高中数学基础知识归类

集合与简易逻辑

1.注意区分集合中元素的形式.如：{x|y=lgx}—函数的定义域；{y|y=lgx}—函数的值域；

{(x,y)Iy=Igx}-函数图象上的点集.

2.集合的性质：①任何一个集合A是它本身的子集，记为AcA.

②空集是任何集合的子集，记为0aA.

③空集是任何非空集合的真子集；注意：条件为AqB,在讨论的时候不要遗忘了A=0的情况

如:A={x|ax2-2》一1=0},4口果4口/?*=0,求a的取值.(答：a<0)

@Cc,(AClB)=CL,AUCb,B,C(,(AUB)=C(7AAC(/B:04口3)^0=4口(8("10;

(AU3)UC=AU(BU。.

⑤Afi8=AoAU5=3oAqBo'AoAnC°B=0oC0AU3=R.

⑥4|J8元素的个数：card(A\JB)=cardA+cardB-card{AQB).

⑦含〃个元素的集合的子集个数为2";真子集(非空子集)个数为2"-1;非空真子集个数为2"-2.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数/。)=49-2(/?-2)*-222-/7+1在区间［-1,1］上至少存在一个实数，，使

/(c)>0,求实数〃的取值范围.(答：(-S,3))

2

4.原命题：p=>q;逆命题：qnp；否命题：—1P=>—>夕；逆否命题：「qn—ip；互为逆否的两

个命题是等价的.如：“sineHsin/”是“a。/”的条件.(答：充分非必要条件)

5.若p=q且(7H>p,则p是4的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).

6.注意命题p0q的否定与它的否命题的区别：命题pnq的否定是p=->q；否命题是-1P=-><?.

命题中的：“p或q”的否定是“「p且「q”；“P且4”的否定是“「p或「9”.

如：“若a和匕都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是“若。和b不都是偶数，则a+匕是奇数”

否定是“若。和匕都是偶数，则a+8是奇数”.

原结论否定原结论否定

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有〃个至多有n-\

个

小于不小于至多有〃个至少有n+1

个

对所有X,成立存在某X,不成P或9~\p-EL—、q

立

对任何X,不成存在某X,成立P且4或—1,

立

二.函数

「①映射/:人一台是：⑪“一对一或多对一”的对应；反谍:合A中的元素必有象且A中不

同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集［8).

②一一映射了:A->8:⑪“一对一”的对应；⑫A中不同元素的象必不同，6中元素都有原象.

2.函数/:是特殊的映射.特殊在定义域A和值域3都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂

线至多有一个公共点，但与)，轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.

3.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.

4.求定义域：使函数解析式有意义(如：分母力0;偶次根式被开方数非负；对数真数>0,底数〉0且w1;零

指数森的底数/0);实际问题有意义；若/(x)定义域为必力复合函数f［g(x)］定义域由“Wg(x)46解出；

若/［g(x)］定义域为M，句，则/(x)定义域相当于用时g(x)的值域.

5.求值域常用方法：①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义，利用数形结合的方法来求值域；

⑧判别式法(慎用)：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).

6.求函数解析式的常用方法：⑪^定系数法(已知所求函数的类型)；⑫f弋换(配凑)法；

⑬方程的思想——对已知等式进行赋值，从而得到关于/(%)及另外一个函数的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性

⑪函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义法、图像法等：

⑫若f(x)是偶函数，那么/(x)=/(-x)=/(|x|);定义域含零的奇函数必过原点(/(0)=0);

⑬判断函数奇偶性可用定义的等价形式：/(了)±/(-幻=0或」纪=±1(〃幻#0);

⑭复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如

/(%)=0定义域关于原点对称即可).

⑮奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

⑯确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.

⑰复合函数单调性由“同增异减”判定.(提醒：求单调区间时注意定义域)

如：函数y=log,(-x2+2x)的单调递增区间是.(答：(1,2))

8.函数图象的几种常见变换⑪平移变换：左右平移--------“左加右减”(注意是针对x而言)；

上下平移——“上加下减”(注意是针对/(x)而言).

⑫翻折变换：/(x)f|/(x)|;/(x)^/(|x|).

⑨寸称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.

②证明图像G与G的对称性，即证C|上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在G上，反之亦然.

③函数y=f(x)与y=/(-x)的图像关于直线x=0(y轴)对称；函数y-f(x)与函数

y=/(T)的图像关于直线y=0(x轴)对称；

④若函数y=/(x)对xeR时，/(a+x)=/(a-x)或/(x)=/(2a—x)恒成立，则y=/(x)图像关

于直线x=a对称；

⑤若y=f(x)对xe7?时，/(q+x)=/(b-x)恒成立，则y=/(x)图像关于直线x=""对称;

2

⑥函数y=f(a+x),y=/(b-x)的图像关于直线x"对称(由a+x=6-x确定)；

2

⑦函数0与y=/S—X)的图像关于直线X上""对称；

2

⑧函数y=f(x),y=A-/(x)的图像关于直线yl对称(由y2^上上确定)；

22

⑨函数y=/(x)与):=--(-%)的图像关于原点成中心对称；函数y=f(x),y=n-f(m-x)

的图像关于点23对称；

22

⑩函数y=fM与函数尸尸(%)的图像关于直线y=x对称；曲线G:/(x,y)=0,关于y

=x+ayy=-x+a的又寸称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0;

曲线G：于(x,y)=()关于点(。力)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2h-y)=0.

9.函数的周期性：y=/W对犬£R时/(x+a)=/(九一〃)恒成立，则/(%)的周期为2|d；

是偶函数，其图像又关于直线x=Q对称，则/(X)的周期为2|〃|:

鳗y=/Q)奇函数，其图像又关于直线尤=。对称，则/(幻的周期为41al;

⑭若y=f(x)关于点30),(反0)对称，则fix)的周期为2|a-b|;

⑮y=/(x)的图象关于直线x=a,x=b(aw/?)对称，则函数y=/(x)的周期为2|Q-|;

⑯y=/(x)对x£R时,f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=--！―,则y=/(x)的周期为21al;

fM

10.对数：⑪k)gU=log*"(a>0MWl,h>0,〃£R+);颔寸数恒等式"℃=N(a>O,aw1,N>0;

⑬log(M•N)=logM+logN;logM=logM-logN;logM〃=??logM;

aaaaN°aaa

log"产」logM;寸数换底公式log—=log/,，(a>0.awl.b>O.bw1):

aV。.

nalog%。

推论：log,,b•log：c•log,.a=1=log„%•log"%•log"4=log,,a„.

I2n-lI

(以上A/>Q,N>0,a>0,aW1力>(),。Wl,c>0,cWl,a”生,…a“>0且卬,4,…a“均不等于1)

11.方程4=/(x)有解=keD(D为f(x)的值域)；a>/(x)恒成立=aN"(x)］最大值,

aW/(x)恒成立=a4"(切显小值.

12.恒成立问题的处理方法：血分离参数法(最值法)；例化为一元二次方程根的分布问题；

13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：

一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：fix')=cvr+bx+c(a0);②顶点式：

f(x)=a(x-h)2+k(a丰0);③零点、式:f(x)-a(x-x)(x3x)(。+0).

15.一元二次方程实根分布：先画图再研究A>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号；

16.复合函数：⑪复合函数定义域求法：若/(x)的定义域为&旬，其复合函数〃g(x)］的定义域可由不等

式44g(x)46解出；若/［g(x)］的定义域为求/(x)的定义域，相当于时，求g(x)的值域：⑫

复合函数的单调性由“同增异减”判定.

17.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性迎;幅注求1条编数(的范围问题:

/(〃)=g(%)〃+力(x)之。(或(。)(a<u<b)一(或一);

［f(b)>0i/3)40

18.函数y="M(cx0,4dHbc)的图像是双曲线：①两渐近线分别直线x=-:(由分母为零确定)和直线

cx+dc

y=—(由分子、分母中x的系数确定)；②对称中心是点(-dj);③反函数为丁二*也；

cCC

19.函数y-ax+b(a>0,b>0):增区间为(-00,”)，减区间为一,2),(0/

xa

如：已知函数/(x)=t”在区间(-2,内)上为增函数，则实数a的取值范围是(答：(1+00)).

x+2

三.数列

1.由S求〃，a]S[(w=l)注意验证a是否包含在后面〃的公式中，若不符合要

[S“-S”〃N2,〃€N*)

3-4,,-'(«>2)

单独列出.如：数列｛〃"｝满足J=4,C+S,”=*〃,求Q(答：a_4(M=1)x

3=人

2,等差数列｛a〃｝oa〃一a“_[=d(d为常数)«2at=ari+]+(n>2,Z?GTV*)

<=>a=an+b(a=d,b=a-d)oS=A/+Bn(A=,B=a-);

1

〃122

3.等差数列的性质：①a=a+(n-m)d,d=a,n"〃；

nm

m-n

②〃z+〃=/+Z=am+a,=a,+4(反之不一■定成立)；特别地，当m+n=2p时，有a,„+a„=2ap;

③若｛a“｝、他,｝是等差数列，则｛也,+也,｝(%、f是非零常数)是等差数列；

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即Sm,S2m-5„„S3m-5w,.•…仍是等差数列；

⑤等差数列｛a｝,当项数为2〃时，S-S=nd,$*=。"；项薮为2〃-1时，

例奇

S

偶%+iA

S-Sa=a(neN*),S=(2n-l)a,且,奇"=/(〃)=>"=f(2n-i)•

偶奇中2n-\

s偶〃一1纥b“

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题，转化为解不等式

也，去帆).也可用S“=A〃2+3〃的二次函数关系来分析・

a<0I以a>0

IZH-II7H-I

⑦若a,=m9am=n(mwn),则am+t=0;若S”=加,鼠=n(mw〃)，则Sni+n=一。〃+n);

若S,〃=S〃(mw〃)，则Sm+n=0;S3m=3(S2m—Sm);Sin+n=Sm+Sn+mnd.

4.等比数列{a}o型=q(qwO)u>Q2=aa(〃22,〃wN*)u>a=aqn~x.

“-1〃+1

5.簧比数列的性质

①a=a广〃,产r;②若｛〃｝、伯｝是等比数列，则｛切｝、｛。〃｝等也是等比数列;

ninq

③sj”吧)=1J/)a；④m+〃=/+左=4,/“=%*(反之不一定成

a-aq

nI1(1-4)__,—工1)

[i_q

i-ql-q>q

立)；Si=S,“+，”S“=S“+q”5”⑤等比数列中S“，S2n，-黑,$一&……(注:各项均不为0)

仍是等比数列.⑥等比数列｛〃｝当项数为2〃时，*=q;项数为2〃-1时，Sjr~a'=q.

S奇S偶

6①如果数列｛a“｝是等差数列,则数列｛A%｝(此总有意义)是等比数列;如果数列｛%｝是等比数列,则

数列｛1080|。“|｝(。＞0,。*1)是等差数列；

②若｛q｝既是等差数列又是等比数列，则｛4,｝是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差

是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项，那么由他们的公共

项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d;

三个数成等比的设法：a_,a,aq;四个数成等比的错误设法：二“一〃〃〃丁(为什么？)

qqq

7.数列的通项的求法：⑪公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

⑫知S(即a+a+/(〃))求a用作差法：a

nI2…+〃〃="

电厂黑|,(〃之2)

⑴,(〃=D

⑬已知4•%•…・q=/(〃)求a〃用作商法：an=\/(〃)，(〃22),

(3^a-a=/(〃)求〃用迭加法.⑮知"向=/(〃)，求a用迭乘法.

；H-1nnn

⑯已知数列递推式求a,用构造法(构造等支“、等比数列)：①形如a+b,a=ka+b",

n-\

a=ka^+a-n+b(匕/?为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为2的等比数列后，再求出

②形如=%的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.

他1+b

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列，等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相

减；⑤分裂通项法.公式：

1+2+3+...+〃=1及(〃+1);I2+22+32+...+n2=Ln(«+l)(2rt+l);

26

I3+23+33+...+n3=rW(W+1)]2;1+3+5++〃=/；常见裂项公式1J」

n(n+1)n〃+1

11

r,-1；n11

n(n+k)knn+kn(n-l)(n+1)2n{n+1)(〃+l)(〃+2)5+1)!n\(n+1)!

常见放缩公式：2(J〃+1—而=--二——广<~2—2(5-\ln-1)・

+1+Jyjnm+N/~1

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑪it类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算

“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

⑫利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率

为r,则〃期后本利和为：=p(l+r)+p(l+2r)+…，(1+〃「)=。(〃+*”+8)(等差数列问题)；②复利问题：

2

按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算

起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，分〃期还清.如果每期利率为「(按复利)，那么每期等

额还款X元应满足：

p(l+r)M=x(14-r)n-l+x(l+r)/,-2+…+x(l+r)+x(等比数列问题).

四.三角函数

1.a终边与8终边相同oa=2kjr(kGZ);a终边与6终边共线oa=0+k7t(keZ);

a终边与。终边关于x轴对称oa=-6+&;r(Z£Z);a终边与。终边关于1y轴对称=。="一。+2左"(ZwZ);

a终边与。终边关于原点对称oa=乃+。+2攵%(ZGZ)；

a终边与。终边关于角0终边对称=a=2/?-。+2%乃(攵GZ).

2.弧长公式：/=|例，扇形面积公式：^=Llr=L\0\P;1弧度(1&Z)心57.3。.

3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦，三切四余弦”.

注意：tan15°=cot75°=2-^3;tan75°=cot15°=2K;

4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹

sinx±cosx>sinxcosxv的关系.

4口(sinx±cosx)2=l±2sinxcosx等.

5.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；

(注意：公式中始终视a为锐角)

6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角

与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.

如：a=(a+〃)一/7;2a=(a+/?)+(a—/?);2a=(7?+a)—(/?-a);a+/?=2.

''2

々+■=(._1)_(>_/?)等：力”的变换：I=sin2x+cos2x=tanx,cotx=2sin3()o=tan45。;

222

7.重要结论：tzsinx+Z?cosx=y+层sin(x+9)其中tan;重要公式siMa="""2。；cos2a=

a2

IikJf)f)f)

1+cos2a:tana_11-cosa_sina_1-cosa:.士$.61=伸±sin)2=|cos±sin£.

22V1+cosa1+cosasinav2222

2tana1-tan2a2tana

万省名公式：sin2a=;cos2a=;tan2a-.

1+tan2a1+tan2a1-tan2a

兀

k冗+?一(pkn-(p

8.正弦型曲线y=Asin(3r+9)的对称轴x=--—(keZ);对称中心(二1,0)(左GZ);

k7T+—-(p

余弦型曲线y=Acos(0r+@的对称轴x=W(&eZ);对称中心(——2—,())/wZ);

(O(D

10.三角式变换主要有：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的

转化(和式与积式的互化).解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看函数、看特征”，基本的

技巧有:巧变角，公式变形使用，化切割为弦，用倍角公式将高次降次.

辅助角公式中辅助角的确定：tzsinx+bcosx=^cr+b2sin(x+(其中。角所在的象限由a,b的符

号确定，。角的值由tan6=：确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝对值之比为1观8

a

的情形.Asinx+3cosx=C有实数解oA?+8

11.三角函数性质、图像及其变换:

y=Asin(勿r+夕)

士邻中心E「XJ=772☆邻轴I.二』=772

无劣对称中心：无劣对称轴：

由y=0或)，无意义确定国教图象都相交,a相邻两

由y=o确火由尸A或-A确定交点的距离为一个周期！

(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

(2)三角函数图像及其几何性质：

(3)三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.

(4)三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和变换法.

12.三角形中的三角函数：

(1)内角和定理：三角形三角和为乃，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半

角总互余.锐角三角形。三内角都是锐角o三内旃的余弦值为正值o任两角和都是钝角o任意两边

的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：一^=上=工=2R(/?为三角形外接圆的半径).

sinAsin3sinC

注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时;，若运用正弦定理;，则务必注意可能有两解.

222—a(h+c)-a

(3)余弦定理：a=b+c-2bccosA,cosA=----------=———-----_］等，常选用余弦定理鉴定三

角形的类型.

(4)面积公式：S=-ah=-absm。=的^.射影定理：a=bcosC+ccosB

2"247?

13.AABC中，易得：A+3+C=;r,①sinA=sin(B+C),cosA=—cos(B+C),tanA=—tan(B+C).

/Tjx.AB+CA.B+CAB+C/^\,.

②sm_=cos,cos_=sin,tan_=cot.③。>8oAA>8D<=>sinAA>sin8D

222222

④锐角AABC中，A+BsinA>cos5,cosA<cosB,a2+b2>c2,类比得钝角AABC结论.

2

⑤tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

14.(小结)角的范围：异面直线所成痢(0，］;直线与平面所成角［0丁］;二面角和两向量的夹角［0,扪；直

22

线的倾斜角［0,乃)；/与/的夹痢(0,勺.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.

I2r

五.平面向量

1.1殳々=(XpyJ,b=(x2,y2).(1)a//bx［y2-x2yi=0;(2)a_iZ?oa•匕=0oxxx2+y)y2=0.

2.平面向量基本定理：如果■和I是同一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任一向量£有

且只有一对实数乙、劣，使，

3.设a=(xpy}),b=(爸，%)，则〃,人=l〃II。Icos^=x1x2+yly2;其几何意义是a3等于a的长度

与6在7的方向上的投影的乘积；2在方的方向上的投影lalcose=1i=+

㈤疡不

4.三点A、B、C共线oA后与AC,共线；与通'共线的单位向量

|AB|

5.平面向量数量积性质：设tr=（x,y）,/?=（X,y）,则cos6=。西冬+必必.

1122—|£+）：五+”'

注意：〈〃力）为锐角=a•人>0,不同向；〈〃力〉为直角u>a•/?=0;〈〃力〉为钝角=a•/?<0,〃力不反向.

6.a./?同向或有0+b\=\a\+\^\>\a\-^\b\=\a-b\;反向或有0

<=>\a-b\=\a\+\b\>^a\-\b^=\a+b\:£・5不共线u>|&-间<|£±尿|£|+⑻.

7.平面向量数量积的坐标表示:⑪若。=（孙y）,b=a2,%），则。,Z?=xIx2+yIy2;

IAB|二67%）；+（y-;©^tz=（x,y）,则a=a-a=x1+y2.

8.熟记平移公式和定比分点公式.①当点P在线葭丽2上时，2>0;当点P在线葭瓦A（或无7）延长

线上时，Xv-l或—Iv/lvO.②分点坐标公式：若8升=4尸g;且6a,乂），P（x,y）鸟&,%）；

_X]+XJX

22_X4-2

则—一1+2中点坐标公式：rL（4=D

、,_必+2为2」+%

y--------：—y------------

I1+2I2

③巳P,g三点共线=存在实数4、〃使得OP=4O6+〃0g且/l+〃=L

9.三角形中向量性质：①加过BC边的中点：dB+可小（也回）;

\AB\\AC\\AB\|AC|

②而」（耳+方+定）o函+砺+五=6OG为AA8C的重心；

3

③丽•丽=丽正=所成o尸为AABC的垂心；④|前|西+|瓦|而+|而|方=6=P为

AABC的内心；2(一+一）（4。0）所在直线过AA3C内心.⑤设4匹,/）,5（左,必），

\AB\\AC\

11cc

s=fy-xy.sIABIIACIsinA=^AB\\AG\-(AB-A€)

&AOBABBAIAABC

⑥O为AABC内一点，贝“S^OA+S嬴OB+S~；OC=0.

10.P(x,y)二与M>a->P'(x'»),有p=X+h(中=«);y=f(x)>y-k=f(x-h).

[y=y+A

六.不等式

1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：

①若附>0,b>a,^'J,即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变.

ab

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论.

2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分

类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法.

3.掌握重要不等式，⑴均值不等式:痴力〉。，则厅2岁N&N2（当且仅当4=。时

-4--

ab

取等号）使用条件：“一正二定三相等“常用的方法为：拆、凑、平方量;^a,b,ceR,

222a2+b2a+h2

a+8+c>ah+he+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；⑶公式注意变形如：-----2（----）,

22

ab<（a+b）2；（4）若a〉Z?>0,团>0,则_"<"+"（真分数的性质）;

2aa+m

4.含绝对值不等式：a.b同号或有0u>|〃+h|=|〃|+|目|a|A|=|〃-。|;a,h异号或有0

=|a-b\=\a\+\t\\>\a\-\\b\=\a+b\,

5.证明不等式常用方法：匕较法：作差比较：A-BWOoAWB.注意：若两个正数作差比较有困难,

可以通过它们的平方差来比较大小；软宗合法：由因导果；⑬分析法：执果索因.基本步骤：要证…需

证…，只需证…；⑭反证法：正难则反；⑮放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.

放缩法的方法有：①添加或舍去一■些项，如：7«2+•>io|；+i)>〃.②将分子或分母放大(或缩小)

③利用基本不等式，如：麻开同.④利用常用结论：i°内_太=$------

2〃+1+/2d

2。I1__!_<】<I(程度大)；3°11_lz1一1)(程度小)；

kk+\(k+l)kk2(k-\)kk-lkk2k2-i2k-\k+1

⑯奂元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元

代数换元.如：知12+,2=〃2,可设x=〃cos“y=asin。；知犬+产金，可设x=rCos^,y=rsind

2222

(0<r<l);知二+2L=1,可设x=acosay=8sin。；已知L-2L=1,可设x=asec6,y=8tan。

a2b2-a2tr

⑰最值法，如：a>/(x)圾大值，则a>/(x)恒成立.a</(x)母小值，则a</(x)恒成立.

七.直线和圆的方程

1.直线的倾斜角c的范围是。乃)；

2.直线的倾斜角与斜率的变化关系Z=tana(a*3(如右图)：

2

3.直线方程五种形式：⑪点斜式：已知直线过点(%,治)斜率为攵，则直线

方程为的)，它不包括垂直于x轴的直线.⑫斜截式：已知直线在y轴上的截距为〃和斜率

k,则直线方程为了=依+匕，它不包括垂直于x轴的直线.色两点式：已知直线经过

尸(x,y)、P(x,y)两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线.

111222y_)，一刀一式

2121

⑭截距式：已知直线在工轴和y轴上的截距为见。，则直线方程为“4)=1,它不包括垂直于坐标轴的直

ah

线和过原点的直线.⑮一般式：任何直线均可写成Ax+8y+C=()(A,3不同时为0)的形式.

提醒：⑪直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？)

⑫直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等O直线的斜率为T或直线过原点；

直线两截距互为相反数O直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等O直线的斜率为±1或直

线过原点.

⑬截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.

4.直线I:+4丫+G=0与直线J：A2X+B2y+C2=0的位置关系：

⑪平行A2修=0(斜率)且BtC2-B2C^O(在y轴上截距)；

修目交O人生―产0；(3)重合043「42坊=0且B"BC=0・

5.直线系方程：①过两直线/1：人仔+Bj+G=(),。+B2y+C2=0.交点的直线系方程可设为

A|X+3。+G+A(A2X+B2y+C2)=0;②与直线/:Ax+By+C=0平行的直线系方程可设为

Ax+By+m=0(mc);③与直线/:Ax+By+C=0垂直的直线系方程可设为Bx—Ay+n=0.

6.到角和夹角公式：⑪乙到&的角是指直线人绕着交点按逆时针方向转到和直线4重合所转的角巴

6G(0,乃)且tan6="au：kw-l);

12

⑫/与/的夹角是指不大于直角的角”且tand=|

7.点尸(4,%)到直线Ar+By+C=0的距离公式”如4B)，0+C].

7A2+B:

两条平行线Ax+By+C,=。与Ar+3v+C,=0的距离是4=已一°』

VA2+B2

8.设三角形AA8C三顶点A(x,y),B(x,y),C(x,y),则重心G(*+W+&%+%+%)；

112233§3

9.有关对称的一些结论

⑪点3力)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是-匕)，(~a,b),(-a,-b),(b,a).

3线/(x,y)=O关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(a,b):f(2a-x,2b-y)=0;

②x轴：f{x,-y)-0;③y轴：f(-x,y)=0;④原点：f(-x,-y)=0;⑤直线y-x:

/(y,x)=0;⑥直线y--x:f(-y,-x)-0;⑦直线x-a:/(2a-x,y)=0.

10.⑪圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.⑫圆的一般方程：

£+丁+6+£>+尸=0(。2+序一4/>0).特别提醒：只有当时，方程

炉+y2+m+Ey+尸=0才表示圆心为(_匕_3,半径为LjZ)2+E2_4尸的圆(二元二次方程

222

天2+8孙+02+为+小+尸=0表示圆04二。00,且B=0,D2+E2-4AF>0).

[x=tz4-rcosO

⑬圆的参数方程：<,八(。为参数)，其中圆心为伍力)，半径为「.圆的参数方程主要应用是三角

[y=。+rsin，

换元：x2+y2=r—>x=rcosff,y=rsinff;

x2+y2=t2-^>x=rcos^,y=rsin^(0<r<Jt).

⑭以A(%],y)、B(x2,y2)为直径的圆的方程(x-2)(x-/)+(丁-M)(V-%)=。；

11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点2(%,%)及圆的方程

(x-a)2+(y-b)2=r2.①(x-a)2+(y-b)2>y0点尸在圆外；

②(x-a)2+(y-。)2<点P在圆内；③(x-〃)2+(y一b)?=Po点P在圆上.

0000

12.圆上一j点、的切线方程：点P(x,y)在圆f+，=/上，则过点P的切线方程为：xx+yy=/；过圆

Q000

(x-a)2+(y-»2=产上一点p(x,y)切线万程为(x-a)(x-a)+(y-政丫―b)=/.

0000

13.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与x轴垂直的直线.

14.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理