高二年级下册期末真题（压轴60题35个考点）（高中全部内容）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试沪教版

高二下期末真题精选（压轴60题35个考点专练）

一.元素与集合关系的判断（共2小题）

1.（2022春•杨浦区校级期末）已知集合A=［S,s+/］IJ代，t+1］.其中1CA且st-记

f（x）J，工，且对任意xeA,都有f（x）CA,则s+r的值是_号或擀一

X-l

【分析】根据两端区间和x=\的关系分三种情况讨论：x=\在［s,s+工］U［f,什1］左边，在［s,

6

［r,f+1］之间,在［s,U［6什1］右边三种情况，根据单调性可得/（X）的值域，从而确定定义域与值

域的关系，列不等式求解即可.

【解答】解：①当S>1时，f（x）=1+看在区间即呻"，什1］上单调递减,

:.f(X)6［1+2,1+—2“1+-2-

tt-1u至S-1

s6

25_21即一"一=t+12

+6-T+1,.,/-t-12=0,

t-lt-16t

Vt>1)/.t—4,s=3

2

.,.s+r=-^.

2

②当s+J^ClCf,即s<S时，此时区间［s,x=l左侧，［f,r+l］在x=l右侧,

66

■：f(x)=三包在区间［s,s+1］上为减函数,

x-l6

7

1s+F

当x6[s,s+,],f(x)G|—驾],

6s力sT

6

7

W，驾回s,

Z>1,・'

s+1-S-1

s^

s+1/1

<s+?

s-1

7

s+6

~5>s

5飞■

2_5__

s+1》s

'6s6

625

ss卞s

6

522s《《0

bb

2117j

SW>。

S~6

；.s2』s-二=0,即(25+1)(3s-7)=0,

6s6

1

—■1"f

62

此时区间［r,f+1］在x=l右侧,

当xe[r,r+1]时,

f(x)e[^-,

tt-l

•.♦主2>i,[主！2,t+\],

ttt-l

t+1/1

三1<t+]

t>2,解得：f=2,

：.\，此时

t+2、(t-2)(t+l)<0

2

③当即/<0时，x=l在[s,s+&U[f,f+1]右边.

6

此时f(x)=1+-2在区间［s,up,f+l］上单调递减,

X-1

：.fCx)e[l+2,1+-^1U[1+—^―,1+—2_|,

tt-r$臣s-r

Hy>sg---D-

且，6

一2,1

]+2〔<t+1

s-1

t<-^-

S-1□

g----

一2,且，6

b卷4t

S^S-1

冬+产+L即一2_=t+12-12=0,

t-16tt-16t

Vr<l,Ar=-3,5=—,不满足s+1"V九

36

综上，s+r的值为旦或3.

22

故答案为：旦或3.

22

【点评】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点

与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需

要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题.

2.(2020秋•杨浦区校级期末)己知集合4=[3f+l]U[f+4,r+9],OCA,存在正数入，使得对任意西4,都

有acA,则t的值是1或7.

a

【分析】1>0时，当。=，时，1二4t+9；当〃=汁9时，入=z(桂9)；当a=f+l时，义-2什4,当。=

aa

―4时，入=(r+1)(r+4),从而r(r+9)=(r+1)(r+4),解得，=1；当E+1V0V/+4时，当4日/,f+1]时，

则3»€上，r+1].当。曰/+4,1+9],当a=f时，义-Wf+l,当。=什1时，工-23即入=r(/+l),当〃=

aaa

什4时，——W/+9,当。=汁9时，入=(什4)(r+9),从而=(r+4)(r+9),解得£=-3.当f+9

a

V0时，无解.

【解答】解：当/>0时，当花上，什1]时，则」^日什4,什9],

a

当。4/+4,7+9]时，则—E[6/+1],

a

即当。=/时，2^t+g；当a=/+9时，3-2%即入=/（什9）；

aa

入入

当〃=什1时，—^r+4,当〃=什4时，—^/+1,即入=（什1）（什4）,

aa

a

当aW[什4,什9],则。日桂4,r+9],

a

即当〃=/时，A^z+i,当〃=汁1时，三力，即人=/（什1）,

aa

入X

即当。=什4时，W/+9,当。=什9时，2什4,即入=（/+4）（什9）,

aa

.*.r(r+1)=(r+4)(什9),解得，=-3.

当什9<0时，同理可得无解.

综上，f的值为1或-3.

故答案为：1或-3.

【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能

力，是难题.

二.命题的真假判断与应用(共2小题)

3.(2020秋•闵行区期末)已知函数f(乂)=|x4|，给出下列命题：

①存在实数小使得函数y=f(x)+fCx-a)为奇函数；

②对任意实数a,均存在实数〃?，使得函数y=/(x)+/'(x-a)关于对称；

③若对任意非零实数a,/(x)+f(x-a)2%都成立，则实数上的取值范围为(-8,4］；

④存在实数上使得函数(x)-无对任意非零实数。均存在6个零点.

其中的真命题是②③.(写出所有真命题的序号)

【分析】利用特殊值法可判断①的正误；验证g(a-x)=g(x),可判断②的正误；利用基本不等式可

判断③的正误；当。>0时，分析出函数gG)在(a,+8)上先递减再递增，记g(x)gg(xo),可

得出k>〃?办｛a+生g(xo)),利用《>a+•支不恒成立，可判断④错误，同理得知，当时，命题④也

aa

不成立，从而得出命题④为假命题.

【解答】解：令g(x)—f(x)+f(x-a),

函数的定义域为｛小云。｝,且/(-x)=\-x-—|=|x+—1=/(x),

XX

：.f(x)为偶函数.

对于①，若。=0,则g(x)=2|x+」l，：.g(1)=2=g(-1),此时，函数g(x)不是奇函数；

X

若aKO,则g(x)的定义域为{4x#O,且x关a},

2

而g碍)=2八条)年华>0,g(-亮)=吟+2|+|等务>0,显然g(由K-g(-A),

221al22a23a22

综上所述，对任意x£R,函数y=/(x)都不是奇函数，即①错误；

对于②，g(〃-x)=f(〃-x)4/(-x)=f(x-a)+f(x)=g(无),

函数y=/(x)+fCx-a)关于直线x=5对称，

・••对任意实数a,均存在实数〃?，使得函数y=/(x)+/(x-a)关于x=〃，对称，即②正确；

=2

对于③，f(x)=|x+-i-|=|x|,当且仅当尢=±1时，等号成立，

f(x-a)=|(x-a)+—^|=|x-a\+~.--r>2./I„_aI__=2,当且仅当x=a±l时，等号成

x-aIx-aIVIx-aI

乂,

:・g(x)=f(x)+f(x-a)24,

••♦aW。，・••当a=±2时，两个等号可以同时成立，・・・AW4,

・,・实数攵的取值范围是(-8,4],即③正确;

对于④，假设存在实数上使得直线y=Z与函数g(x)的图象有6个交点,

若a>0,当0<x<a时，g(x)=x+—+a-x+——=a+—#~~—=a^--5-----------------

xa-xx(a-x)「a2

T《一万)x

此时，函数g(x)在(0,A)上单调递减，在(且，〃)上单调递增,

22

2-A

当OVxV。时，g(X)min=g(―)=超+4.=〃+3

2aa

当时，任取犬I、X2E(〃，+8),且X1>_X2,即X1>JV2>〃，

贝!jg(xi)-g(X2)=(xi+-^-+xi-a+——-——)-(X2+—^-+A：2-a+——-——)

x।Xj-ax2X2-a

=2(XI-X2)+(—^-」-)+(——---——1-)

X[x2x「ax2-a

x9-xix9-xi

=2(XLX2)+-----------+--------------------r

x2lx】-a)(X2-aJ

=(xi-0[2---------------------------]，

Xjx2(X]-a)(x2-a)

*/x]>x2>a,.*.2--------------3---------丁随着xi、X2的增大而增大,

X]乂2(X]-a)(x2-a)

当xi~*a且xi-^a时，[2---------------二------]-*-00;

X]X2⑸-a)(x2-a)

当+8且X2f+8时，[2—----------3-----—J->2,

勺(XI-a)(x2-a)

工存在％0>m使得2VxiVxo时，[2-——-------3....-]<0,则g(xi)Vg(%2),

Xjx2(x1一a)(x2-a)

.•・函数g(x)在(4,XO)上单调递减；

当Xl>X2>X0时，[2-----------3------]>0,则g(XI)>g(X2),

Xjx2(X[-a)(x2-a)

・•・函数g(X)在(刈，+8)上单调递增，

・••当时，g(X)min=g(XO).

若存在实数&,使得函数)，=/(x)-%对任意非零实数。均存在6个零点，即直线)，=%与函

数g(x)的图象有6个交点，

由于函数g(x)的图象关于直线尸"I对称，

则直线)，=%与函数g(x)在直线右侧的图象有3个交点，

..k>max\a+—ig(xo)}2。+生

aa

由于2为定值，当。22且当。逐渐增大时，什马也在逐渐增大，

a

不可能恒成立，

a

...当a>0时，不存在实数k,使得函数y=/(x)(x-a)-k对任意非零实数。均存在6个零点，

同理可知，当”<0时，不存在实数A,使得函数y=f(x)t/lG-q)-%对任意非零实数a均存在6个

零点，

...④错误.

故答案为：②③.

【点评】本题考查函数的性质，零点问题，恒成立与存在性等问题，具有很强的综合性，考查学生的逻

辑推理能力、运算求解能力，属于难题.

4.(2021秋•宝山区校级期末)己知真命题：“函数y=/(x)的图象关于点尸(a,b)成中心对称图形”的

充要条件为“函数y=f(x+a)-6是奇函数”.

(1)将函数g(x)=4-37的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数

解析式，并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标；

(2)求函数〃(X)=I。g0-在-图象对称中心的坐标；

(3)已知命题：“函数y=/(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数〃和6,使

得函数)，=f(x+a)-6是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请

说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).

【分析】(1)先写出平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=4-3x,由

于函数),=x3-3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g(x)图象对称中心.

(2)设〃(x)=i0g2的对称中心为PCa,b),由题设知函数刀(x+a)是奇函数，从而求出

24-x

a,〃的值，即可得出图象对称中心的坐标.

(3)此命题是假命题.举反例说明：函数/(x)=x的图象关于直线＞=-x成轴对称图象，但是对任意

实数。和b,函数y=f(x+a)-b,即y=x+a-6总不是偶函数.修改后的真命题：“函数y=f(x)的图

象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数)，=/(x+a)是偶函数”.

【解答】解：(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=/-3x,

由于函数y=4-3x是奇函数，由题设真命题知，函数gG)图象对称中心的坐标是(1,-2).

(2)设〃(x)二知名上工的对称中心为P(a,b),

由题设知函数/?(x+a)-Z?是奇函数.

lx+a)

设/(x)=h(x+n)-b,则f(x)=log,.--h,

524-(x+a)

+d

即/(X)=log2y*^-b-

^4-x-a

由不等式丝!2曳〉0的解集关于原点对称，则-“+(4”)=0,得4=2.

4-x-a

2x+2

此时。(x)=lngn'\'-b,A-e(-2,2).

iog

24-(x+2)

任取球(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得6=1,

所以函数"(x)=i°g.图象对称中心的坐标是(2,1).

(3)此命题是假命题.

举反例说明：函数f(x)=》的图象关于直线y=-x成轴对称图象，

但是对任意实数。和b,函数y=/(x+a)-b,即y=x+a-总不是偶函数.

修改后的真命题：“函数y=/(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数(x+a)

是偶函数”.

【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的

对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.

三.简单线性规划(共1小题)

3x-y-6<0

5.(2021春•黄浦区校级期末)设x,y满足约束条件,x-y+2》0,若目标函数z=ar+勿(。>0,Z?>0)

x)0,y》0

的值是最大值为12,则2e的最小值为25.

ab一6一

【分析】先根据条件画出可行域，设z=or+3y,再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，

只需求出直线z=or+by,过可行域内的点(4,6)时取得最大值，从而得到一个关于a,b的等式，最后

利用基本不等式求最小值即可.

【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,

当直线以+8y=z(a>0,匕>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,

目标函数z="x+外(a>0,6>0)取得最大12,

艮fl4a+6匕=12,即2a+36=6,

畔告得)膂？抬)痔+2噜

故答案为：25.

6

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值,

属于基础题.

四.函数单调性的性质与判断(共1小题)

6.(2020秋•虹口区期末)设/(x)是定义在R上的奇函数，且当x20时，/(x)=/,若对任意的

t+2],不等式/(x+f)^2f(x)恒成立，则实数f的取值范围是()

A.[V2,―)B.[2,+8)C.(0,2]D.[-V2,-1]U[V2,V3]

【分析】法一：2/'(x)由题意可知f(x)为R上的增函数，故对任意的f+2],不等式

f(x+/)Xx)恒成立可转化为x+t)J5x对任意的X6［f，r+2］恒成立，此为一次不等式恒成立，解决

即可.也可取那个特值排除法.

法二：当x20时，/(x)=/,当xWO时，/(x)=-7,/(x)是R上的增函数，从而/(x+f)邛近X)，

x+f>V^x，进而(2-衣)f22(V2-1)，由此能求出结果.

【解答】解法一：(排除法)当t=&贝iJx€［亚，亚+2］得f鼠侦)》2f(X)，

即仁+\^)2〉2*2=*2-2&*-240在代［&，亚+2］时恒成立，

而*2-2五x-2最大值，是当x=J1+2时出现，故x2-2五x-2的最大值为

则/(x+r)>2f(X)恒成立，排除B项，

同理再验证f=3时，f(x+t)^2f(x)恒成立，排除C项，

f=-1时，f(x+f)训(x)不成立，故排除D项

故选：A.

解法二：・・・/(x)是R上的奇函数，当天20时，/(x)=/,

・••当xWO时，f(x)=-，，

：.f(x)是R上的增函数，

・・,对任意尤上，什2),f(x+r)^2f(x)恒成立，

.•♦/(x+r)之(我x)，Ax+r>V2x.

(V2-1)x,其中9t+2］,

(a-1)(t+2)，

.,心(V2-I)t+2(V2-1),

(2-V2)e2(V2-1),

...2(V2-1)=yf2.

2-V2

故选：A.

【点评】本题考查函数单调性的应用：利用单调性处理不等式恒成立问题.将不等式化为/(〃)kS

形式是解题的关键.

五.函数奇偶性的性质与判断(共1小题)

7.(2022春•上海期末)设a为实数，函数/(x)=?+|x-a|-1,xGR

(1)讨论f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

【分析】(1)用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；

(2)先判断函数的单调性再求最值.

【解答】解：(1)当a—0时，函数/(-x)—(-x)2+|-x|-1=x2+|x-a|-1=f(x),此时，f(x)为

偶函数.

当aWO时，f(a)=a2-1,/(-a)=a2+2|a|-bf(a)Wf(-a),f(a)W-/(-a),

此时/(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)①当xWa时，f(尤)=)+|x-a\-\-x+a-1=(x-—)2+a-—,

24

当•时，函数/(x)在(-8,0上单调递减，从而函数/(外在(-8,0上的最小值为/(〃)=

a2-1.

若。>"则函数/(x)在(-8,上的最小值为f(A)=a-

②当x^a时，函数f(x)=x2+|x--l=/+x-a-1=(x+—)2-a--,

24

若工时，则函数/(x)在［a,+8)上的最小值为/(-工)

224

若则函数/(X)在［〃，+8)上单调递增，从而函数/(X)在3,4-00)上的最小值为/(〃)=

a2-

综上，当〃W-时，函数/(工)的最小值为-a-

24

时，函数/G)的最小值为“2-1,

当时，函数f(x)的最小值为a-5.

24

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及二次函数的单调性和函数的最值，考查分类讨论思想，

综合性较强，运算量较大.

六.奇偶函数图象的对称性(共1小题)

8.(2020秋•杨浦区校级期末)若直角坐标平面内两点P、。满足条件：①P、。都在函数/(X)的图象上；

②P、Q关于原点对称，则对称点(P,。)是函数/(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(。，P)

2X2+4X+1,X<0

看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=［2则/~(x)的“友好点对”有2个.

—X,x/0

e

【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求/(x)的“友好点对”，只须作出函数y=2?+4x+l(xVO)

的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=2.(x20)交点个数即可.

X

e

【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，

只须作出函数y=2?+4x+l(x<0)的图象关于原点对称的图象，

看它与函数y=2(x>0)交点个数即可.

X

e

如图，

观察图象可得：它们的交点个数是：2.

即/(x)的“友好点对”有：2个.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”

的正确理解，合理地利用图象法解决.

七.抽象函数及其应用(共1小题)

9.(2022春•长宁区校级期末)(理)已知定义在R上的函数/(x),对任意实数xi,X2都有/(X1+X2)=\+f

(xi)+fCx2),且/(I)=1.

(1)若对任意正整数〃，有加=/(工)+1,求G、a2的值，并证明｛©｝为等比数列：

2n

(2)设对任意正整数”，有bn———若不等式匕“+1+匕"+2+…+62”>-CLlog2(x+1)对任意不小于2的

f(n)35

正整数〃都成立，求实数x的取值范围.

【分析】(1)利用赋值法，结合等比数列的定义即可证明｛⑶｝为等比数列：

(2)求出岳的表达式，利用数列的单调性，即可求出x的取值范围.

【解答】解：⑴令Xi=X2="得f(l)=l+f(,)+f(/)，

则fg)=0,a[=f6)+1=1“7分

令x1=x2春得fgE+fe)+f令)，

则f4)=等22=4)+4“2分

,

^x1=x2=-ir得f(-+f

*42"+i2n十12n+i212【

即f&)=l+2fTf)，…4分

2n2nH

则f(±)+1=2[1+fTr)]，。〃=2〃〃+1

2n2nH

所以，数列｛“八｝是等比数列，公比q=/,首项“1=1.…6分

(2)令Xl=〃，X2=l,得f(k+l)=1^(1)即f(〃+1)=f(72)+2

则｛/(〃)｝是等差数列，公差为2,首项/(I)=1,

故/(〃)=1+(n-1)*2=2n-1,…8分

设g(n)=bn+1+L+2+…+b2n号熹+…福，

-=>0,

则g(n+1)-g(n)=4n+1,4n+32n+l(4n+l)(4n+3)(2n+l)

所以｛g(〃)｝是递增数列，g1nm=g(2)V啜，…”分

从而提"log?(x+l)<景，即log2(x+1)<2…12分

ob乙ob

x+l>°,解得xe(-1,3).…14分.

则4

x+l<4

【点评】本题主要考查等比数列的定义和应用，综合考查学生的计算能力，运算量较大，难度不小.

A.函数恒成立问题(共3小题)

"nxx40

10.(2021春•杨浦区校级期末)已知f(x)=]'、.

log2x,x>0

(1)s>0,>0,sWf,比较/(s)+『(t)+1与/(s)+f(r)+f(5)f(r)的大小；

(2)设k和〃?均为实数，满足以下两个条件：

①当xe(-8,加]时，/a)的最大值为1,此时机的取值集合记为A；

②对任意且xe(-8,加],不等式/(x)-(%-2)"?+3Z-10恒成立；求女的取值范围:

(3)设r为实数，若关于x的方程,/[/(x)]-log2(f-x)=0恰有两个不相等的实数根xi、且xi<x2.

试将2々+1082乂2+2-除「1|+除2-1］表示为关于，的函数，并写出此函数的定义域.

【分析】(1)设/(s)=x,f(r)=y,x^y,将原式变换成/+/+1-(x+y+xy),再结合配方的知识,

即可求解.

(2)①由于/(x)的最大值为1,分xWO、x>0两种情况讨论，②结合含参方程得求法、以及均值不等

式，即可求解.

(3)当xWl时:2x=t-x,1</<3,当x>l时，log2x=f-x,f>l,再结合对数函数和指数函数得知

识，即可求解.

【解答】解：(1)设f(s)=x,f(t)=y,

由题意可得，jr+y2+l-(x+y+xy)=y(x2-2x+l)+y(y2-2y+l)+y(x2_2xy+y2)

=y(x-l)2-*-y(y-l)2+y(x-y)2>0>

(s)+f(r)+1>/(y)+f(r)t/(s)f(t).

(2)①令log”=l,得尤=2,令2"=1得x=l,

.•・0W/MW2,即m={，川0WmW2}.

②二•不等式f(x)Wm2-(攵-2)"?+3Z-10恒成立,

・••根2-(%-2)m+3k-102/(x)max—1,

Am2-(攵-2)m+3Z-11，0对任意能10,2］都成立,

・・・*3-团<3,

••k》(m-3)-^+8，

m-3

(m-3)-4+8=4，当且仅当初-3=—即机=1时等号成立,

m-3m-3

・■•攵24,

・••攵得取值范围为［4,+8).

2X,x<0

(3)f(x)=<

log2x,x>0

X,x<1

"ffCx)=|log(logx),

22x>f

①当时，方程j\f(x)］-log2(/-X)=0变为X=log2(/-X),

即1VW3,

②当X>1时，方程/(/(x)］-log2(f-x)=0变为log2(10g2X)=log2(L"),

KPlog2x=r-x,r>L

X2分别是方程2』LR,log2X=LX的两个根且工1VX2<7,

X：+,

,*•t=2+xJ=log2X2x2得乂2二2*3将其代入，=2~+x1可得用+—，

*/2，i+1ogXs>+2T%i-”+lk-1|=(r-xi)+(r-X2)+2-(1-xi)+(x2-1)=2t,

22

.••函数得定义域为(1,3］.

【点评】本题考查一元二次函数的配方、以及不等式恒成立问题，以及对数函数和指数函数的知识，综

合性强，属于难题.

11.(2021秋•浦东新区校级期末)已知f(x)^

(1)分别求/(X)、g(x)的定义域，并求(x)的值；

(2)求/(x)的最小值并说明理由；

(3)若『G+x+l，b=/,c=x+l,是否存在满足下列条件的正数f,使得对于任意的正数x,人

从c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出f的取值范围；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用被开放数大于0可求函数的定义域，直接相乘化简即可；

(2)先考虑我去>2,再说明函数才与丫^乂4+1在(-8,1］上均为减函数，在口,

+8)上均为增函数，从未求出函数的最小值.

(3)利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用(1)(2)的结论可确定.

【解答】解：⑴f(x)、g(x)的定义域均为(0,+8)；…(2分)

f(x)"g(x)=(Vx+r~)2-(x+^+1)=1.…(4分)

VxX

(2)',',x/x+^2,(Vx+r-)2>4nx+^>2•…(7分)

VJX-VXX

易知函数y二4二^与在(-8,1］上均为减函数，在［1,+8)上均为增函数，

•t•f(x)mi„=f(1)=2+V3--(10分)

⑶：aWx2+x+l<x+l=c，…（11分）

+tVx>x+l

+（x+i）>

由⑴知，f（x）・g（x）=l=g（x）1y，

Vf（x）>2+V3.-g（）=z1<2-V3»BIJt>2-V3.…（匕分）

xfixx）

由（2）知，f（x）>2+73.t<2+V3.•••（17分）

综上，存在tE(2-V3,2+V3),满足题设条件.…(18分)

【点评】本题主要考查利用函数单调性求函数的最值，将是否存在性问题转化为恒成立问题时解题的关

键.

12.(2021秋•浦东新区校级期末)对于函数y=/(x),xED,设区间/是。上的一个子集，对于区间/上任

意的XI,X2,X3.当X1<%2VX3时，如果总有---------------<----------------,则称函数y=/(x)

-X

X2lX3-X2

是区间/上的T函数.

(1)判断下列函数是否是定义域上的T函数：①y=f,②y=2x+l；

(2)已知定义域上的严格增函数y=/(x)也是定义域上的T函数，试问：(x)是否是定义域上

的T函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；

(3)若函数y=f(x)为区间/上的T函数，证明：对于任意的xi,X2日和任意的入€(0,1),总有五右1+

(1-入)X2]<Af(XI)+(1-A)f(X2).

【分析】(1)利用作差法，结合7函数的定义即可逐个判定；

(2)y=f'(x)不是定义域上的7函数，由反函数的性质及7函数的定义即可证明；

(3)假设用<%2,则幻<右1+(1-X)X2<X2,利用T函数的定义化简即可得证.

【解答】解：（1）①当XI<X2时，

f（X）-f（Xj）f（X）-f（X）x2-xJ222

2322X3-X2

（）（+）<0

--------v-------V-------------v-------V---------------v------Vv-V-----------------X---?--+--X---i--O-X乙OXn1=Xu<-Xq>

x2x1x3x2x2x1x3x2

所以①是定义域上的T函数；

I,,f（x）-f（x1）f（x）-f（x）

②当JC1<X2<X3时，----2--------J-------------3------------2=

-X

X2lX3-X2

（2xn+l）~（2xi+l）（2xo+l）~（2Xo+1）

------4----------------1----------------i-------------々-------=2-2=0,

x2-xlx3-x2

所以②不是定义域上的7函数.

(2)y=f'(x)不是定义域上的7函数，理由如下：

因为y=/(x)是定义域上的严格增函数，

所以当X1<JC2<A3时，f(XI)<f(X2)<f(X3)>即丫1<”<>3,

若原函数为增函数，则反函数也是增函数，即若X1<X2<X3,则「1(XI)</'(X2<f](X3),

f(X)-f(X)f(x)—f(X)

又因为y=/(x)是定义域上的T函数，即当x\<X2<X3时,总有0<---------------<-------------,

-x

x2lX3-X2

_Xn-X1、Xq-Xn,

所以_2__1_>_3_2_,即当©Vm时，

f(x2)-f(xPf(x3)-f(x2)

fT(y2)-fT(yP〉fT(y3)-fT(y2)

"丫\丫372

综上所述，W(x)不是定义域上的7函数.

(3)证明：若对于任意的尤1,X2已和任意的加(0,1),假设加〈"，

则Xi<AJCI+(1-A)X2<X2>

因为函数y=/(x)为区间/上的T函数，所以

f(x1+(l-^)x2)-f(x1)f(x2)-f(Xj+d-^)x2)

入X]+(l-入)乂2-乂]的-[入X]+(l-入)乂21

仍简得f(入Xi+(l")x2)-f(xjf⑸)-”“Xi+(「")X2)

(1-X)(x2-X1)、%(X2-X1)'

VjT2>Xl,Z.X2-XI>0,

.f(入X]+(l-入)x2)-f(x[)f(X2)-f(入X]+(l-入)X2)

(T^<X

.,.A/,(Axi+(1-A)X2)-XfCxi)<(1-X)f(X2)-(1-A)f(Axi+(1-A)X2)»

(Axi+(1-A)X2)<A/(xi)+(1-A)/(%2).

【点评】本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻辑推理能力，

属于难题.

九.函数的值(共1小题)

13.(2022春•徐汇区校级期末)函数y=/(x)的定义域为R,若存在常数〃>0,使得|f(x)对一切

实数x均成立，则称f(x)为“圆锥托底型”函数.

(1)判断函数/(X)=2r,g(x)=/是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由.

(2)若/(x)=?+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值.

(3)问实数鼠b满足什么条件，/(x)=fcv+b是“圆锥托底型”函数.

【分析】(1)根据条件/(x)I'Mxl对一切实数x均成立进行判断，即可得到结论.

(2)根据『(x)对一切实数x均成立，建立条件关系，即可求出结论，

(3)利用函数是“圆锥托底型”函数.则满足条件I/(x)对一切实数x均成立，即可得到结论.

【解答】解：(1)V|2x|=2k|>2W，即对于一切实数x使得(x)]22国成立，

：.f(x)=2%是“圆锥托底型”函数.…(2分)

对于g(x)=/,如果存在M>0满足而当xj号时，由虐|3〉H|田

得MWO,矛盾，

.•.g(x)=/不是“圆锥托底型”函数.…(5分)

(2)V/(x)=7+1是“圆锥托底型”函数，故存在M>0,使得|/(x)对于任意实数恒

成立.

.•.当xWO时，|X」|=团+3^，此时当x=±l时，因+1二取得最小值2,.…(9分)