诱导公式习题与解答

第五章三角函数

5.3诱导公式

例1利用公式求下列三角函数值：

g兀

(1)cos225°：(2)sin—；

3

(3)sin［一一)；(4)tan(-2040°).

解：⑴cos2250=cos(180°+45°)

(4)tan(-2040°)=-tan20400

=-tan(6x360°-120°)

=tanl20°=tan(180°-60°)

=-tan60°=—43-

cos(180°+cif)sin(6Z+360o)

例2化简一--------~7--------

tan(-a-180°)cos(-180°+a)

解：tan(-a-180°)=tan[-(l80°+a)]

=-tan(1800+6r)

=_tana,

cos(-180°+a)=cos[-(1800-a)]

=cos(180°-6r)

二一cosa,

一cosasina

所以原式==-cosa.

(-tana)(-cosa)

证明：(1)sin|—|=sin兀+巴一a

I2)(2)

-sin--a=-cosa；

(2

/、

⑵c心小cos71

兀+—Fa

(2)(2)

-cos四+a=sina.

(2

IE

sin(2n:-a)cos(7t+a)cos(+aIcos----a

2

例4化简

(9兀

cos(7i-a)sin(3兀-a)sin(一兀一a)sin1万+a

sina

-----二一tana.

cose

例5已知sin(53°—a)=g,且—270°<a<—90°，求sin(37°+a)的值.

分析：注意到（53°-a）+（37°+a）=90。，如果设夕=53。-a,y=3T+a,那么

万+y=90。，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题.

解：设尸=53°-a,y=37°+a,那么/7+y=9O°,从而y=90°-尸.于

sin/=sin(90°一cos/3.

因为一270°<a<—90°,

所以1430<323°.

由sin4=(>0,得143。</7<180。

所以cos0=—y/l-sin2p==-~~，

所以sin(37。+a)=sin/=

练习

1.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上：

13.八、.(

(l)cos—=;(2)sin(l+%)=：(3)sinl-y1=；

(4)tan(-70"6)=；(5)cos^=;(6)tanlOOOZ=.

47t

【答案】①.—cos^乃②.—sinl③.一sin^④.—tan706"

JI

⑤.-cosy⑥.-tan79°39'

【解析】

【分析】

利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.

137r47r47r

【详解】(1)cos=cos(^+-^)=-cos；

(2)sinQr+1)=-sinl；

(3)sm(----)=-sin—；

55

(4)tan(-706')=-tan706；

(5)cos—=cos(^--—)=-cos—；

777

(6)tan100021=tan(1080-7939)=-tan7939；

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各

个象限的符号，属于基础题.

2.利用公式求下列三角函数值：

(1)cos(-420°)；

7

(2)sin(--^-)；

(3)tan(-1140°)；

77

(4)cos(---7t)

(5)tan315°；

(6)sin(一,乃).

【答案】(1)1

⑵i

⑶-6

⑷一遭

2

（5）-1

（6）一也

2

【解析】

【分析】（1）用余弦的诱导公式化简后计算；

（2）用正弦的诱导公式化简后计算；

（3）用正切的诱导公式化简后计算；

（4）用余弦的诱导公式化简后计算；

（5）用正切的诱导公式化简后计算；

（6）用正弦的诱导公式化简后计算；

【小问1详解】

cos（T20°）=cos420°=cos60°=g；

【小问2详解】

./7、.7〃.7t1

sin（—万）=—sin—=sin—=一；

6662

【小问3详解】

tan（-1140°）=-tan1140°=-tan（360°x3+600）=-tan60°=-若；

【小问4详解】

/77、775万、5万兀卡）

cos（---兀）=cos—万=COS（12;TH---）=cos——=—cos—=-----；

666662

【小问5详解】

tan315°=tan(360°-45°)=-tan450=-1；

【小问6详解】

3.化简:

(1)sin(-a-18())cos(-a)sin[-a+18())；

(2)cos3(-a)sin(27+a)tan3(-a-乃).

【答案】(1)sin2a-cos«(2)-sin4a

【解析】

【分析】

利用诱导公式对所求式子直接进行化简，即可得到答案.

【详解】(1)原式=一5由(180°+£卜0585出£=5由%<0$£;

(2)原式=cos3a-sine•(-tarr’(7+<z))=cos3a•sine•(—tan%)

/.3\

3.sina.

=cosasintz--------=-sin4a.

、cosa)

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各

个象限的符号，属于基础题.

4.填表：

4万545兀8万1U

a

34343一-T

sina

cosa

tana

【答案】见解析

【解析】

【分析】

利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.

【详解】

4»5TT5万7乃8万1U

a

一TT一-4~

sina在也在—交

222222

72

cosa五也

222222

tana-1611

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各

个象限的符号，属于基础题.

练习

5.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具，第(3)(4)(6)题精确到0.0001):

65in[-2;r)；(3)cos(—1182"13')；

(l)cos一万；(2)sin

6

267t

；

(4)sin670°39'(5)tanr；(6)tan580°21'.

【答案】⑴一等；(2)乎;(3)-0.2116;(4)-0.7587;(5)币;(6)0.8496.

【解析】

【分析】

利用诱导公式将任意角转化为锐角的三角函数，非特殊角再借助计算器求值.

▼、士hji/z।x657c/冗、/71.71

【评解】(1)cos-----=COS(1\7t-----)=cos(4-----)=-cos—=------；

66662

(2)sin(-=一sin(8万--)=sin—=-；

4442

(3)

cos(l182°13j=cos(3x360,+10213j=cos(90+1213)=—cos12,3'=-0.2116；

(4)sin67039=sin(2x360-49°21)=-sin4921'=-0.7587；

26兀、，/c2兀、人冗[T

(5)tan(-)=-tan(8/r4——)=tan—=A/3；

3

(6)tan580°21'=tan(3x180+4021')=tan4021'=0.8496.

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变,

符号看象限这一口诀的应用.

5

6.证明:(l)cos—7r-a=sin。；

2

7

(2)cos—7r+a=sina；

2

9

(3)sin-7T-a=cosa；

2

(4)sin[U乃-a

=-coscz.

k2

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析

【解析】

【分析】

对角度进行变形，利用前面学过的诱导公式进行证明推导.

7C

【详解】（1）左边=COS]-a=sina=右边;

71

⑵左边=cos(_,+a=cos=sina=右边;

⑶左边=sin各a=cosa=右边;

⑷左边会-兀

=sinaJ=-sin——+a=-cosa=右边.

2

【点睛】本题考查诱导公式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注

意利用诱导公式2-4进行证明诱导公式5和6.

71

cosa——

、2,

7.化简:(1)-sin(a-2^)cos(2^-a)；

5%

sin-----\-a

2

tan(360°+a)

2345

(2)cos(-a)-

cos生+a

12

cos(a-3^)cos

⑶

【答案】(1)sin2a(2)cos2a+一5一(3)tana

cosa

【解析】

【分析】

利用诱导公式直接进行化简，即可得到答案.

Clri/V

【详解】⑴原式-----sinorcosa=sin2tz；

cosa

eq1tanor21

⑵原式=cos-cr--------=cos-aH------.

-sinacosa

cosasina

=tana

(3)原式cos%

【点睛】本题考查诱导公式的直接应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不

变，符号看象限的应用.

习题5.3

复习巩固

8.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具，第(2)(3)(4)(5)题精确到

0.0001)：

cos(一苧

(1)

(2)sin(-1574°)；

(3)sin(-2160°52，)；

(4)cos(-1751036,)；

(5)cosl61508'；

(6)sin(-g；zr).

【答案】（1）也

2

(2)-0.7193

(3)-0.0151

(4)0.6639

(5)-0.9964

(6)

2

【解析】

【分析】（1）由余弦的诱导公式化简后求值;

(2)由正弦的诱导公式化简后求值;

由正弦的诱导公式化简后求值;

(4)由余弦的诱导公式化简后求值;

(5)由余弦的诱导公式化简后求值;

(6)由正弦的诱导公式化简后求值;

【小问1详解】

,17兀、177r..冗、7i^2

cos(-----)=cos----=cos(44+—)=cos—=——；

44442

【小问2详解】

sin(-1574°)=-sin1574°=-sin(4x3600+134°)=—sin1340=—sin46。右一0.7193；

【小问3详解】

sin(-2160。52')=sin(-6x3600—52')=—sin52”-0.0151

【小问4详解】

cos(-l751。36')=cos(-l8000+48°24,)=cos48。24'»0.6639

【小问5详解】

cosl615°8'=cos(1440°+175°8')=cos175°8'=-cos4°52'»-0.9964

【小问6详解】

./26、.26.27r.21."^3

sin(-----7i)=-sin—兀=-sin(z8o乃+——)=-sin——=-sin—=-------・

333332

9.求证：

(1)sin(360-0)=-sina；

(2)cos(360°—6z)=cosa；

(3)tan(360°-a)=—tana.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【解析】

【分析】

运用360°+a与£、与夕的诱导公式进行证明即可.

【详解】证明：(1)左边=sin[360°+(—&)]=sin(—a)=-sina=右边；

(2)左边=cos[360°+(-a)]=cos(-a)=cosa=右边；

(3)左边=tan[360°+(-a)]-tan(-a)=-tana=右边.

【点睛】本题考查了诱导公式的应用，属于基础题.

10.化简：

(1)1+sin(a-In)sin(^+a)-2cos2(-a)；

(2)sin(-1071°)sin99c+sin(-171°)sin(-261°).

【答案】(1)-cos2a；(2)0

【解析】

【分析】

运用诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】解：(1)原式

=l+[-sin(2万-a)]•sin(»+a)—2cos2a=1—sina•sina—2cos2a=-cos2a.

(2)原式=(-sinl071).sin99"+(-sinl71)(-sin261)

=-[sin(2x360"+351°)]-sin(90°+9°)+[-sin(180°-9°)]-[-sin(270°-9°)]

=-sin3510-cos9-sin9-cos90=sin90-cos9-sin9°-cos9=0.

【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，考查了

数学运算能力.

11.在单位圆中，已知角々的终边与单位圆的交点为尸［-|,分别求角

7T

乃+a,-a,—+a的正弦、余弦函数值.

2

4343

【答案】Sin(.+a)=--,coSU+a)=-；sin(-a)=--,cos(-a)=--；

.(71\3(7t\4

sin—+a=——,cos—+a=——

U)512)5

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义，结合诱导公式进行求解即可.

【详解】解：•••角a的终边与单位圆的交点为11),

,434

/.sina=—,cosa-——,tana=——.

553

.43

/.sin(乃+a)=-sina=—g,COS(TT+a)二COS6Z=—,

,4_3

sin(-a)=-sina-——,cos(-a)=cosa

―一二

.「乃)3(万、.4

sin一+a=cosa=一一,cos一+a=-sina.

k2)512)

【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能

力.

综合运用

743

12.己知sin(——+a)=—,那么cosa=()

25

43CTD.1

A.——B.•一

5555

【答案】B

【解析】

万

【分析】根据sin(7手+&)=，3，利用三角函数的诱导公式求解.

77rTC7T

【详解】因为sin(-^-+a)=sin87r+(--+a)=sin(--4-a),

=sin一弓一4)=-sin(^-<z)=-cos<z=-|,

3

所以cosa=-g,

故选：B

13.已知sin(>r+a)=一；,计算：

(1)sin(5^--cr)；

jr

(2)sin(—+a)；

34

(3)cos(a-j-)

71

(4)tan(--a).

【答案】(1)y;(2)土且；(3)-］；(4)±>/3.

222

【解析】

【分析】直接利用三角函数的诱导公式求解.

【详解】因为sin(4+。)=-sina=-2，

2

匚匚I、।,1,\/3

所以sin6/——,cosa=±—

22

(1)sin(5乃一a)=sin(乃一a)=sina=g；

(2)sin咚+a)=cosa=±Jl-sin「a=±^~；

/、3乃、,711

(3)cosz(a-----)=cos(——ba)=-sina=——

sin（--a）

（4）tan一=*=±G

2cosg—a）

14.在AABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.

(1)cos(A+5)=cosC•

(2)sin(A+/?)=sinC；

,A+B.C

(3)sin-----=--sin—；

22

A+BC

(4)cos-=---c-o--s—.

22

【答案】（1）不成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见

解析；（4）不成立，理由见解析

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理，结合诱导公式逐一判断即可.

【详解】解：(1)不成立，Vcos(A+5)=cos(^--C)=-cosC,

cos(A+3)=cosC不成立;

(2)成立，sin(A+B)=sin(^-C)=sinC,sin(A+B)=sinC；

A+B.C一

(3)sin—sin—不成立;

2

丁一一A+871C,CA+B。丁一

(4)不成立cos=cos=sin§,cos—=cos—不成

【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了三角形内角和定理的应用，考查了数

学运算能力.

15.已知sin[