高等数学(专科)复习题及答案

中南高校现代远程教化课程考试(专科)复习题与参考答案

《高等数学》(专科)

一、填空题

1.函数y=Vx2-4+-^-7的定义域是__________.

卜-11

解.(-00,-2]u[2,+oo)o

2.若函数“了+1)=/+2>5,则/(x)=.

解.x2-6

ox-sinx

o・lim-----------=___________________

xt8x

答案：1

:施初汪rx-sinx八sinx、〔sinx.八1

止确解法：lim-----------=lirm(l----------)=rlim1-rEm-------=1-0=1

Xf00XKT8XA->00Xf8JQ

4.已知lim/+o无+〃=2,贝心=_____,b=______o

7%-X-2

由所给极限存在知，4+2a+b=0,得力=-2〃-4,又由

lim厂'"+空lim吧~4+2=幺a=2,知。=2,b=-8

T尤2_x_2s2%+13

5.已知lim---=oo,则q=_______,h=______o

…(x-a)(x-l)

..ex-b日口(x-a)(x-1)。八八71

lim-------------------=oo,B|Jlim--------------------=-------=0,「♦。=0/w1

x^0(x-a)(x-1)I。ex-b1-b

6.函数/(x)=xsin：x<°的间断点是X=o

x+1x>0

解：由/(x)是分段函数，x=0是〃x)的分段点，考虑函数在x=0处的

连续性。

因为limxsin—=0lim(x+1)=1/(O)=1

x->0XXTO,

所以函数/(x)在工=0处是间断的，

又/(X)在(-00,0)和(0,+8)都是连续的，故函数/(X)的间断点是X=0。

7.设y=x(x-W).(x-n),则严I)=5+1)!

8.fM=x2,则/(r(x)+i)=。

答案：(2x+l)2或4/+4x+l

J4x-y2

9.函数z=或?一『一式的定义域为。

ln(l一％一y)

解：函数z的定义域为满意下列不等式的点集。

4x-y2>0<4x/<4x

<l-x2-y2>0=>-x2+y<1=>■0<x2+y2<1

\-x2-y2#1X2+y2Ho

nz的定义域为：b,丫)|0</+丫2<］且Ex}

10.已矢口/(x+y,x—y)=/y+孙2,贝ij/(工,,)=,

解令x+y="，x—y=v>则x="；i，>"="J，/(x+y)(x-y)=xy(x+y)

、u+vu-vuu2、.x,,

f(u,v)=———z2-V-),f(x,y)=-(x2-y2)

IL设f(x,y)=孙+,'V-,贝!J/：(0,1)=。//(0.1)=

x+y

/(0,l)=0+0=0

Axn

<,(。,1)=lim但业©=limR-=2

AY->OAXAX—OAT

/；(0,l)=lim八。，N'+D-八"I)=lim2z2=oo

Ay->0勺，Ay->0

12.设Z=/+§山乂％=85.,〉=/,则立■=o

dr

解—=-2xsint+3/cosy

dt

13.f(x)dx=.

解：由导数与积分互为逆运算得，^-\d\df(x)dx=f(x).

14.设7(x)是连续函数，且］。⑺力=x,贝1八7)=1

解：两边对X求导得3/7（丁-1）=1,令/_]=7,得X=2,所以

1

12

15.若，;e-"dx=g,贝！JZ=o

答案：\-1=「'e"dx=lim--1e*d(—日)

2J。%J。

r1-kx\^1r1-kb1

=lim—e=—lim—e=一

b-x8k10k八田kk

:・k=2

16.设函数f(x,y)连续，且满意/(x,y)=M7(x,y)Ar+y2其中

D

D:/+y24a2,则f(x,y)=.

解丁+与x.

4

记A=JJf(x,y)"b,则/(x,y)=Ar+V,两端在D上积分有：

D

A=jjAxd(j+Jjy2da，其中Ajjxd(j=0(由对称性)，

DDD

4

2d(

1Jydb=fp[)sin2夕加=等.

D-

44

i

即A=与，所以，f(x,y)=y+^-x.

44

17.求曲线了2=43/=5所围成图形的面积为,(a>0)

解：一

3

8

2n一112"-2

18.Z

n=l2"

解：令y=/,则原幕级数成为不缺项的幕级数£与尸1,记其各项系

n=l2

数为一因为犬=吧罔=吧吃.篇=2配|公=2

则

-2<y<2=>0Wxv2,A/2<工<yp2.

当x=±亚时，幕级数成为数项级数;£(2〃-1),此级数发散，故原幕级数

2n=\

的收敛区间为(-右伪.

19.(02一了=0的满意初始条件),(1)=_1,)，'(1)」的特解为'='》」

1241212

20.微分方程y〃-3V=0的通解为,=6+01.

Zx

21.微分方程y"+6y，+13y=0的通解为y-e~{cxcos2x+c2sin2x).

22.设n阶方阵A满意|A|=3,则=|2A*-7A-1|=.

答案：(-1)个

-111

23.1-1x是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数

11一1

是______

答案：2;

31x

24.25是次多项式，其一次项的系数是

14x

解：由对角线法则知，/'(x)为二次多项式，一次项系数为4。

25.A、B、C代表三事务，事务“A、B、C至少有二个发生”可表示为

AB+BdAC.

26.事务A、B相互独立，且知尸伊)=0.2,/5(8)=().5则2(41.

解：A相互独立，:.P(A^=P(A)P(助

：.P(AUB)=P(A)+P(助-P(A3)=0.2+0.5-0.1=0.6

27.A,B二个事务互不相容，P(A)=0.8,P(B)=0.15lJP(A-B)=.

解：A.方互不相容，则〃明=0,一(力-而=尸(2)-尸(第=0.8

28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别

为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.

解：设4B、。分别表示事务“第一、二、三次射击时击中目标”，则

三次射击中恰有一次击中目标可表示为ABC+ABC+ABC,即有

尸(ABC+ABC+ABC)

=尸(4)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(X)P(B)P(C)=0.36

29.已知事务A、B的概率分别为P(A)=0.7,P(B)=0.6,且P(AB)

=0.4,则P(AlB)=；P(A—B)=;

解：P(AUB)=P(A)+尸㈤-P(A助=0.9

P(A--=P(力)--(阴=0.7-0.4=0.3

30.若随机事务A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的

概率为.

解：P{A+S)=1-P(A+B)=1-P(AB)=l-p

二、单项选择题

1.函数/(x)=x33(a>O,awl)()

ax+\

A.是奇函数；B.是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。

解：利用奇偶函数的定义进行验证。

〃、/、小一1「(「优)x

f(-X)=(-X)--------=-x---------------=X--a-----\-=f(X).

。一”+14一«1+优)优+1

所以B正确。

2.若函数於+3=炉+3,贝疗。)=()

XX

A.x~；B.—2；C.(%—I)?；D.x~—1o

解：^^)x2+-^=x2+2+-^-2=(x+-y-2,所以/(X+L)=(X+」)2—2

XXXXX

则f(x)=x2_2,故选项B正确。

3.设/(x)=x+l，则”/Xx)+1)=().

A.xB.x+1C・x+2D.x+3

解由于f(x)=x+l,得f(f(x)+1)=(f(x)+1)+1=/(x)+2

将/(x)=x+1代入，得/(/(x)+1)=(x+1)+2=x+3

正确答案：D

丫2

4.已知lim(------ax-b)=O9其中是常数，则()

isx+1

(A)ci=\,h=\,(B)a=—1,Z?=1

(C)a=\,h=—\(D)a=—1,/?=—1

相亚r/xv(1-Q)x?—(〃+人卜一人

用牢.lim(--------ax-h)=bm----------------------------=0n,

x—8x+1isx+1

1-6Z=0,6f+Z?=0,.*.6Z=l,/?=—1答案：C

5.下列函数在指定的改变过程中，()是无穷小量。

A・e(,(x—>oo)；B.(xfoo)；

x

C.ln(l+x),(x->1);D.-"I__(x-0)

x

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

而A,C,D三个选项中的极限都不为3故选项B正确。

6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是()

(A)y=xsin—(xf8);(B)y=(n—>oo);

x

(C)y=lnx(x-»4-0);(D)^=—cos—(x-^0)

XX

解.vlimxsin—=limsin—/—=1,故不选(A).取m=2A:+1,则

XT8XXT8x!x

lim=lim—!—=0,故不选(B).取%"=---——,则lim1~cosL=0,故

“Tookim2Z+17t〃->8xx

n7TH——nn

2

不选(D).答案：C

7.设/(外〜'11/x>。，贝lj/(x)在x=0处()

x,x<0

A.连续且可导B.连续但不行导

C.不连续但可导D.既不连续又不行导

解：(B)

lim/(x)=limx=0,lim/(x)=limxsin—=0,/(O)=0

XT。-x-K)-x->0+x->0+X

因此/(x)在x=0处连续

xsinl_0

£(0)=lim------lim--------=limsin—,止匕极限不存在

xMx—0XTO+x—0x->o+x

从而f；(0)不存在，故((0)不存在

8.曲线y=在点(1,0)处的切线是().

A.y=2x-2B.y=-2x+2

C.y=2x+2D.y=-2x-2

解由导数的定义和它的几何意义可知,

2

y⑴=（尤3_必=（3x-1）|=2

X=1X=1

是曲线y=/-x在点（1,0）处的切线斜率，故切线方程是

y-0=2(x-l),S[Jy=2x-2

正确答案：A

9.已知y'/,则y〃=().

4

A.x3B.3x2C.6xD.6

解干脆利用导数的公式计算：

”(%—,y-2

正确答案：B

10.若/d)=X，则八x)=()O

X

A.-B.-VC.--D.

XXXX

答案：D先求出/(x),再求其导数。

11.z=M产孑的定义域为().

A.一一)，2之1B.——y220c.--y2>lD

x2-y2>0

解z的定义域为人y)|x2_)，2>o｝个，选D。

12.下列极限存在的是()

(A)lin—(B)i_L

im(C)lim厂(D)|jmxsin―!—

为+y的+y/x+y

解A.当P沿x=0时，lim/(0,y)=0,当P沿直线y=0时，lim/(x,O)=l,故lim

y->0x->Ox->0

y->0

—匚不存在;B.lim—!—=8,不存在；C.如推断题中1题可知lim

x+yx->ox+yx-

>'->0)TO

不存在;D.因为limxsin----<hmx=0,所以limxsin----=0选D

x->ox+yx->oXTOy

y—O)TO),->0

13.若/(-x)=/(x)(-oo<x<+oo),在(-00,0)内广(》)>0"〃食)<0,则在(0,y0)内

().

(/)/'(x)>0J"(x)<0(8)f'(x)>0,/*(x)>0

(<7)/V)<0,.rU)<0(〃)/'(x)<0,/"(x)>0

解：因/(x)为偶函数，则/"(x)为奇函数,尸(幻为偶函数,故应选(C).

14.设/(x)为奇函数,且x〉()时/(x)>0,则/(x)在［-10,-1］上的最大值为

()

A./(-10)B./(-I)C./(10)D./(I)

解：(B)

因为f(x)是奇函数，故/x)=-f(x),两边求导-尸(-x)=-尸⑴，从而

f'(x)=f'(-x),设x<0,则一x>0,从而r(x)=尸(—x)>0,所以/(X)在［TO,

T］上单调增加，故最大值为/(-1)

15.函数/*,%2)=40-了)一/一产()

(A)、有极大值8(B)、有微小值8(C)无极值(D)有无极值不确

定

=

解A=4-2x,fy=-4-2y,―\

［fy=017=-2

H=(7H>0-2<0,y(2,-2)=8为极大值(A)

15.设/(x)是以T为周期的连续函数，则/=的值().

Ja

(⑷依靠于a,T(皮依靠于凡瑶以

9依靠于T,x,不依靠于〃(〃)依靠于T,不依靠于。

解：依据周期函数定积分的性质有，/？(幻心=(/5)6故应选(。).

17.曲线y=sin;(O<x«;r)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的

体积为().

(A)-(B)(。)-e(〃)-n

3333

解：所求旋转体的体积为

V=£孙26k=.3J2\JrCOS'Xn4

sinxdx=(1-cosx)acosx=-^[cosx----]0=-TT.

故应选(6).

n«nn

18.设加=「丁；1lcos，xdx,N=1'(sin'x+cos4x)dx,

P=j^(^2sin3x-cos4x)dx则有().

~2

(/)N<P<M(B)M<P<N

(C)N<M<P(〃)P<M<N

解：利用定积分的奇偶性质知M=0>N=2(^cos4xdx>0，

Jo

71

P=-2^co^xdx<Q,所以P<A/<N,故选(〃).

19.下列不定积分中，常用分部积分法的是()o

A.Jxsinx2dxB.Jxsin(2x+l)dx

C.f^drD.

JXJl+x

答案：Bo

223

20.设/=jj(1-x-y)dxdy9则必有()

x-+y-<4

(A)I>0(B)I<0(C)1=0(D)U0的符号位

不能确定

2

解：D：僵;/=1：%然(1-，)3血=-乃一(1-，户>0

21.设f(t)是可微函数，且f(0)=l,则极限(勒工丘(必寿)公办)

()

(A)等于0(B)等于：尸(0)

(0等于+8(D)不存在且非8

C)

解：由极坐标，原极限=lim3『"或ff⑺dr=lim?句。=2=+co

22.设函数项级数£%(x),下列结论中正确的是().

〃=】

(⑷若函数列L(x)｝定义在区间/上，则区间/为此级数的收敛区间

(皮若S(x)为此级数的和函数，则余项,;,(x)=S(x)-S.(x),lim43)=0

〃一＞00

9若x°e/使£““(/)收敛，则|x|＜|x°|全部x都使£““(x)收敛

«=1n=l

(〃)若S(x)为此级数的和函数，则必收敛于S(x。)

”=1

解：选(分.

23.设。＞0为常数，则级数t(_i)"(「cosq)().

ztn

(⑷肯定收敛(皮条件收敛9发散(〃)敛散性与。有

关

22

解：因为(-1)"(1-3号=25山2^4当，而工普收敛，因此原级数肯定收

n2nM2n

敛.故选(4).

24.若级数£(-1)"包包在x〉()时发散，在x=0处收敛，则常数。=().

«=|〃

(4)1QB)-1(。)2(〃)2

解：由于£(-1)"匕丝收敛，由此知同41.当-1＜。41时，由于£(-1)"*_「)"

«=1〃n=l〃

的收敛半径为1,因此该幕级数在区间3-1M+1)内收敛，特殊地，在(0,〃+1)

内收敛，此与募级数在x＞()时发散冲突，因此〃=-1.故选(夕)・

25.y"+2y+5y=cos2x的特解可设为()

(A)y*=e-AAcos2x;(B)y'：=xe~xAcos2x;

(C)y*=xe-*(Acos2x+Bsin2x);(D)y*-e~x(Acos2x+Ssin2x).

解：c

26.微分方程的阶数是指()

(A)方程中未知函数的最高阶数；(B)方程中未知函数导数或

微分的最高阶数；

(C)方程中未知函数的最高次数；(D)方程中函数的次数.

解：B

27.下面函数()可以看作某个二阶微分方程的通解.

222

(A)x+y-c;(B)y-CfX+c2x+c3",

(C)y=Gsin。x+c2cos°x;(D)y=ln(C]X)+In(<?2cosx).

解：C

28.A,B均为n阶可逆矩阵,则A、B的伴随矩阵(AB)*=().

(A)A*B*;(B)|4B|ATB~'；(C)B-'A-'(D);

解答：D

29.设4、6均为/?阶方阵，则必有[]o

(2)\A+B\^\A\+\B\⑶AB-BA

(0|第=|掰|(〃){A+S)''=A''+B'

解：正确答案为(0

30.A.B都是n阶?毛阵，则下列各式成立的是

()

(A){ABy=ATBT(B)(A+B)r=AT+BT

(C)(AB)1=A'B-'(D)(A+B)-1^A'+B'

解答：B

31.在随机事务A,B,C中，A和B两事务至少有一个发生而C事务不发

生的随机事务可表示为（）

（A）ACBC（B）ABC（C）ABCIABCABC（D）ABJC

解由事务间的关系与运算知，可选（⑷

32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其

中恰有3个白球的概率为（）

5

(A)|(D)

cf

解基本领件总数为C3设/表示“恰有3个白球”的事务，/所包含

的基本领件数为c；=5,故尸04）=3，故应选（〃）。

33.已知O<P（B）V1,OVP（A）V1,OVP（A2）V1,且P（（A1_A2）|可

=P（AJB）+P（4|8）,则下列选项成立的是（）

（A）P（（A,UA）|fi）=P（A,|fi）+P（A|B）；

（B）P（（AJ4）［3）=尸（AJ+P（&）

（OP（A/_A5）=P（AJP（8|AJ+P（4）P（B|4）

（D）P（B）=P（AjP（B|Aj+P（a）P（B|&）

解由题可知4、一互斥，又0<m<b0<m）<b0<尸（4）<1,所

以

——山―AB=P(AB+P(AB-P(A\AB=尸(4)P{B\A)+2(4)P{B\A)

故应选（。）。

三、解答题

1.设函数

xsin—+Z?x<0

x

/(x)=<ax=0

问(1)为何值时，/(x)在x=0处有极限存在？

(2)a,6为何值时，/⑶在x=0处连续？

解：(1)要f(x)在x=0处有极限存在，即要lim/(X)=lim/(X)成立。

I。-D-

因为limf(x)=lim(xsin—+&)=&

xf(TXTOIx

lim/(x)=lim=1

xfO-x->0+x

所以，当6=1时，有lim/(x)=lim/(x)成立，即A=1时，函数在x=O处

*-X)-x-X)+

有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所

以此时a可以取随意值。

(2)依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

lim/(x)=lim/(x)=/(x0)

X->.VQ

于是有b=l=/(O)=a9即a=b=1时函数在x=0处连续。

2.已知lim'+'-8,试确定a和。的值

12X-2

321

解.,「lim-+以+=8,/.lim(x3+ax2+/7)=8+4Q+Z?=O,即人=一8一4。

A>2X—2

%3+Q厂4-b13+QX~_4Q-8r2(c,11Ao

lrim-----------=lrim----------------=lrimx+(a+2)x+2a+4=4a+12=8,

x—2X-2X—2X-2fL」

.•.a=—l，故人=-4

3.设/5)=&•，x>0,求的间断点，并说明间断点的所属类型

ln(l+x),-l<x<0

解./Q)在(-1,0),(OJ),(1,+00)内连续，lim=00,lim=0,/(0)=0,因

此x=l是/(x)的其次类无穷间断点；lim/(x)=Hme*T=/,

X->0+A->0+

lim/(x)=limln(l+x)=O,因此x=0是/(x)的第一类跳动间断点.

A->0-x->0"

4.求方程中y是x的隐函数的导数

(1)xy-ex+ey=］,y'

解：方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即

(孙y-ey+ey=r

y+xy'-ex+e)'y'=0

(冗+ev)y'=e"一》

t

整理得y=

x+ev

(2)T^_y=sin(x+y),求@,人;

dxdx'

解：V=cos(x+y).(1+y')y'=-c°s(x+))

1-cos(x+y)

y"=-sin(x+y)-(l+y)2+cos(x+>>y”，

〃sin(x+y)-y

y=--------------=--------------

[l-cos(x+y)J3[l-cos(x+y)]3

5.设2=z(x,y)由方程z+x=e"所确定，求三j

dydx

解：设:(x,y,z)=e=-z-x,

zy

『-1,Fy=-e-,£=e、-1,

dz_1dz_e1--*1_1

豕=—，而一'

.匹-d1__e『d_ewe

"dydx~dx(A-ey-z)~(l-e'-z)2dzx~(l-ev-z)3'

6.设函数/(x)在［0,1］上可导，且对于(0,1)内全部才有外力/1,

证明在(0,1)内有且只有一个数X使M=x.

设尸(x)=/(x)-x,在［0,1］上用零点定理，得(X)至少有一个零点

反设尸(x)在［0,1］上存在两个零点I，c»即尸(cJ=F(C2)=0,；［q—lu［0,1］,7

由Ro〃e定理可得至少有G(C”C2),使F(G=0即r《)T=0=>r(G=l，

与题设矛盾，故由0,1)内有且只有一令，使f(x)=x.

求函数y=/(［+x)T的单调区间和极值.

解函数y=/(l+X)T的定义域是(-00,-1)U(T,+8)

V=2x(1+x)T+X2(-1)(1+xy2

_2x(1+x)-x2_x(2+x)

(1+x)2(1+x)2

故函数的单调增加区间是(-00,-2)和(0,+00),单调削减区间是(-2,-1)与

(-1,0),当》=-2时，极大值/(-2)=T；当x=0时，微小值/(0)=0.

8.在过点P(l,3,6)的全部平面中，求一平面，使之与三个坐标平面所围四

面体的体积最小.

解：设平面方程为Ax+5j+Cz=l,其中A,8,C均为正，则它与三坐标平面

围成四面体的体积为V=」一L,且4+3B+6c=1,令

6ABC

F(A,B,C,2)=ABC+2(A+3B+6C-1),则由

丽

+2=0

嬴=5C

竺

=0

+3A

加=AC

面方

所求平

，因此

小值

在最

题存

由于问

.f

求得

竺

=0

+64

朋=AB

=1

+6c

A+3B

程为

.

=81

xl8

3x9

=2x

且嗑n

=1，

]+最

5+

分

下列积

9.求

h

)

^-1

—(b

lim

=

———

m—