2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z对应点的坐标是(2,−2)，则i⋅z=(

)A.2+2i B.−2+2i C.2−2i D.−2−2i2.已知向量a=(2,t),b=(1,−2)，若a⊥bA.−1 B.1 C.−4 D.43.下列函数中，周期是π，又是奇函数的是(

)A.y=sinx B.y=cos2x C.y=sin2(x+π4)4.为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象

，可以将函数A.向左平移π4个单位长度 B.向右平移π4个单位长度

C.向左平移π8个单位长度 D.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=8,b=5,cosA=35，则角B为(

)A.π6 B.π3 C.π6和5π6 6.sin75°cos15°−cos75°sin15°=(

)A.32 B.12 C.07.已知在△ABC中，cosA+1=b+cc，则判断△ABC的形状(

)A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是(

)A.若a//α，b⊂α，则a//b

B.若a//b，a⊥α，b⊂β，则α⊥β

C.若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b

D.若α⊥β，α∩β=l，a⊂α，b⊥l，则a⊥b9.设非零向量a,b，则“(a+b)⊥(a−A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知向量OA=(1,3)，向量|OB|=2，且|OA−OB|=2A.[0,3+23] B.[3−23,3+2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=

．12.已知角α的终边经过点P(3,−4)，则tanα=______；cosα=______．13.已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为2π3的等腰三角形，则该圆锥的体积为______．14.“堑堵”最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章.《九章算术⋅商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马；其一为鳖臑.其中“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的三棱柱，如图，长方体的长为3，宽为4，高为5，若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为______．15.设函数f(x)=2cos2(ωx−π12)−1，则下列选项中所有正确选项的序号______．

①当ω=1时，f(x)的最小正周期为2π；

②若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小正数为13；

③将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于原点对称，则ω=3k+2(k∈Z)；

④函数f(x)的图像与直线y=三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知向量a=(2,2),b=(1,m)．

(1)若m=2，求a⋅b及|a+b|的值；

(2)若2a+b与b平行，求实数m的值；

17.(本小题14分)

如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1边长为2．

(1)证明：B1C//平面A1BD18.(本小题13分)

在△ABC中，bsin2A=−27asinB，a=8，c=7．

(1)求b值；

(2)求角C和19.(本小题14分)

已知函数f(x)=3sinωx⋅cosωx+cos2ωx．

从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在且唯一．

条件①：f(π3)=−1；

条件②：f(x)在区间[−π3,π6]单调，且f(π6)−f(−π3)=2；

条件③：函数g(x)=f(x)−20.(本小题15分)

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置(A1与C不重合)，连A1C，A1B，如图2．

(1)求证：平面A1DE⊥平面A1CD；

(2)若平面A1DE与平面A1CB交于过A1的直线21.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，定义向量OA=(m,n)为函数f(x)=msinx+ncosx的有序相伴向量．

(1)设ℎ(x)=2sin(x−π3)(x∈R)，写出函数ℎ(x)的相伴向量OM；

(2)若f(x)的有序相伴向量为OB=(0,1)，若函数ℎ(x)=f(x)+|sinx|，x∈[0,2π]，与直线y=k有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围；

(3)若f(x)的有序相伴向量为OB=(m,0)，当函数f(x)在区间[a,b]上时值域为[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“和谐区间”.当m=−3时，f(x)参考答案1.A

2.B

3.D

4.D

5.A

6.A

7.C

8.B

9.B

10.D

11.212.−43

13.8π

14.5−515.②③④

16.解：(1)当m=2时，b=(1,2)，结合a=(2,2)，可得a⋅b=1×2+2×2=6．

因为a+b=(2,2)+(1,2)=(3,4)，所以|a+b|=32+42=5；

(2)根据a=(2,2),b=(1,m)，可得2a+b=(5,m+4)，

若2a+b//b17.证明：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AB1，交BA1于E，连接AC交BD于O，连接OE，

则OE//CB1，

因为CB1⊄平面A1BD，OE⊂平面A1BD，

所以B1C/​/平面A1BD；

(2)因为AA1⊥平面ABCD，18.解：(1)因为bsin2A=−27asinB，

由正弦定理可得：sinB⋅2sinAcosA=−27sinAsinB，

在△ABC中，可得sinA>0，sinB>0，

可得cosA=−17，

又因为a=8，c=7，

由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosA，

即64=b2+49−2b⋅7⋅(−17)，

可得b2+2b−15=0，

可得b=3或b=−5(舍)，

即b的值为319.解：(1)f(x)=3sinωx⋅cosωx+cos2ωx=32sin2ωx+1+cos2ωx2=sin(2ωx+π6)+12，

若选①：f(π3)=−1，则sin(2π3ω+π6)+12=−1，即sin(2π3ω+π6)=−32，不成立；

若选②：f(x)在区间[−π3,π6]单调，且f(π6)−f(−π3)=2；

则π6−(−π320.(1)证明：由图1知，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，可得DE/​/BC，

DE⊥AD，DE⊥CD，

图2知，A1D⊥DE，

A1D∩CD=D，

可得DE⊥平面A1CD，

而DE⊂平面A1DE，

所以平面A1DE⊥平面A1CD；

(2)证明：因为DE/​/BC，

BC⊂平面A1CB，DE⊄平面A1CB，

所以DE/​/平面A1CB，

而DE⊂平面A1DE，

平面A1DE与平面A1CB=m，

所以DE//m；

(3)解：线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ，

理由如下：如图，

分别取A1C，A1B的中点P，Q，

则PQ/​/BC，

又因为DE/​/BC，所以DE/​/PQ，

所以平面DEQ即为平面DEP，

由(2)知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C，

又因为P21.解：(1)因为ℎ(x)=2sin(x−π3)=2(sinxcosπ3−cosxsinπ3)=2(12sinx−32cosx)=sinx−3cosx，

所以函数ℎ(x)的相伴向量OM=(1,−3)；

(2)若f(x)的有序相伴向量为OB=(0,1)，

则f(x)=cosx，

所以ℎ(x)=f(x)+|sinx|

=cosx+|sinx|

=cosx+sinx,x∈[0,π]cosx−sinx,x∈(π,2π]

=2sin(x+π4),x∈[0,π]−2sin(x−π4),x∈(π,2π],

如图所示：

当x∈[0,π4]时，ℎ(x)∈[1,2]；当x∈(π4,π]时，ℎ(x)∈(−1,2]；

当x∈(π,7π4]时，ℎ(x)∈(−1,2]，当x∈(7π4,2π]时，ℎ(x)∈(1,2]；

由图象可知，若函数ℎ(x)与直线y=k有且仅有2个不同的交点，

则k=2或−1<k<1，

所以k∈(−1,1)∪{2}；

(3)f(x)有唯一“和谐区间”[−3,3]，理由如下：

因为f(x)的有序相伴向量为OB=(m,0)，

则f(x)=msinx，

当m=−3时，f(x)=−3sinx，

当m=−3时，假设f(x)存在“和谐区间”，

则由−3≤f(x)≤3，得−3≤a≤b≤3，

①若a，b≥0，则由[