沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第06讲相似三角形中的“母子”型(考点讲与练)(原卷版+解析)

第06讲相似三角形中的“母子”型（核心考点讲与练）【基础知识】“子母型”相似的图形特点：有一个公共角，

一对完全重合的边，

一对半重合的边，

一对完全不重合的边。子母型的结论：AB²=AD·AB

(重合边的平方等半重合边的乘积)

特殊的子母型（双垂直型）【考点剖析】1．(2023·上海炫学培训学校有限公司九年级期中）如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE=________．2．(2023·上海市西南模范中学九年级阶段练习）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．二、解答题3．(2023·上海市育才初级中学九年级阶段练习）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．4．(2023·上海黄浦·九年级期中）直线分别交x轴、y轴于A、B两点．（1）求出点A、B的坐标；（2）已知点G的坐标为（2，7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．(2023·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．6．(2023·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【过关检测】1.(2023徐汇一模25题）如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求的值；（2）求证：；（3）当时，求．

2.(2023虹口一模25题）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．

3(2023长宁一模25题）已知,在中,,点是射线上的动点,点是边上的动点，且,射线交射线于点．如图1,如果,求的值；（2）联结,如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；（3）当点在边上时,联结,求线段的长．4.【2023松江二模】如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．第06讲相似三角形中的“母子”型（核心考点讲与练）【基础知识】“子母型”相似的图形特点：有一个公共角，

一对完全重合的边，

一对半重合的边，

一对完全不重合的边。子母型的结论：AB²=AD·AB

(重合边的平方等半重合边的乘积)

特殊的子母型（双垂直型）【考点剖析】1．(2023·上海炫学培训学校有限公司九年级期中）如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE=________．答案:6分析：由，且∠RAS=∠CAB，可证得△ARS∽△ACB，所以∠ARS=∠ACB，再由∠BAP=CAQ可证得△ARP∽△ACQ，，再由DE∥BC，可知，把BC的值代入可求得DE．【详解】解：∵，且∠RAS=∠CAB，∴△ARS∽△ACB，∴∠ARS=∠ACB，又∵AQ为角平分线，∴∠BAP=CAQ，∴△ARP∽△ACQ，∴，∵DE∥BC，∴，∵BC=9，∴，∴DE=6．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，解题的关键是能利用条件两次证得三角形相似，从而得到DE和BC的比值．2．(2023·上海市西南模范中学九年级阶段练习）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．答案:；．分析：由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比．【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案为：或．【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．二、解答题3．(2023·上海市育才初级中学九年级阶段练习）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．答案:分析：根据题意由锐角三角函数可求∠A=∠BCD，可证△ACD∽△CBD，即可求CD的长，由勾股定理即可求出AC的长．【详解】解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD∴，∴CD2=BD•AD=4∴CD=2，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，根据题意求出CD的长是解答本题的关键．4．(2023·上海黄浦·九年级期中）直线分别交x轴、y轴于A、B两点．（1）求出点A、B的坐标；（2）已知点G的坐标为（2，7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案:（1），；（2）；（3）存在，，，，分析：（1）对于，令x＝0，则y＝1，令y＝0，即＝0，解得x＝3，即可求解；（2）证明AG2＝AB2＋BG2，则△ABG为直角三角形，即可求解；（3）分△ABQ∽△AOB、△ABQ∽△BOA两种情况，利用三角形相似边的比例关系，即可求解．【详解】解：（1）对于，令x＝0，则y＝1，令y＝0，即＝0，解得x＝3，故点A、B的坐标分别（3，0）、（0，1）；（2）由A、B、G的坐标知，BG2＝22＋（7−1）2＝40，同理AB2＝10，AG2＝50，故AG2＝AB2＋BG2，故△ABG为直角三角形，则tan∠AGB＝；（3）设直线BG的表达式为y＝kx＋b，则，解得故直线BG的表达式为y＝3x＋1，设点Q（m，3m＋1），①当△ABQ∽△AOB时，则，即，解得m＝±，∴，②当△ABQ∽△BOA时，，即解得：m＝±3，∴，故点P的坐标为（，2）或（−，0）或（3，10）或（−3，−8）．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．5．(2023·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．分析：（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．【详解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．6．(2023·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．分析：（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．【过关检测】1.(2023徐汇一模25题）如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求的值；（2）求证：；（3）当时，求．

【小问1详解】解：过D作DH⊥AB于H，在中，，，设，，∴，∵D为AC中点，∴AD=AC=，∴，∴，在Rt△AHD中，，∴BH=AB－AH=－=，在Rt△BHD中，；【小问2详解】证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴，∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即；【小问3详解】解：由可设，，则DF=4k，∵，∴cot∠BDE=cot∠A=，∴，∴，又∠F=90°，∴，，∵△DEB∽△ADB，∴即，∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3．2.(2023虹口一模25题）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．

【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△ADF∽△ABC，∴，∴；（2）解：∵∠ACB＝90°，tanB＝，∴tanB＝＝，设AC＝3a，BC＝4a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3a）2+（4a）2＝102，∴a＝2，∴AC＝6，BC＝8，∴AD＝＝，由（1）得，∴，∴y＝，当x＝0时，此时DE⊥AB，由S△ABC＝得，10•DE＝6×8，∴DE＝，∴x＞；（3）解：如图1，当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∴AF＝AG，∴∠EAF＝∠GAF＝，∵∠DAF＝∠BAC，∴∠DAC＝∠GAF，∵AC⊥BD，∴∠AMC＝∠ACD，∴AM＝AD，∴CM＝CD，∵AM平分∠BAC，∴MN＝CM，由S△ABC＝S△ABM+S△ACM得，，∴16•CM＝48，∴CM＝3，∴CD＝3．如图2，当G点在AC的延长线上时，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∵∠AGF是∠AEF的外角，∴∠AGF＞∠AEF，∴这种情形不存在，∴CD＝3．3(2023长宁一模25题）已知,在中,,点是射线上的动点,点是边上的动点，且,射线交射线于点．（1）如图1,如果,求的值；（2）联结,如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；（3）当点在边上时,联结,求线段的长．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8；∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED，∴，∴．（2）∵是以为腰的等腰三角形，∴AE＝OE，∵OC＝OE，∴设AE＝OE＝OC=x，由（1）得，△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，经检验，是原方程的解；则的长是为．（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°，∴A、B、O、E四点共圆，∴∠DBE＝∠AOD，∵，∴，∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴，，∴，设OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，∴∴，解得，，（舍去），则的长是为．4.【2023松江二模】如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．分析：（1）由题目条件可