2021年全国中考真题分类汇编-三角形 全等三角形

2021全国中考真题分类汇编（三角形）

——全等三角形

一、选择题

1.（2021•陕西省）如图，A8、BC、CD、OE是四根长度均为5cw?的火柴棒，点A、C、E共线.CDA.BC,

若AC=6cs,则线段CE的长度是（）

A.6cmB.1cmC.6yfQcmD.Scm

2.（2021•江苏省盐城市）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在NAOB

的两边OA、上分别在取OC=O。，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、力重合，这时过角

尺顶点M的射线OM就是NAOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

3.（2021•重庆市8）如图，在△ABC和△OCB中，NACB=NDBC,添加一个条件，不能证明△A8C和

△DCB全等的是（）

A.NABC=NDCBB.AB=DCC.AC=DBD.乙4=NO

4.（2021•重庆市A）如图，点B,F,C,E共线，NB=NE,BF=EC,添加一个条件，不等判断△ABCg

△OEF的是（）

A.AB=DEB.ZA=ZDC.AC=DFD.AC//FD

二.填空题

1.（2021•湖南省常德市）如图.在△A6C中，ZC=9O°.AD平分NC4B,CE_L钻于E,若

CD=3,BD=5,则师的长为

ZC=90°,平分N84c交3c于点。，OE_L45,垂足

则BD长为.

3.（2021•山东省济宁市）如图，四边形ABCQ中，ZBAC=ZDAC,请补充一个条件,使△ABC丝

△ADC.

4.（2021•齐齐哈尔市）如图，AC=AD,Nl=N2，要使ZX/IBC丝△板），应添加的条件是.（只

需写出一个条件即可）

三、解答题

1.（2021•湖南省衡阳市）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证:

△ABCm2DEF.

2.（2021•长沙市）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）:

证明：由作图可知，在VAB'C'和AAbC中，

B'C'=BC,

<A'B'=,

A'C'=,

:.VA'B'C'四______.

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.（填序号）

①A4S；②4SA；③SAS；@SSS

3.（2021•陕西省）如图，BD//AC,BD=BC,J.BE=AC.求证：ZD=ZABC.

4.（2021•四川省乐山市）如图，已知AB=DC,ZA=ZD，AC与08相交于点。，求证:

ZOBC=ZOCB.

D

O

R

5.（2021•泸州市）如图，点。在AB上，点E在AC上，AB=AC,NB=NC,求证：BD=CE

6.（2021•四川省南充市）如图，ZBAC=90°,AO是NBAC内部一条射线，若AB=AC,BELA。于点

E,CF_LA£>于点?求证：AF=BE.

7.（2021•浙江省杭州）在①AO=AE,@ZABE=ZACD,③F8=FC这三个条件中选择其中一个，并完

成问题的解答.

问题：如图，在△A8C中，/ABC=/AC8（不与点A,点8重合），点E在AC边上（不与点A,点C

重合），连接BE,BE与CO相交于点F.若①4D=4E（②或③FB=FC）,求证：

BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

8.(2021•浙江省台州)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=20,BC=3C=1O0

(1)求证：△ABC空△ADC；

(2)当NBC4=45°时，求/区4。的度数.

9.(2021•福建省)如图，在△ABC中，。是边8C上的点，OE_LAC,DF1AB,垂足分别为E,F,且

DE=DF,CE=BF.求证：NB=NC.

BD

10..（2021•云南省）如图，在四边形ABCQ中，AD=BC,AC=BD,AC与相交于点E.求证：ZDAC

=NCBD.

11.（2021•吉林省）如图，点。在AB上，E在AC上，AB=AC,N8=NC,求证：AD=AE.

12.（2021•江苏省无锡市）已知：如图，AC,OB相交于点O,AB=DC,NABO=NDCO.

求证：（1）△ABOg/SDCO；

（2）ZOBC^ZOCB.

13.（2021•贵州省铜仁市）如图，A3交CD于点O，在AAOC与她。。中，有下列三个条件：①

OC=OD,②AC=8O,③Z4=4.请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个

条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面

的选法不给分)

结论为____________

(2)证明你的结论.

14.(2021•湖北省黄石市)如图，。是△A8C的边上一点，CFHAB,DF交AC于E点,DE=EF.

(1)求证：AADE*KFE；

(2)若A3=5,6=4,求的长.

答案

一、选择题

1.(2021•陕西省)如图，A3、BC.CD、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.CDL2C,

A.6cmB.1cmC.6y/~2cmD.Scm

【分析】过8作8M_LAC于M,过。作。N_LCE于N,由等腰三角形的性质得到AM=CM=3,CN=

EN,根据全等三角形判定证得△BCMgZXCDM得到BM=CM在RtzXBCM中，根据勾股定理求出8M

=4,进而求出.

【解答】解：由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm,

过8作BM_LAC于M,过。作。N_LCE于N,

则/BMC=/CN£>=90°,AM=CM=」』X5=3,

32

'CCDLBC,

：.ZBCD=90Q,

NBCM+NCBM=NBCM+NDCN=90°,

：.ZCBM=ZDCN,

在△BCM和△C£W中，

fZCBM=ZDCN

<ZBMC=ZCND-

BC=DC

:./XBCM部丛CDN(AAS),

:.BM=CN,

在RtABCM中，

'：BM=5,CM=2,

•*-BM=VBC2-CM2=VS2-32=4,

:.CN=4,

.•.CE=4CN=2X4=8,

故选：D.

2.（2021•江苏省盐城市）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在/AO8

的两边04、。8上分别在取0C=0D,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、。重合，这时过

角尺顶点M的射线0M就是4408的平分线.这里构造全等三角形的依据是（）

A.SASB.ASAC.A4sD.SSS

【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出出△OOM,根据全等三角形的性质得出NCOM=

ZDOM,根据角平分线的定义得出答案即可.

【解答】解：在△COM和中

rOC=OD

,OM=OM>

MC=MD

所以△COM丝△COM(SSS),

所以NCOM=NDOM,

即OM^ZAOB的平分线，

故选：D.

3.(2021•重庆市8)如图，在△ABC和△OCB中，NACB=NDBC,添加一个条件，不能证明△ABC和

A.ZABC=ZDCBB.AB=DCC.AC=DBD.ZA=ZD

【分析】根据证明三角形全等的条件A4S,SAS,ASA,SSS逐一验证选项即可.

【解答】解：在△A8C和△1DCB中，

"：ZACB=ZDBC,BC=BC,

At当NABC=NZ)CB时，AABCq4DCB(ASA),

故A能证明；

B：当AB=OC时，不能证明两三角形全等，

故B不能证明；

C：当AC=O8时，/^ABC^ADCB(.SAS),

故c能证明;

D：当/A=NO时，/\ABC^/\DCBCAAS),

故。能证明;

故选：B.

4.（2021•重庆市4）如图，点8,F,C,E共线，NB=NE,BF=EC,添加一个条件，不等判断△ABCg

△OEF的是（）

ZA=ZDC.AC=DFD.AC//FD

【答案】C

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题.

【详解】解：•；BF=EC,

:.BC=EF

A.添加一个条件AB=£>E,

又；BC=EF,NB=NE

：.AABC丝△OEF(SAS)

故A不符合题意;

B.添加一个条件NA=N。

又；BC=EF,NB=NE

,•.△ABC^ADEF(AAS)

故B不符合题意;

C.添加一个条件AC=D/，不能判断△ABCg△DEF,故C符合题意;

D,添加一个条件AC〃尸。

:.ZACB=ZEFD

又•••BC=EF,NB=/E

：.^ABC^DEF(ASA)

故D不符合题意，

故选：C.

二.填空题

1.（2021•湖南省常德市）如图.在△ABC中，NC=9O°,AD平分NC4B,OE_L钻于E,若

CD=3,BD=5,则BE的长为.

【解析】

【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出.

【详解】解：由题意：AZ）平分NC4B,于E,

:.ZCAD=ZEAD,ZAED=90°,

又♦.•AD为公共边，

^ACD^AED（AAS）,

/.CD=DE=3,

在MADEB中,BD=5.由勾股定理得：

BEABCP-DE?=-52-32=4,

故答案是：4•

2.（2021•长沙市）如图，在AA6c中，ZC=9O°，A。平分Nfi4c交8c于点O，ZJEL/W,垂足

为E，若BC=4,。£=1.6,则BO长为.

匕

B/)

【答案】2.4

3.（2021•山东省济宁市）如图，四边形ABC。中，ZBAC=ZDAC,请补充一个条件A£）=AB（答案

不唯一），使aABC丝△49C.

【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可.

【解答】解：添加的条件是AQ=AB,

理由是：在△ABC和△AQC中

rAC=AC

,ZBAC=ZDAC>

AD=AB

AAABC^AADC（SAS）,

故答案为：A£>=AB（答案不唯一）.

4.（2021•齐齐哈尔市）如图，AC=AD,Nl=N2，要使△ABC丝△AE£）,应添加的条件是.（只

需写出一个条件即可）

BVC

D

【答案】N8=NE或NC=/D或=（只需写出一个条件即可，正确即得分）

【解析】

【分析】根据已知的Nl=/2,可知NBAC=NEAO,两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三

角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可.

【详解】解：如图所所示，

2

U

VZ1=Z2,

：.Z\+ZBAD=Z2+ZBAD.

；.NBAC=/EAD.

(1)当NB=N£时，

NB=NE

<ABAC=NEAD

AC=AD

.\zWC=AAED(A45).

(2)当NC=N力时，

NC=ND

<AC=AD

ABAC=ZEAD

.,.△ABC=AA££>(A5^).

(3)当AB=AE时，

AB^AE

<ZBAC=ZEAD

AC=AD

：./\ABC=^AED(SAS).

故答案为：/B=/E或/C=ND或AB=AE

三、解答题

1.（2021•湖南省衡阳市）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证:

△ABg△DEF.

【分析】根据题目已知条件利用ASA即可求出aABC之△£>£E

【解答】证明：；4C〃QF,

...NC48=NFDE（两直线平行，同位角相等）,

又,：BC//EF,

：./C8A=NFED(两直线平行，同位角相等),

在△ABC和△£>£■/中，

rZCAB=ZFDE

<AB=DE，

ZCBA=ZFED

AABC0△£)EF(ASA).

2.（2021•长沙市）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等

的方法:

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）:

证明：由作图可知，在VA'B'C'和△A8C中，

B'C=BC,

<A®=,

A'C'=,

VA'B'C'岭.

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.（填序号）

①44S；②4SA；③S4S；④SSS

【答案】(1)AB,AC,^ABC；(2)®.

3.（2021•陕西省）如图，BD//AC,BO=BC,且BE=AC.求证：/D=NABC.

【分析1先根据平行线的性质得到然后根据“SAS”可判断aABC丝△EQB,从而根据

全等三角形的性质得到结论.

【解答】证明：'：BD//AC,

：.ZACB=NEBD,

在△ABC和中，

fCB=BD

<ZACB=ZEBD-

AC=EB

...△ABCdEOB(SAS),

ZABC=ZD.

4.(2021•四川省乐山市)如图，已知AB=OC,Z4=",AC与相交于点O,求证:

ZOBC=ZOCB.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质，通过证明△ABO且△DCO,得OB=OC,结合等腰三角形的性质,

即可得到答案.

2=/。

【详解】ZAOB=ZDOC,

AB=DC

：.△ABgADCO（AAS）,

OB=OC，

，ZOBC=ZOCB.

5.（2021•泸州市）如图，点。在AB上，点E在AC上，AB=AC,NB=NC,求证：BD=CE

【答案】证明见详解.

【解析】

【分析】根据“AS4”证明AABE丝△ACD,然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.

【详解】证明：在aABE和4人。。中，

Z=NA

<AB=AC,

ZB=ZC

△ABE^AACD(ASA),

：.AE=AD,

：.BD=AB-AD=AC-AE^CE.

6.（2021•四川省南充市）如图，NBAC=90°,4。是NBAC内部一条射线，若4B=4C,BEJ_AO于点

E,C凡LA。于点F.求证：AF=BE.

【分析】根据/L4S证明△8AE丝△ACF,再根据全等三角形的对应边相等即可得解.

【解答】证明：•.•/BACugo。，

:.NBAE+N欣C=90°,

"：BELAD,CF±AD,

.•.ZBEA=ZAFC=90°,

：.ZBAE+ZEBA=90°,

:.NEBA=NFAC,

在△人(；/和△BAE中，

，ZAFC=ZBEA

<ZFAC=ZEBA,

AC=BA

△ACF丝△BAE(A4S),

：.AF=BE.

7.（2021•浙江省杭州）在①4O=AE,®ZABE^ZACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个，并完

成问题的解答.

问题：如图，在△4BC中，NABC=NAC8（不与点4,点B重合），点E在AC边上（不与点A,点C

重合），连接BE,8E与C£>相交于点F.若①AD=AE（②/ABE=NAC£>或③FB=FC）,求证：

BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【分析】若选择条件①，mZABC=ZACB得到AB=AC,则可根据“SAS”可判断△ABEZ/XAC。,

从而得到BE=CD；

选择条件②，利用/ABC=NACB得到AB=AC,则可根据aASA"可判断△ABEg/XAC。，从而得到

BE=CD；

选择条件③，利用乙48C=/AC8得到AB=AC,再证明NABE=乙4a>,则可根据“ASA”可判断△河£

丝△ACZ）,从而得到BE=C£>.

【解答】证明：选择条件①的证明为：

/4BC=ZACB,

：.AB=AC,

在△A8£和△ACQ中,

'AB=AC

<NA=NA，

AE=AD

^ABE^/XACD(SAS),

:.BE=CD；

选择条件②的证明为：

,?ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

在△ABE和△ACO中，

fZABE=ZACD

-AB=AC，

,ZA=ZA

.,.△ABE丝△AC。(ASA),

:.BE=CD；

选择条件③的证明为：

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

,:FB=FC,

:.NFBC=NFCB,

，ZABC-NFBC=ZACB-NFCB,

即NABE=NACD,

在aABE和△4CD中，

fZABE=ZACD

<AB=AC，

,ZA=ZA

.•.△ABEg/MCO(ASA),

：.BE=CD.

故答案为①AD=AE(②N4BE=NAC。或③尸B=FC)

8.（2021•浙江省台州）如图，在四边形ABC。中，AB=AO=20,BC=DC=T0收

B

(1)求证：

(2)当/BC4=45°时，求/BAO的度数.

【答案】(1)见详解；(2)60°

【解析】

【分析】(1)通过SSS证明AABC之△AOC,即可；

(2)先证明AC垂直平分BD,从而得ABOC是等腰直角三角形，求出80=10,从而得8。=20,/\ABD

是等边三角形，进而即可求解.

【详解】(1)证明：在AABC和△AQC中，

AB=AD

BC=DC

AC=AC

：./XABC^/XADCCSSS),

(2)连接B。，交AC于点O,

,//\ABC^/\ADC,

：.AB=AD,BC=DC,

；.AC垂直平分B£>,即：NAOB=/BOC=90°,

又：NBC4=45°,

...ABOC是等腰直角三角形，

:.BO=BC+V2-1072-V2=10，

：.BD=2BO=20,

'：AB=AD=2Q,

：.△A3。是等边三角形，

/.ZBAD=60°.

B

9.（2021•福建省）如图，在AABC中，。是边BC上的点，DE1AC,DF1AB,垂足分别为E,F,且

DE=DF,CE=BF.求证：NB=NC.

【分析】由OE，AC,DF_LAB得出/DEC=NDFB=90°,由SAS证明ADEC%DFB,得出对应

角相等即可.

【详解】证明：尸LAB,

/.ZDEC=NDFB=90°.

DE=DF,

在ADEC和ADFB中，，/DEC=NDFB,

CE=BF,

：.ADEC'DFB,

ZB=ZC.

10..（2021•云南省）如图，在四边形ABCQ中，AD=BC,AC=