教案：高中数学人教B版 必修 第二册 数据的数字特征

5.1.2数据的数字特征（2）

教材分析

本节课是《5.1.2数据的数字特征》的第2课时，在上节课学习了样本的最值、平均数、

中位数、众数、极差、方差、标准差等概念的基础上，进一步理解不同数字特征的不同意义和

作用，结合实例让学生学会根据不同的要求选择不同的统计量表达数据的信息，通过对数据的

数字特征的学习，培养学生数学抽象、数据分析、数学运算的核心素养.

教学目标与核心素养

考-J占八、、教学目标核心素养

最值、平均数、中位数、百会求样本数据的最值、平均数学抽象、数学运算、数据

分位数数、中位数、百分位数，并分析

理解它们的意义和作用

方差、标准差会求样本数据的方差、标准数学抽象、数学运算、数据

差，并理解它们的意义和作分析

用

教学重难点

【教学重点】

熟练掌握样本的最值、平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等概念，并理解它们的意

义和作用

【教学难点】

样本的平均数、中位数、百分位数、方差、标准差的意义与作用

教学过程

复习回顾：

一.平均数、中位数、百分位数、众数

众数、中位数、平均数刻画了一组数据的集中趋势.

1.平均数来刻画一组数据的平均水平（或中心位置）.

—1—

如果给定的一组数是由，天，…，Xn，则这组数的平均数为X=-（XI+X2H----简记为x=

n

如果为，毛，…，羽的平均数为x,且分〃为常数，则加+力，ax2+b,•••,a覆+8的平均数

为

2.如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为荀，为，…，莅5，则称①为这组数的

中位数，如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为尼，…，则称刍装皂为这

组数的中位数.

3.一组数的/%（P©（0,100））分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有也的数据不大于

该值，且至少有（100—⑹％的数据不小于该值.

4.一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据

的众数.

二.极差、方差、标准差

极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度.

1.一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.

2.如果Xi,苞，…，项的平均数为x,则方差为一=12（x―十）；

nJ----------------------

—/=1

如果a,6为常数，则axi+力，ax2-\-b,,,,,ax〃+b的方差为MJ.

3.方差的算术平方根称为标准差.

题型1：中位数与百分位数

例1.某中学从高一年级中抽取了30名男生，测量其体重，数据如下（单位：千克）：

62605959595858575757

56565656565655555554

54545353525251504948

（1）求这30名男生体重的25%,75%分位数；

⑵估计本校高一男生体重的第80百分位数.

解.将上述数据按从小到大排序，可得

48495051525253535454

54555555565656565656

57575758585959596062

⑴由25%X30=7.5,75%*30=22.5,可知它们的25%,75%分位数是第8,23项数据,分别为

53,57.

（2）由80%X30=24,可知第80百分位数为第24项与第25项数据的平均数，即;（58+58）=

58.

据此可以估计本校高一男生体重的第80百分位数为58.

【解题方法】

计算第夕百分位数的步骤：

⑴按从小到大排列原始数据.

⑵计算i=z?X庚.

⑶若，不是整数，而大于，的比邻整数为则第。百分位数为第/项数据；若，是整数，

则第0百分位数为第，项与第（，+1）项数据的平均数.

题型2：平均数与方差

例2.如果数据2占+1、2尤2+1、…、2%+1的平均值为5,方差为16,则数据：5-3%、5-39、

…、5-3%的平均值和方差分别为（）

A.—1,36B.-1,41C.1,72D.-10,144

【答案】A

【解析】

设数据%、/、…、》”的平均值为，方差为$2,

由题意（2%+1）+（2々+1）+一.（2%+1）=2&+々+…+短+］=2办］=5,得7=2,

nn

由方差公式得［（2」+l）_（2x+l）］+［（2/+l）-（2x+l）J+---+

n

所以，数据5-3西、5-3%、…、5-3%的平均值为(5—3xJ+(53x2)+…(5-3%)

n

3(Xi+%+…+x〃)；

n

方差为[(5—3xJ—(5—3,，+[(5—3々)一(5—3可+…+[(5—3x")一(5—3。2

n

9(X一斗了+「一X2『+…+(x—X")[2

n

故选：A.

【变式练习】

1.已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两

个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更

正后，重新求得样本的平均数为"方差为则

A.歹=70,『<75B.亍=70,S2>75C.X>7O,52<75D.于<70,$2>75

【答案】A

【解析】

【分析】

分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得的值，即可得到答案.

【详解】

70x50+80-60+70-90”

由题意，根据平均数的计算公式，可得了=二70，

50

设收集的48个准确数据分别记为为々，…,x48，

22,0）2+（60-70）2+（90-70）2]

贝175=—(xj-70)+(x2-70)+…+(%8—7

--500],

(%；-70)+(%2-70)+…+(%48-70)~+

s?=5(%[-70)"+(x2-70)-+---+(%48-70)2+（80-70）2+（70-70）2

=.[(玉—70)2+(工2—70)2+——+(X48—70)2+100]<75,

故S2<75.选A.

2.甲、乙、丙三名同学在军训的实弹中射击各射击10发子弹，三人的射击成绩如表.§2,

*分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，则（）

环数7环8环9环10环

甲的频数2332

乙的频数1441

丙的频数3223

A.s3>sx>s2B.5,>^1>53C.>52>S3D.S2>S3>

【答案】A

【解析】

解：解法一：设司,高兀分别为甲，乙，丙射击成绩的平均数,

7x2+8x3+9x3+10x2

再二=8.5,

10

S；=工[2(7—8.5)2+3(8—8.5)2+3(9—8.5)2+200—8.5)2],S]-1.05,

7x1+8x4+9x4+10x1

同理可得,=8.5,s2=0.65,—8.5,S3=1.45,

10

或者观察法：乙的数据比较集中，方差最小，丙的数据比较离散，方差最大,

故选：A.

【解题方法】

1.平均数与方差（标准差）在实际问题中的应用

平均数反映的是数据的平均水平,在实际应用中,平均数常被理解为平均水平.方差（标准差）反

映的是数据的离散程度的大小,反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度,方差（标准

差）越小表明样本数据在样本平均数的周围越集中；反之,方差（标准差）越大,表明各个样本数

据在样本平均数的两边越分散.在实际应用中，方差（标准差）常被理解为稳定性,常常与平均数

结合起来对样本数据作出评判.

2.平均数与方差（标准差）的性质：

（1）数据组X1,%%的平均数为元方差为S,标准差为s,则数据组ax、+b,ax#b,…,axn+b^a,b

为非零常数）的平均数为取+b,方差为a2s；标准差为as;

（2）方差4的取值范围是［0,Q）.

题型3：数字特征综合应用

例3.甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表:

班级参赛人数平均数中位数众数方差

甲4583868582

乙45838485133

某同学分析上表后得到如下结论：

①甲、乙两班学生的平均成绩相同；

②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分》85分为优秀）；

③甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；

④乙班成绩波动比甲班小.

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

①从表看出甲、乙两班学生的平均成绩相同，正确；

②因为乙班的中位数比甲班的小，所以正确；

③根据甲、乙两班的众数，所以正确；

④因为乙班的方差比甲的大，所以波动比甲班大，所以错误

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了样本中的数字特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

【变式练习】

已知样本：者、々、£、/、该样本的平均数为7,样本的方差为4,且样本的数据

耳不粗见则样本数据中的最大值是.

【答案】10

【解析】

由题意，工1、、x4、工5eN,该样本的平均数为7,则《(尤1+%2+冗3+犬4+兀5)=7。样

本的方差为4,则

222222222

—[(芭-7>+(x2—7)+(x3—7)+(x4—7)+(x5—7)]=4=>[(石-7)+(x2—7)+(x3—7)+(%4—7)+(x5—7)]=20.如图，表

示1,2,3,4,5个点分别位于7的上下两侧，那么(4—7)2<20,4,5,所以王<11,

设退=11,那么[(%-7)2+区-7)2+(%-7)2+(毛-7)2]=4,必然存在样本数据相等，不满足

题意。

设退=10,那么[(玉―7)2+(9—7)2+(%—7)2+(%—7)2]=11,不妨设%=4,々=6,%=7,

天=8,且满足白石+々+七+4+匕)=7。所以在最大值为10时存在5个数都为整数满足题意。

例4.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于22℃现有甲、乙、

丙三地连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是正整数)：

①甲地：5个数据是中位数为24,众数为22；

②乙地：5个数据是中位数为27,总体均值为24；

③丙地：5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8

则肯定进入夏季的地区有()

A.①②③B.①③C.②③D.①

【答案】B

【解析】

试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24,众数为22可知①符合题意；而②乙

地：5个数据的中位数为27,总体均值为24中有可能某一天的气温低于22V,故不符合题

意，③丙地：5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.若由有某一天

的气温低于22P则总体方差就大于10.8,故满足题意，选C

【变式练习】

在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的

标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新

增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）

A.甲地：总体均值为3,中位数为4B.乙地：中位数为2,众数为3

C.丙地：总体均值为2,总体方差为3D.丁地：总体均值为1,总体方差大于0

【答案】C

【解析】

【分析】

通过反例可排除45,。；。中，若有一天数据超过7,在均值为2的情况