eq\f(1,3))π＋(22eq\r(2))eq\r(2)＋1eq\r(5)＝(3×eq\f(1,3))π＋22eq\r(2)×eq\r(2)＋1＝1π＋24＋1＝18.故选B.答案：B3．解析：因为2x＝3，2y＝4，所以2x＋y＝2x·2y＝3×4＝12，故选C.答案：C4．解析：若3a·9b＝eq\f(1,3)，则3a·32b＝3a＋2b＝eq\f(1,3)＝3－1，则a＋2b＝－1.答案：C5．解析：因为eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝3，a>0，所以(eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a)))2＝9，a＋eq\f(1,a)＝7，即eq\f(a,a2＋1)＝eq\f(1,a＋\f(1,a))＝eq\f(1,7).故选A.答案：A6．解析：对于A，因为－eq\f(1,a)>0，所以a<0，则eq\r(－\f(1,a))＝－eq\f(\r(－a),a)，A错误；对于B，因为π－2>0，所以eq\r(（π－2）2)＝π－2，B正确；对于C，(meq\s\up6(\f(1,3))n－eq\f(1,4))24＝(meq\s\up6(\f(1,3)))24(n－eq\f(1,4))24＝eq\f(m8,n6)，C正确；对于D，(x3－2eq\r(2))3＋2eq\r(2)＝x9－8＝x，D正确．故选BCD.答案：BCD7．解析：原式＝33×(－eq\f(2,3))＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.答案：18．解析：由已知得22x＋2－2x＝(2x)2＋(2x)－2＝9＋eq\f(1,9)＝eq\f(82,9).答案：eq\f(82,9)9．解析：(1)因为m＝(eq\f(25,4))0.5－0.752＋6－2×(eq\f(27,64))eq\s\up6(\f(2,3))＝eq\f(5,2)－(eq\f(3,4))2＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（\f(3,4)）3))eq\s\up6(\f(2,3))＝eq\f(5,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,16)＝eq\f(5,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,64)＝eq\f(125,64)，所以meq\s\up6(\f(1,3))＝(eq\f(125,64))eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(5,4).(2)eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(ab)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8\r(3,a2b5))),\r(6,a2b7)×4\r(4,a2b5))＝eq\f(16·（ab）\s\up6(\f(1,2))·（a2b5）\s\up6(\f(1,3)),4·（a2b7）\s\up6(\f(1,6))·（a2b5）\s\up6(\f(1,4)))＝eq\f(4（a\s\up6(\f(1,2))b\s\up6(\f(1,2))）·（a\s\up6(\f(2,3))b\s\up6(\f(5,3))）,（a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(7,6))）（a\s\up6(\f(1,2))b\s\up6(\f(5,4))）)＝4aeq\f(1,2)＋eq\f(2,3)－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)beq\f(1,2)＋eq\f(5,3)－eq\f(7,6)－eq\f(5,4)＝4aeq\s\up6(\f(1,3))b－eq\f(1,4)，因为a＝27，b＝16，所以原式＝4×27eq\s\up6(\f(1,3))×16－eq\f(1,4)＝6.10．解析：eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(（x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))）2,（x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2))）（x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))）)＝eq\f(（x＋y）－2（xy）\s\up6(\f(1,2)),x－y).①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x<y，∴x－y＝－6eq\r(3).③将②③代入①，得eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(12－2×9\s\up6(\f(1,2)),－6\r(3))＝－eq\f(\r(3),3).∴eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝－eq\f(\r(3),3).11．解析：∵3α＝5，3β＝6，∴33α＝53＝125，32β＝62＝36，∴eq\f(125,36)＝eq\f(33α,32β)＝33α－2β.故选B.答案：B12．解析：因为xeq\s\up6(\f(1,2))＋x－eq\f(1,2)＝5，所以(xeq\s\up6(\f(1,2))＋x－eq\f(1,2))2＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，所以eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)＝x＋x－1＝23，故选B.答案：B13．解析：某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为a，则a(1＋6.25%)30＝6a，∴经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：y＝a(1＋6.25%)60＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（1＋6.25%）30))eq\s\up12(2)＝36a.∴经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．故选C.答案：C14．解析：∵a＋eq\f(1,a)＝3，∴a2＋a－2＝(a＋eq\f(1,a))2－2＝32－2＝7，因此A正确；a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2＋a－2－1)＝3×(7－1)＝18，因此B不正确；∵(aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2))2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，a>0，解得aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝eq\r(5)，因此C正确；∵aeq\r(a)＋eq\f(1,a\r(a))＝(a＋a－1)(aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2))－(aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2))＝3eq\r(5)－eq\r(5)＝2eq\r(5)，因此D正确．故选ACD.答案：ACD15．解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝eq\f(1,5).则2α·2β＝2α＋β＝