人教版数学九年级上册2 2 .1 .1 二次函数

22.1.1二次函数

一、学习目标：

1、理解掌握二次函数的概念和一般形式；

2、会利用二次函数的概念解决问题；

3、会列二次函数表达式解决实际问题.

二、学习重难点：

重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式

难点：会列二次函数表达式解决实际问题

探究案

三、教学过程

（一）情境引入

雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这

些曲线能否用函数关系式表示呢？

活动1：

复习：

1.什么叫函数？

2.什么是一次函数？正比例函数？

3.一元二次方程的一般形式是什么？

课堂探究

问题1:•正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为X,

表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x

的函数，它们的具体关系可以表示为

函数(1):

问题2：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场

次数m与球队数n有什么关系？

函数(2)：

问题3：某种产品现在的年常量是20件，计划今后两年增加产

量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产

量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

函数(3)：

活动2：探究归纳

函数(1)(2)(3)有什么共同点？

归纳总结：

二次函数的定义：

例题解析

例1下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x.是自变量)

①y=ax2+bx+c②s=3-2t2③y=x?

④⑤y=x2+x'+25⑥y=(x+3)2-x2

X

例2函数y=(加+3)-

(1)m取什么值时，此函数是正比例函数？

(2)m取什么值时，此函数是二次函数？

变式训练

1.已知:y=(k+2〃阳，k取什么值时，y是x的二次函数？

2.函数y=(m2-9)x2+(m-2)x+4是二次函数,那么m的取值

范围是什么？

3.若函数y=(m+l)xm2-2m-1+(m-3)x+4是二次函数，那么m

的取值范围是什么？

例3

某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低

档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每

件利润增加2元，但一天产量减少5件.

(1)若生产第％档次的产品一天的总利润为y元(其中％为正整数,

且1W%W1O),求出y关于％的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的

质量档次.

思考：

1.已知二次函数y=-10x2+180x+400，自变量x的取值范围是

什么？

2.在例3中，所得出y关于％的函数关系式y=-10/+18QX+

400,其自变量x的取值范围与1中相同吗？

随堂检测

1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为，一次项系数为

，常数项为.

2.函数y=(.m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()

A.m,n是常数，且m#0B.m,n是常数,，且n^O

C.m,n是常数，且mRnD.m,n为任何实数

3.下列函数是二次函数的是()

A.y=2x+lB.y=—

x

C.y=3x2+lD.y=4+i

4.已知函数y=3x2m_|-5

①当m=时，y是关于x的一次函数；

②当m=时，y是关于x的反比例函数；

③当m=时，y是关于x的二次函数.

5.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm),面积为y(cn?).求

(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；

(2)当x=3时矩形的面积.

课堂小结

通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：

我的收获

参考答案

教学过程

活动1:

1.一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y,并且

对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们

就说x是自变量，y是x的函数.

2.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，kWO）的函数叫做一次函

数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.

3.ax2+bx+c=0（aWO）

课堂探究

问题1：y=6x2

问题2：=

22

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋

元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡

貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为

“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先

生则称为“教师”或“教习可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度

上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命,

故又称“教师”为“教员”。问题3：y=20x2+40x+20

活动2：探究归纳

函数都是用自变量的二次整式表示的

归纳总结：

二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,aN0）的函数叫

做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项,系数

和常数项

例题解析

例1

①不一定是，缺少a^O的条件；②是；③是；④不是，等号右

边是分式；

⑤不是，x的最高次数是3；⑥化简之后产6%+9没有二次项

例2

解：(1)由题可知，＜m7°解得根=±20;

川+3*0,

(2)由题可知，了一7=2,解得机=3.

加+3w0,

变式训练

1.解:当|k|=2且k+2W0,即仁-2时,y是1的二次函数.

2.解：由题意得："一，。。

.•.m#±3

3.解：由题意得：[2-21--1=2^

例3

解：(1)「..第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，

每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，

.•.第x档.次，提高了(x—1)档，利润增加了2(x—1)元.

.*.y=[6+2(x-l)][95-5(x-l)],

即y=-10x2+180x+400(其中x是正整数，且lWxWlO)；

解：(2)由题意可得

-10^+180^+400=1120,

整理得_?-18%+72=0,

解得》=6,及=12（舍.去）.

所以，该产品的质量档次为第6档.

思考：

1.全体实

2.x是正整数，且IWXWIO与1不同

随堂检测

1.-3x2；-16；12

其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”

之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语

文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的

写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生

“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,

就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月

累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。2.C

死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着

素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的

教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面，老师们又为提高学生的语

文素养煞费苦心。其实,只要应用得当，“死记硬背''与提高学生素质并

不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。3.C

3

4.10-

2

语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章，还有不少名家名

篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落，对

提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时，把文

章解体的支离破碎，总在文章的技巧