沪教版九年级上册数学专题训练专题04二次函数系数、对称和最值重难点专练(原卷版+解析)

专题04二次函数系数、对称和最值重难点专练（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．(2023·上海九年级一模）如图所示是二次函数图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（）．A． B．抛物线的对称轴为直线C． D．点和在拋物线上，则2．(2023·上海九年级专题练习）己知二次函数的图象如图所示，那么a、c满足（）A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜03．(2023·上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）如果二次函数的图像如图所示，那么（）A． B． C． D．4．(2023·上海九年级一模）如果抛物线开口向下，那么的取值范围为（）A． B． C． D．5．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（）A． B． C． D．6．(2023·上海民办华二浦东实验学校九年级期中）如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．(2023·上海九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a＝b；③t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；④3b+2c＜0；⑤点（﹣，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2，其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．28．(2023·上海九年级月考）已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题9．(2023·上海市民办新竹园中学九年级月考）已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是___________．10．(2023·上海九年级专题练习）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线_____．11．(2023·上海九年级一模）如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线___________．12．(2023·上海）已知二次函数（a是常数，a≠0），当自变量x分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1__y2（填“>”、“<”或“=”）．13．(2023·上海中考模拟）若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于_____．14．(2023·上海九年级专题练习）如果抛物线经过点A2,5和点B4,5，那么这条抛物线的对称轴是直线_____．15．(2023·上海虹口区·中考模拟）如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线_____．16．(2023·上海九年级一模）如果抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线________．17．（第三章函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用））二次函数（）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则的值为_________．-10123418．(2023·上海）方程的两根为-5和3，那么抛物线的对称轴是直线________．19．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数图像的顶点坐标是__________________．20．(2023·上海九年级专题练习）如图，正方形的边长为1，点E为边上的一动点（不与B，C重合），过点E作，交于F．则线段长度的最大值为__________．21．(2023·上海民办华二浦东实验学校九年级期中）抛物线的最低点坐标是__________．22．(2023·上海九年级一模）二次函数图像上的最低点的横坐标为_________________．23．(2023·上海同济大学实验学校）关于的代数式有最大值2，则______，取得最大值时______．24．(2023·江苏徐州市·）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(m，5﹣m)，当AB的长最小时，m的值为_____25．(2023·上海八年级课时练习）已知实数、满足，则的最大值为______26．(2023·上海中考模拟）如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是_____．27．(2023·上海普陀区·九年级月考）沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是__________．28．(2023·上海九年级专题练习）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________．29．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数+k的大致图像如图，那么a_____0，m____0（填“＞”或“＜”）．

30．(2023·上海九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，其中正确结论的序号为_____．三、解答题31．（专题12二次函数背景下的相似三角形-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用））如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．（1）求抛物线的表达式；（2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；（3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．32．(2023·上海江湾初级中学九年级三模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．33．（2017·上海奉贤区·中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A(3,0）和B（2,3）．过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB、BC，求的正切值；（3）若点D在轴下方的对称轴上，当=时，求点D的坐标．34．(2023·上海市位育实验学校九年级一模）抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．35．(2023·上海九年级专题练习）某企业接到了一批零件加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人．6天的培训期内，新工人小李第天能加工个零件；培训后小李第天加工的零件数量为个．（1）小李第几天加工零件数量为650个？（2）如图，设第天每个零件的加工成本是元，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小李第天创造的利润为元，求与的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少？（利润出厂价成本价）36．(2023·上海宝山区·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），经过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．（1）直接写出点的坐标，并用含的式子表示直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）．（2）点为直线下方抛物线上一点，当的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；（3）设点是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点、、、为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．专题04二次函数系数、对称和最值重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示是二次函数图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（）．A． B．抛物线的对称轴为直线C． D．点和在拋物线上，则【来源】上海市宝山区2020-2021学年九年级上学期期末（一模）数学试题答案:B分析：根据图象分别求出a、c的符号，即可判断A；根据抛物线与x轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x=1，即可判断B；把x=-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C；将x=-2与x=2带入二次函数，可得出y与y的值，即可判断D．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∴ac＜0选项A正确；∵由图像可看出，抛物线与x轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称，∴抛物线的对称轴不是x=1选项B错误；把x=-1代入y=ax+bx+c得：y=a-b+c，由图像可知，x=-1时y=0，∴a-b+c=0选项C正确；把x=-2和x=2代入y=ax+bx+c中，由图像可知，y＞0，y＜0，∴y＞y选项D正确；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a、b、c之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．2．己知二次函数的图象如图所示，那么a、c满足（）A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0【来源】专题19二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）答案:C分析：根据二次函数图象开口向下确定出为负数，再根据二次函数图象与轴的交点即可确定出的正负情况，答案可解．【详解】解：∵二次函数图象开口向下，∴，∵二次函数图象与轴的正半轴相交，∴，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点与系数的关系是解题的关键．3．如果二次函数的图像如图所示，那么（）A． B． C． D．【来源】上海市曹杨二中附属江桥实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题答案:C分析：首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点即可判断c的正负，由此得出答案即可．【详解】解：∵图象开口方向向上，∴a＞0；∵图象的对称轴在y轴的右边上，∴＞0，∵a＞0，∴b＜0；∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，∴c＜0；∴a＞0，b＜0，c＜0．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．4．如果抛物线开口向下，那么的取值范围为（）A． B． C． D．【来源】上海虹口区2019届九年级上学期期末数学试题答案:D分析：由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”5．在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（）A． B． C． D．【来源】上海市民办新北郊初级中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试题答案:D分析：根据的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一判断即可．【详解】A：由函数的图像可知，即函数开口应向上，与图像不符，故A错误；B、由函数的图像可知，函数的对称轴，则对称轴应在轴的左侧与图像不符，故B错误；C：由函数的图像可知，即函数开口应向下，与图像不符，故C错误；D：由函数的图像可知，即函数开口向上，函数的对称轴，则对称轴应在轴的左侧与图像相符，故D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．6．如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【来源】上海市民办华二浦东实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题答案:D分析：根据抛物线的开口方向确定a的符号，由对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与y轴交点的位置确定c的符号，选择作出答案．【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此c＞0，

故选：D．【点睛】考查二次函数的图象和性质，通过开口判断a，对称轴判断b，与y轴的交点判断c．7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a＝b；③t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；④3b+2c＜0；⑤点（﹣，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2，其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【来源】热点08二次函数-2021年中考数学【热点�重点�难点】专练（上海专用）答案:A分析：利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（最小值），增减性逐个进行判断，得出答案．【详解】．解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故①正确；对称轴为x＝﹣1，即：﹣，也就是2a＝b，故②正确；当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c，当x＝t时，y＝at2+bt+c，∴at2+bt+c≤a﹣b+c，即：t（at+b）≤a﹣b，故③正确；由抛物线的对称性可知与x轴另一个交点0＜x＜1，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，又2a＝b，即a＝b，代入得：b+b+c＜0，也就是3b+2c＜0；因此④正确；点A（，y1），B（，y2），C（，y3）到对称轴x＝﹣1的距离分别为LA、LB、LC，则有LA＞LC＞LB，且A、B在对称轴左侧，C在对称轴的右侧，故y1＜y3＜y2，因此⑤正确，综上所述，正确的结论有5个，故选：A．【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与a、b、c的关系式解决问题的关键．8．已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【来源】上海市2019-2020学年中考数学复习试题答案:D分析：将A，B，C三点坐标分别代入抛物线，然后化简计算即可.【详解】解：∵点，，是抛物线上的三点，∴，，.∴故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a，b，c是解题的关键．二、填空题9．已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是___________．【来源】上海市新竹园中学2019-2020学年九上学期9月月考数学试题答案:直线分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．【详解】解：∵点、的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线．故答案为：直线．【点睛】此题考查二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．10．如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线_____．【来源】第三章函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点核心考点清单（上海专用）答案:x=-．分析：因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，A、B关于x＝＝﹣对称，即可求抛物线的对称轴．【详解】解：因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，∴A、B关于x＝＝﹣对称，∴抛物线的对称轴x＝﹣，故答案为：x＝﹣．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．11．如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线___________．【来源】2020年上海市浦东新区中考数学一模试题答案:分析：观察点和点两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线，求AB中点坐标即可得.【详解】解：∵一条抛物线经过点（-1，0）、（5，0），∴这两点关于对称轴对称，∴x=即x=2．故答案是：x=2．【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.12．已知二次函数（a是常数，a≠0），当自变量x分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1__y2（填“>”、“<”或“=”）．【来源】上海市静安区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题答案:>分析：先求出抛物线的对称轴为，由，则当，y随x的增大而减小，即可判断两个函数值的大小.【详解】解：∵二次函数（a是常数，a≠0），∴抛物线的对称轴为：，∵，∴当，y随x的增大而减小，∵，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.13．若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于_____．【来源】【区级联考】上海市长宁区2019届九年级上学期期末（一模）数学试题答案:6．解析：分析：由抛物线的对称性解答即可．【详解】∵抛物线经过A（﹣1，7）、B（5，7），∴点A、B为抛物线上的对称点，∴抛物线对称轴为直线x==2．∵C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）为抛物线上的对称点，即C（﹣2，﹣3）与D（k，﹣3）关于直线x=2对称，∴，解得：k=6．故答案为6．【点睛】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．14．如果抛物线经过点A2,5和点B4,5，那么这条抛物线的对称轴是直线_____．【来源】专题08函数之填空题《备战2020年中考真题分类汇编》（上海）答案:x1解析：分析：根据抛物线对称轴的性质分析进行计算.【详解】抛物线经过点A2,5和点B4,5，可得出这两点为抛物线上关于对称轴对称的两点，所以抛物线对称轴为x=（2+（-4））÷2=-1，故对称轴直线为x1.【点睛】本题考查的是抛物线对称轴的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键.15．如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线_____．【来源】2018年上海市虹口区中考数学一模试卷答案:x=4解析：根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等，可由点A（2，-4）和点B（6，-4）都在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，得到其对称轴为x==2．故答案为x=4.16．如果抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线________．【来源】上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试题答案:分析：根据抛物线的对称性得对称轴为直线．【详解】∵抛物线经过点和，∴该抛物线的对称轴是直线，故答案为：．【点睛】此题考查抛物线的对称性，掌握抛物线的性质是解题的关键．17．二次函数（）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则的值为_________．-101234【来源】第三章函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用）答案:分析：由二次函数上的图像上的两点：求解二次函数图像的对称轴，再根据关于对称，从而可得答案．【详解】解：由二次函数上的图像上有两点：由坐标特点可得：关于对称轴对称，所以二次函数图像的对称轴为：所以：关于对称，所以：故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的图像的性质，二次函数的表示法，掌握以上知识是解题的关键．18．方程的两根为-5和3，那么抛物线的对称轴是直线________．【来源】专题18二次函数（一）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）答案:分析：根据题意，解得抛物线与x轴的两个交点坐标，由抛物线的对称性解题即可．【详解】由题意可知，时，y的值都等于0，故抛物线与x轴的两个交点为，由抛物线的对称性可知图像的对称轴为故答案为：【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．二次函数图像的顶点坐标是__________________．【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像答案:分析：由二次函数的交点式：可得对称轴为：从而可得函数的顶点坐标．【详解】解：由得：图像与x轴的交点是（-2，0）（4，0），对称轴是直线当x=1时，，所以：函数的顶点坐标为：故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的顶点坐标，掌握求解二次函数的顶点坐标是解题的关键．20．如图，正方形的边长为1，点E为边上的一动点（不与B，C重合），过点E作，交于F．则线段长度的最大值为__________．【来源】专题14动态几何（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）答案:分析：由三角形相似，得出比例关系，构建二次函数，把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．【详解】由题意知，是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．设，正方形的边长为1，则，∴，∴．∴，∴可知抛物线的顶点为开口向下，∴时，函数有最大值，最大值为：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，结合了三角形相似的性质，解题关键是通过相似三角形的性质列出二次函数解析式．21．抛物线的最低点坐标是__________．【来源】上海市民办华二浦东实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题答案:分析：直接用顶点公式求顶点坐标即为最低点坐标．【详解】∵抛物线中，∴抛物线开口向上，顶点为最低点∵，∴顶点坐标为：∴最低点坐标为：故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，对称轴的方法，是基础知识要熟练掌握．22．二次函数图像上的最低点的横坐标为_________________．【来源】上海市青浦区2020-2021学年初三上学期数学一模答案:分析：将二次函数用顶点式表示出来，再根据函数图像开口向上，即可求得最低点的横坐标．【详解】解：二次函数可化为，因为二次项系数为1，大于零，所以函数图像开口向上，所以最低点为顶点，横坐标为，故答案为．【点睛】本题考查函数的最值问题，用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式是解决本题的关键．23．关于的代数式有最大值2，则______，取得最大值时______．【来源】上海同济大学第一附属中学2019--2020学年八年级上学期12月月考数学题答案:-22分析：先对原代数式配方、然后利用二次函数求最值的方法列式求出m和x即可．【详解】解：∵∴当x-2=0，即x=2时，代数式有最大值4+m∵关于的代数式有最大值2∴4+m=2，即m=-2．故答案为-2、2．【点睛】本题考查了运用二次函数求最值，掌握根据二次函数求最值的方法成为解答本题的关键．24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(m，5﹣m)，当AB的长最小时，m的值为_____【来源】2020年江苏省徐州市铜山区等六区县（市）中考数学一模试题答案:3分析：先根据两点间的距离公式求出AB2＝2m2﹣12m+26，利用配方法得到AB2＝2（m﹣3）2+8，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（m，5﹣m），∴AB2＝（m﹣1）2+（5﹣m﹣0）2＝m2﹣2m+1+25﹣10m+m2＝2m2﹣12m+26＝2（m﹣3）2+8，∵2＞0，∴当m＝3时，AB2最小，∵当AB2最小时，AB的长最小．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是二次函数求最值，利用配方法求最值是解题的关键．25．已知实数、满足，则的最大值为______【来源】沪教版（上海）八年级上17.3一元二次方程根的判别式答案:分析：先把转化成，再代入，利用二次函数的性质求值．【详解】解：∵，∴，则即：将化简后得：∴当时，有最大值是；故答案为．【点睛】本题考查了因式的转换和完全平方公式，懂得将y转化为：是解题的关键26．如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是_____．【来源】【区级联考】上海市长宁区2019届九年级上学期期末（一模）数学试题答案:m＞3分析：根据二次函数y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即3﹣m＜0，即可得出答案．【详解】∵抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，∴抛物线开口向下，∴3﹣m＜0，∴m＞3，故答案为m＞3.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．27．沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是__________．【来源】上海市普陀区2020-2021学年九年级上学期质量调研数学试题答案:分析：利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则，然后解不等式即可．【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，

∴抛物线开口向上，

∴，解得．

故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．28．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________．【来源】第三章函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点核心考点清单（上海专用）答案:分析：根据抛物线的开口向下，得到，从而求得的取值范围．【详解】∵抛物线的开口向下，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．29．二次函数+k的大致图像如图，那么a_____0，m____0（填“＞”或“＜”）．

【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.2特殊的二次函数图像答案:＞＜分析：根据抛物线开口向上及顶点在第四象限，得出a>0，m＜0．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0，∵抛物线的顶点（-m，k）在第四象限，

∴-m＞0，

∴m＜0，故答案是：>，<．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据抛物线的顶点在第四象限及抛物线开口向上，得出a、m的符号．30．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，其中正确结论的序号为_____．【来源】专题3.5二次函数-备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）答案:②③．分析：根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】由图象可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的；当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图象可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确；对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确，∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的，故答案为：②③．【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．三、解答题31．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．（1）求抛物线的表达式；（2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；（3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．【来源】专题12二次函数背景下的相似三角形-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）答案:（1）y＝﹣2x2+4x；（2）详见解析；（3）分析：（1）先求出抛物线的对称轴，再根据直线可得顶点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质得，从而和是等腰三角形，再根据平行线的性质可得，从而可得和有两组对应角相等，即得证；（3）如图（见解析），记CE与y轴交于点M，过点B作，垂足为点N，由题（2）可知，再根据外角的性质可得，然后在和中，利用正切函数值列出等式求解即可.【详解】（1）∵抛物线经过原点∴对称轴为∵直线经过抛物线的顶点B设∵抛物线经过原点，即故抛物线的解析式为；（2）轴；（3）如图，记CE与y轴交于点M，过点B作，垂足为点N设，则由（2）知，轴又轴∴，即解得或经检验，不符合题意，舍去故点C的坐标为.【点睛】本题考查了二次函数的对称性、相似三角形的判定定理、正切函数值，较难的是（3），在两个直角三角形中，找出一对相等的角是解题关键.32．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【来源】2019年上海江湾初级中学中考数学三模试题答案:（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．分析：（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．33．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A(3,0）和B（2,3）．过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB、BC，求的正切值；（3）若点D在轴下方的对称轴上，当=时，求点D的坐标．【来源】2017届上海市奉贤区九年级4月调研测试（二模）数学试卷答案:(1),对称轴直线x=1;(2)1;(3)D(1,-4).分析：（1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=-x2+bx+c，解方程组即可解决问题．（2）如图，作BE⊥OA于E．只要证明△AOC≌△BEA，推出△ABC是等腰直角三角形，即可解决问题．（3）分两种情形①当点D在AC下方时，如图过点C作CD∥AB交对称轴于D，则S△DBC=S△ADC，先求出直线AC的解析式，再求出直线CD的解析式即可解决问题．②当点D在AC上方时，直线CD经过点AB中点，求出直线CD的解析式即可解决问题.【详解】（1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=-x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，对称轴x=1．（2）如图，作BE⊥OA于E．∵A（3，0），B（2，3），tan∠CAO=，∴OC=1，∴BE=OA=3，AE=OC=1，∵∠AEB=∠AOC，∴△AOC≌△BEA，∴AC=AB，∠CAO=∠ABE，∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠CAO+∠BAE=90°，∴∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴tan∠ABC=1．（3）①当点D在AC下方时，如图过点C作CD∥AB交对称轴于D，则S△ABC=S△ADC，∵AB⊥AC，AB∥CD，∴AC⊥CD，∵直线AC的解析式为y=x-1，∴直线CD的解析式为y=-3x-1，当x=1时，y=-4，∴点D的坐标为（1，-4）．②当点D在AC上方时，直线CD经过点AB中点，易知直线CD的解析式为y=x-1，∴点D（1，0）在x轴上，不符合题意，综上所述，点D坐标为（1，-4）．34．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．【来源】2019年上海市徐汇实验中学中考数学模拟试题答案:（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）m的变化范围为：﹣≤m≤5【详解】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）令，∴x1=-1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，∴S△BDC=S△PDC+S△PDB∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，当M在EF左侧时，∵∠MNC=90°，则△MNF∽△NCH，∴，设FN=n，则NH=3-n，∴，即n2-3n-m+1=0，关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5，即N为点