第三章 一元一次方程压轴题考点训练（解析版）-2024年常考压轴题攻略（7年级上册人教版）

第三章一元一次方程压轴题考点训练评卷人得分一、单选题1．方程的解是x=()A． B．- C． D．-【答案】D【详解】方程两边同乘以24可得-8[]-2=-1，去括号，可得-8（）-2=-1，即-4-4x+-2=-1，4x=-5+，解得x=-.故选D.2．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（

）元．A．288 B．306 C．288或316 D．288或306【答案】C【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此可以按照8折付款：360×0.8=288元或395×0.8=316元，故选：C．【点睛】此题考查方程的应用问题，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．3．课外小组女同学原来占全组人数的,加入4名女同学后,女同学就占全组的,则课外小组原来的人数是()A．35 B．12 C．37 D．38【答案】B【详解】设课外小组原来的人数是x，因为男生人数总是不变的，所以据此列方程：，解得x=12.故选B.点睛：注意问题中的不变的量是男生，课外活动小组原来男生占总人数的，增加4个女生后，男生占总人数的，所以根据男生数量不变来列方程，此题容易纠结女生的数量的变化而无从入手.4．2015年11月11日某淘宝卖家卖出两件商品，它们的售价均为120元，其中一件盈利20%，一件亏损20%，在这次买卖中这位卖家（

）A．不赔不赚 B．赔了10元 C．赚了10元 D．赔了50元【答案】B【详解】试题解析：设赚了20%的一件商品原价是x元，则（1+20%）x=120，解得x=100．设赔了20%的一件商品原价是y元，则（1-20%）y=120，解得y=150，∵100+150=250（元），120×2=240（元），250-240=10（元），∴亏损10元．故选B．考点：一元一次方程的应用．5．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是(

)A．160元 B．180元 C．200元 D．220元【答案】C【分析】设这种衬衫的原价是x元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这种衬衫的原价是x元，依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，解得：x=200．故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．6．方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．【详解】方程变形得：即，去分母得：，解得:x=故选B.【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于利用拆项法将原式变形.评卷人得分二、填空题7．当m的值为(只需写出一个即可)，可以使关于x的方程的解为整数．【答案】案不唯一，如6等【详解】试题解析：由，得x=．∵x、m都是整数，∴m=-8或-1或6、或13等．8．若关于x的方程2x+m-3(m-1)=1+x的解为负数，则m的范围是【答案】m<1【详解】试题分析：去括号得2x+m-3m+3=1+x，移项合并同类项得x=2m-2，由解为负数可得2m-2＜0解得m＜1.故答案为：m＜1.9．某超市推出开业一周年，优惠大酬宾活动．规定：若一次性购物不超过200元的不优惠；超过200元时，按全额9折优惠．李大妈第一次购物付款90元，第二次购物付款189元，若这两次购物合起来一次性付款可节省元．【答案】或9【分析】第二次购物付款189元，可推测189元是优惠后付款，也可能是无优惠付款，故分两种情况分析，即可求出答案．【详解】若第二次购物超过200元，设此时所购物品价值为x元则∴两次所购物价值为因此两次购物合并成一次性付款可节省：元若第二次购物没有过200元两次所购物价值为这两次购物合并成一次性付款可以节省：元故答案为：或9．【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．10．已知AB是一段只有3千米长的窄道路，由于一辆小汽车与一辆大卡车在AB段相遇，必须倒车才能继续通过．如果小汽车在AB段正常行驶需10分钟，大卡车在AB段正常行驶需20分钟，小汽车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的，大卡车在AB段倒车的速度是它正常行驶的，小汽车需倒车的路程是大卡车的4倍．问两车都通过AB这段狭窄路面的最短时间是分钟．【答案】50【详解】解：小汽车X通过AB段正常行驶需要10分钟，小汽车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的，由此得出倒车时间AB段X=10÷=50分钟，卡车Y通过AB段正常行驶需20分钟，大卡车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的，由此得出倒车时间AB段Y=20÷=160分钟，又因为：小汽车需要倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍，得到小车进入AB段，大车进入AB段，由此得出实际Y倒车时间=160×=32分钟，实际X倒车时间=50×=40分钟．若Y倒X进则是32+20=52分钟两车都通过AB路段，若X倒Y进则是40+10=50分钟两车都通过AB路段，所以两车都通过AB路段的最短时间是50分钟．故答案为：50．【点睛】本题属于应用题，有一定难度，解题时注意分别讨论小汽车和大卡车分别倒车所用的时间．11．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为．【答案】1【分析】将化为，对比，可知，由解为，可求得.【详解】解：由得，，，因为关于的一元一次方程的解为，对比上下两式可得：，即，解得.本题的答案为：1.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，应用常规的方法计算量大增，这里灵活地采用了一种对比法的解法，与是相同一元一次方程的解，则满足方程的解也可满足使方程成立，即.12．一个两位数的十位数字与个位数字的和是9.如果把这个两位数加上63，那么恰好成为原两位数的个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则原两位数是.【答案】18【分析】设原两位数的十位数字是x，则个位数字是9-x，根据原数加63等于新数列方程解答.【详解】设原两位数的十位数字是x，则个位数字是9-x，10x+9-x+63=10（9-x）+x，x=1，∴9-x=8，∴原两位数是18.故答案为：18.【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解数间的关系是解题的关键.13．如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为．【答案】5或3.5【分析】随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．【详解】解：设运动时间为t秒，①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，∵，∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，∴PC=1，∴PD=PC+BD=5；②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC=2-BC+2PC，∴PC=1，∴PD=PC+CD=5；当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC=2-BC+4PC，∴PC=，∴PD=CD-PC=4-=3.5；③当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，∵，∴BD=AP+3PC，即2=4PC，∴PC=，∴PD=CD-PC=4-=3.5；④当＜t＜时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，∵，∴BD=AP+3PC，即2=4PC，∴PC=，∴PD=CD-PC=4-=3.5；综上，线段的长为5或3.5，故答案为：5或3.5【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解．评卷人得分三、解答题14．（1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则用含的代数式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在横线上）（2）现将连续自然数1~2007按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出16个数．①图中框出的这16个数的和是__________；②在图（2）中，要使一个正方形框出的16个数的和等于2016，2168，是否可能？若不可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．

【答案】（1），，；（2）①352；②框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138；它们的和不可能等于2168，见解析【分析】（1）经过观察可知，如果中间的数是a，则上面的数是a-7，下面的数是a+7；（2）①可以把这16个数直接加起来即可，②可以设最小的数是m，那么第一行的四个数的和就是4m+6，第二行的四个数的和就是4m+6+7×4=4m+34，第三行的四个数的和是4m+34+7×4=4m+62，第四行的四个数的和是4m+62+7×4=4m+90，（其中最大数是m+24），然后这16个数相加也就是四行数相加，令其结果等于2016或2168，看计算出的m的值是不是整数，若是整数说明存在，若不是就说明不存在．【详解】解：（1）若中间的数是a，那么上面的数是a-7，下面的数是a+7，故这三个数从小到大排列分别是a-7，a，a+7；（2）①16个数中，第一行的四个数之和是：10+11+12+13=46，第二行的四个数之和是：46+4×7=74，第三行的四个数之和是：74+4×7=102，第四行的四个数之和是：102+4×7=130．于是16个数之和=46+74+102+130=352．故图中框出的这16个数之和是352；②设这16个数中最小的数为，则这16个数分别为，，，，，，，，，，，，，，，，它们的和为（为正整数），所以它们的和可以等于2016，理由：，解得，所以，因此框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138，它们的和不可能等于2168，理由：，解得，而应为整数，所以16个数的和不可能等于2168．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．15．如图，数轴上线段AB长2个单位长度，CD长4个单位长度，点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．(1)问：运动多少秒后，点B与点C互相重合？(2)当运动到BC为6个单位长度时，则运动的时间是多少秒？(3)P是线段AB上一点，当点B运动到线段CD上时，是否存在关系式？若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)运动3秒后，点B与点C互相重合；(2)运动或秒后，BC为6个单位长度；(3)存在关系式，此时PD=或．【分析】（1）设运动t秒后，点B与点C互相重合，列出关于t的方程，即可求解；（2）分两种情况：①当点B在点C的左边时，②当点B在点C的右边时，分别列出关于t的方程，即可求解．（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，分别表示出运动t秒后，C点表示的数，D点表示的数，A点表示的数，B点表示的数，P点表示的数，从而表示出BD，AP，PC，PD的长，结合，得18﹣8t﹣x=4|16﹣8t﹣x|，再分两种情况：①当C点在P点右侧时，②当C点在P点左侧时，分别求解即可．【详解】（1）由题意得：BC=16-(-10)-2=24，设运动t秒后，点B与点C互相重合，则6t+2t=24，解得：t=3．答：运动3秒后，点B与点C互相重合；（2）①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+6+2t=24解得：t=；②当点B在点C的右边时，由题意得：6t﹣6+2t=24，解得：t=．答：运动或秒后，BC为6个单位长度；（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，运动t秒后，C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，∴BD=20﹣2t﹣(﹣8+6t)=28﹣8t，AP=x+6t﹣(﹣10+6t)=10+x，PC=|16﹣2t﹣(x+6t)|=|16﹣8t﹣x|，PD=20﹣2t﹣(x+6t)=20﹣8t﹣x=20﹣(8t+x)，∵，∴BD﹣AP=4PC，∴28﹣8t﹣(10+x)=4|16﹣8t﹣x|，即：18﹣8t﹣x=4|16﹣8t﹣x|，①当C点在P点右侧时，18﹣8t﹣x=4(16﹣8t﹣x)=64﹣32t﹣4x，∴x+8t=，∴PD=20﹣(8t+x)=20﹣=；②当C点在P点左侧时，18﹣8t﹣x=﹣4(16﹣8t﹣x)=﹣64+32t+4x，∴x+8t=，∴PD=20﹣(8t+x)=20﹣=．∴存在关系式，此时PD=或．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离以及动点问题，掌握用代数式表示数轴上的点以及两点间的距离，根据等量关系，列方程，是解题的关键．16．已知甲沿周长为300米的环形跑道上按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3米/秒.设运动时间为t秒.

(1)若a=5，求甲、乙两人第1次相遇的时间；(2)当t=50时，甲、乙两人第1次相遇.①求a的值；②若时，甲、乙两人第1次相遇前，当两人相距120米时，求的值.【答案】（1）t=100（2）①a=1或7

②t=5或20【分析】（1）根据相遇时，甲和乙的路程差等于200米,列方程即可求解；（2）①由第1次相遇时间为50秒，分两种情况：当时,乙和甲的路程差等于100米；当时甲和乙的路程差等于200米列方程即可求出a值；②当时由①可知a=7，分两种情况讨论：一种是乙距甲120米，即在100米的基础上甲又比乙多跑20米，此时两人在第一次相遇前相距120米，另一种是甲距乙120米，即在200米的基础上甲又比乙多跑80米，此时两人在第一次相遇前相距120米，即可得出t值.【详解】（1）由题可列方程，解得：，答：若=5,甲、乙两人第1次相遇的时间为100秒.（2）①有两种情况：当时，则，解得，当时，则，解得，所以a=1或7；②当时由①可知a=7，根据题意可列方程：，或解得，t=5或20.【点睛】本题主要一元一次方程的实际应用--追及问题，根据追及时间=路程差÷速度差，分类列出关于t的一元一次方程，是解题的关键.17．某人去水果批发市场采购香蕉，他看中了、两家香蕉。这两家香蕉品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同．家规定：批发数量不超过1000千克，全部按零售价的90%优惠；批发数量超过1000千克且不超过2000千克，全部按零售价的85%优惠；批发数量超过2000千克的全部按零售价的78%优惠．家的规定如下表：数量范围（千克）0～500（包含500）500以上～1500（包含1500）1500以上价格（元）零售价的95%零售价的80%零售价的75%（1）如果他批发600千克香蕉，则他在、两家批发各需要多少钱；（2）如果他批发千克香蕉（），则他在、两家批发各需要多少钱（用含有的代数式表示）；（3）若恰好在两家批发所需总价格相同，则他批发的香蕉数量可能为多少千克？【答案】（1）A家：3240元，B家：3330元；（2）A家：5.1x，B家：（4.5x+900）；（3）750或1500或5000千克【分析】（1）A家批发需要费用：质量×单价×90%；B家批发需要费用：500×单价×95%+（600-500）×单价×80%；把相关数值代入求解即可；（2）把x代入（1）得到的式子求值即可；（3）分四种情况：0＜x≤1000；1000＜x≤1500；1500＜x≤2000；x＞2000；批发数量超过2000千克；根据等量关系：两家批发所需总价格相同，列出方程求解即可．【详解】解：（1）A家：600×6×90%=3240元，B家：500×6×95%+（600-500）×6×80%=2850+480=3330元；（2）A家：6x×85%=5.1x（元），B家：500×6×95%+1000×6×80%+（x-1500）×6×75%=2850+4800+4.5x-6750=（4.5x+900）元；（3）当0＜x≤1000时，依题意有6x×90%=500×6×95%+（x-500）×6×80%，解得x=750；当1000＜x≤1500时，依题意有6x×85%=500×6×95%+（x-500）×6×80%，解得x=1500；当1500＜x≤2000时，依题意有6x×85%=500×6×95%+（1500-500）×6×80%+（x-1500）×6×75%，解得x=1500；当x＞2000时，依题意有6x×78%=500×6×95%+（1500-500）×6×80%+（x-1500）×6×75%，解得x=5000．故他批发的香蕉数量可能为750或1500或5000千克．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式及代数式求值问题，得到在A、B两家批发需要费用的等量关系是解决本题的关键．18．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数a，b，c，并且满足（a＋12）²＋|b－2|＝0，b与c互为相反数，两只小蜗牛甲、乙分别从A，B两点同时沿数轴相向而行，甲的速度为2个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒．（1）求a，b，c的值；（2）运动多少秒时，甲、乙在数轴上相遇？设相遇点为点D，请求出点D所表示的数；（3）设点P在数轴上表示的数为m，且点P满足|m＋12|＋|m＋5|＋|m－5|＝20，若甲运动到点P时（此时甲、乙还没有相遇）立即掉头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所表示的数；若不能，请说明理由．【答案】（1）a=-12，b=2，c=-2；（2）运动2.8s时，甲、乙在数轴上相遇，D点所表示的数为-6.4；（3）甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点在数轴上所表示的数是-16．【分析】（1）由非负数的性质即可得出a和b的值，再根据相反数的定义即可得出c的值；（2）设运动x秒时，甲、乙相遇，相遇时路程之和等于AB，依此列方程求解即可；（3）根据甲、乙还没有相遇和相向而行可得-12＜m＜-6.4，由此可化简绝对值求得m的值，设甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点所表示的数是t．根据所用时间相等列方程求解即可．【详解】解：（1）∵（a+12）2+|b-2|=0，∴a+12=0，b-2=0，解得a=-12，b=2．又∵b与c互为相反数，∴c=-2；（2）易知AB=2-（-12）=14，设运动x秒时，甲、乙相遇．则依题意，得则，解得，此时D点所表示的数为：，答：运动2.8s时，甲、乙在数轴上相遇，D点所表示的数为-6.4；（3）由（2）可知运动2.8s时，甲、乙在数轴上相遇，D点所表示的数为-6.4，根据题意，运动到点P时，甲、乙还没有相遇，又因为相向而行，∴-12＜m＜-6.4，由|m+12|+|m+5|+|m-5|=20，得m+12-m-5+5-m=20，解得m=-8，即点P在数轴上所表示的数是-8．设甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点所表示的数是t．则依题意，得解得t=-16．即甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点在数轴上所表示的数是-16．【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．19．已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“胜利点”．（1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少；（2）若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“胜利点”时，求点的运动时间；（3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“胜利点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数．【答案】（1）；（2）1秒或10秒；（3），，，，，．【分析】（1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论；（2）根据题意可得，，再根据“胜利点”的定义即可求解；（3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时，分别代入计算即可．【详解】解：（1）数轴上两点，对应的数分别为和4，，点到点的距离等于点到点的距离，点是的中点，，点表示的数为；（2）设点运动时间为秒，根据题意可知，，，，解得：或10，点运动的时间为1秒或10秒；（3）设点表示的数为，根据题意可得，或，，，分五种情况进行讨论：①当点是关于的“胜利点”时，得，即，解得；②当点是关于的“胜利点”时，得，即，解得；或，解得；③当点是关于的“胜利点”时，得，即，解得（不符合题意，舍去）；或，解得（不符合题意，舍去）；④当点是关于的“胜利点”时，得，即，解得；或，解得；⑤当点是关于的“胜利点”时，得，即，解得，综上所述，所有符合条件的点表示的数是：，，，，，．【点睛】本题考查了数轴，胜利点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，若点表示的数，点表示的数，则是解决本题的关键．20．当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2?【答案】【分析】将m看成常数（已知数）分别解这两个方程，再根据第一个方程比第二方程的解大2，列出关于m的一元一次方程，解方程求得m的值,【详解】解：,,故答案是：【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是求出各个方程的解，再列出含m的方程求解．21．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”．(1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）；(2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值；(3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值．【答案】(1)是；(2)；(3)【分析】（1）先化简绝对值得到，再解求出，最后计算作答即可；（2）先分别解方程求出，，再根据“小美方程”的定义计算即可；（3）先根据题意得到，再由得到，解得，将代入整理得到，最后计算即可．【详解】（1）由得，；解得：，而，所以是一元一次方程的“小美方程”，故答案为：是；（2）解：∵解得：；对于，解得；由题意，当时，，解得：；（3）解：由题意，，即由得：，所以，则，把上式代入中，整理