浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以其虚部为.故选：B.2.已知向量，，则（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列是真命题的是（）A若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则，或相交，或异面，故A错误；对于B，如下图，，，，则不一定垂直，故B错误；对于C，因为，过做平面，与平面交于直线，所以，因为，，所以，，故C正确；对于D，如图，，，，，则不平行，故D错误.故选：C.4.气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（）A.整个城市明天的平均降雨概率为50%B.明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨C.只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨D.如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多〖答案〗B〖解析〗对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误；对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确；对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误；对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误.故选：B.5.如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，所以，即，因为，所以，，所以，还原直观图得到，如图所示：此时，所以.故选：D.6.一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（）A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等〖答案〗C〖解析〗因为A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，A与B不相等，D选项错误；则，，A与B相互独立，C选项正确；A与B可以同时发生，A选项错误；B选项错误.故选：C.7.已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为在方向上的投影向量为，所以，又因为，所以，在方向上的投影向量为.故选：D.8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，正八面体的棱长为1，点为中点（显然根据对称性可知点也是内切球球心），显然平面，因为直线平面，所以，在正方形中，，所以，正八面体的表面积为，设内切球半径为，由等体积法有，，解得，内切球的表面积为.故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.在中，角所对的边为，则下列结论正确的是（）AB.C.若，则D.（为的外接圆半径）〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由于当时，，从而，，故A错误；对于B，由于三角形的内角和为，所以，故B正确；对于C，若，由于，故，所以，这就得到，从而，再由得到，即，故C正确；对于D，有，故D正确.故选：BCD.10.已知复数z满足，则下列结论正确的是（）A. B.C.的最大值为2 D.〖答案〗ABC〖解析〗设，所以，D选项错误；，C选项正确；设，因为所以，所以，A选项正确；，B选项正确.故选：ABC.11.小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是（）A.抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜B.抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜C.抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷D.抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷〖答案〗AD〖解析〗对于A，小明获胜的概率为，故A符合题意；对于B，若要点数之和为奇数，则只能是一奇一偶，而每抛一次出现奇数，偶数的概率都是，但可能是先出现奇数，有可能先出现偶数，故小明获胜的概率为，故B不符合题意；对于C，若点数之和为6，则两个加数可以是，即小明获胜的概率为，若点数之和为8，则两个加数可以是，即小红获胜概率为，故C不符合题意；对于D，抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，则这三个自然数可以是，所以小明获胜的概率为，若掷出的点数都相同，则这三个自然数可以是，所以小红获胜的概率为，故D符合题意.故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把〖答案〗填在题中的横线上.12.已知复数z满足，则______.〖答案〗〖解析〗，则.故〖答案〗为：.13.如图，在中，，点P在线段上，若的面积为，，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗若的面积为，，则，所以，又因为，点P在线段上，所以，所以，，等号成立当且仅当，所以的最小值为.故〖答案〗为：.14.已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为______.〖答案〗19.8〖解析〗设增加的数为，则，，所以，又因为即所以.故〖答案〗为：19.8.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，为单位向量.（1）若，求的最大值；（2）若，求与夹角的余弦值.解：（1）由于，且当时，所以的最大值是.（2）由已知有，故，所以与夹角的余弦值是.16.在三棱锥中，两两垂直，，.（1）求三棱锥的表面积；（2）求P到平面的距离.解：（1）因为两两垂直，，，所以，所以，从而三棱锥的表面积为.（2）设点P到平面的距离为，由（1）得三角形的面积为，由等体积法有，，即，解得，所以点P到平面的距离为.17.如图，小明统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.小明按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了频率分布直方图.（1）通话时长在区间，内的次数分别为多少？（2）若小明爸爸通话时间的众数是第百分位数，求的值.解：（1）由频率直方图的性质可得，解得：，所以通话时长在区间内的次数为次；通话时长在区间内的次数为次.（2）由图可得通话时长众数为，所以，则小明爸爸通话时间的众数是第15百分位数，即.18.在中，，，.（1）求A；（2）D为边的中点，E为边上一点，交于P.（i）若E为的中点，求的余弦值；（ii）当时，求的面积.解：（1）因为，所以，即，所以，因为，所以.（2）（i）若E为的中点，D为边的中点，则，，从而，，，所以，所以的余弦值为.（ii）由（2）（i）可知，，因为三点共线，所以可设，当时，，所以，所以，因三点共线，所以设，因为与是共线向量，且与不共线，所以，解得，所以，，所以点到的距离与点到的距离之比为，所以的面积为.19.已知矩形中，，，E为线段的中点，沿线段将翻折到，Q为线段的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正切值；（3）当在翻折过程中，是否存在点P使直线与直线所成角为？若存在，求出二面角平面角的余弦值；若不存在，请说明理由.解：（1）如图，点是线段的中点，连接，因为点是线段的中点，所以，因为，所以，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）如图，过分别过点作，垂足分别为，因为点为线段的中点，，所以是三角形的中位线，所以，而，所以，，也是三角形的中线，所以，，，，因为，且平面平面