立体几何中的向量法-夹角问题

3.2立体几何中的向量法(3)第三章空间向量与立体几何——空间向量与空间角.1本节课主要学习利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.以学生探究为主，探讨如何利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.讲解二面角的平面角与两个半平面的法向量之间的关系，突破难点。通过例1和例2巩固掌握二面角的求法，证明线面平行，线面垂直的方法。例3是证明线面平行及求异面直线所成的角，本题可以作为一道备用题，如果时间不许可，可以直接点击链接“课堂检测”，进入课堂检测部分。运用转化思想，将立体几何中的线线角、线面角、二面角转化为空间向量所成的角，再用数量积的定义求相应的角。.2/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=54260de45aa8a9cc1dd7292f动画展示面与面的夹角.3

空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题..4用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题.2.（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题.3.（回到图形问题）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义..5OAB..6.7异面直线所成的角lmlm若两直线所成的角为,则.8线面角ll.9DClBA二面角.10注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角l.11二面角的范围：.12.13.14题型一求异面直线的夹角正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．【例1】解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则.15规律方法在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别．.16例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=AA1=4,AB=5,D是AB的中点。(1)求证：AC1//面CB1D(2)求AC1与B1C所成角的余弦值。c1ABCA1B1D.17

四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．【变式1】解

(1)如图，建立空间直角坐标系．∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得.18.19题型二求线面角.20【变式2】.21(12分)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A­A1D­B的余弦值．题型三二面角的求法【例3】.22[规范解答]如图所示，取BC中点O，连结AO.因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1..23.24【题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点．而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性．.25(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．[思路分析]建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→向量运算→结论．解作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，【示例】.26.27.28例3.长方体中，AB=2，BC=BB1=1，E为中点（1）求证：面EBD⊥面EBC；（2）求DC与面EBC所成的角；（3）求二面角C-DE-B。

A1C1B1BCD1EAD.29例6.正方体中，P为A1B1中点（1）求二面角A1-AC1-B1（2）求二面角P-AC1-B1（3）求面PAC1与面ABCD所成的锐二面角。

A1C1B1BCD1ADP.30例1：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算ABCD例1图典例展示.31所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此.32例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB.(2)求证：PB⊥平面EFD.ABCDPEF(3)求二面角C-PB-D的大小..33ABCDPEFxyzG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1.(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG..34.35.36(3).37.38.39(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．

例3.分析：建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→向量运算→结论．解

作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，