2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一下学期期末联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一下学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=3−i，则|z|=(

)A.10 B.10 C.252.设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面α的距离相等”是“l/​/α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是(

)A.90 B.88 C.82 D.764.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5,b=4,c=21，则C=(

)A.90° B.45° C.60° D.30°5.已知非零向量a,b满足a=3b，且向量b在向量a上的投影向量为16a，则aA.30∘ B.45∘ C.60∘6.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为(

)A.6π B.8π C.16π D.20π7.用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为(

)A.13 B.12 C.238.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinC+3bsinAcosC=bsinB，则tanA的最大值是(

)A.32 B.22 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i是虚数单位，则下列说法正确的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.复数z=3−5i的虚部为5

C.若复数z1，z2满足(z10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC的个数的判断正确的是(

)A.当a=22,c=4,A=30°时，有两解

B.当a=5，b=7，A=60°时，有一解

C.当a=2,b=4,A=30°时，无解

D.当11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，AA1=2，D是边B1C1的中点，过点A.DE//AB

B.平面AB1C⊥平面ABDE

C.DE//平面AB1C

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.3，则P(A∪B)=______．13.如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为500m，在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为45∘，塔顶B的俯角为30∘，向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达D处时，测得塔底A的俯角为75∘，则该座小山的海拔为

m；古塔AB的塔高为

m．

14.已知△ABC中，AB=22,∠A=45°,D为BC上一点，且BD=2DC，BE⊥AC，垂足为E，则AD⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）已知向量OA=(−3,1),OB=(1,−1),OC=(m,4),OD=(x,y)(m,x,y∈R)．

(1)若A，B，C三点共线，求m的值；

(2)若四边形16.（15分）如图，在三棱锥A−BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．

(1)若EF//平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由；

(2)若BC=BD=AD=AC，证明：CD⊥AB．17.（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2sinA+sinC)c=bsin2C．

(1)求角B的大小；

(2)若AC=67，点D是线段AC上的一点，且∠ABD=∠CBD，BD=4，求△ABC的周长．18.（17分）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．

(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；

(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；

(3)已知落在[50,60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60,70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50,70)的总平均综合评分z−和总方差s2．19.（17分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=3，AB=2AC=4，AC⊥CB，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点，点F是线段CE的中点．

(1)求证：AF⊥平面BCE；

参考答案1.A

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

7.C

8.D

9.AD

10.AC

11.ABD

12.0.6

13.475−2514.−415.解：(1)因为OA=(−3,1),OB=(1,−1),OC=(m,4)，

所以AB=OB−OA=(1,−1)−(−3,1)=(4,−2)，AC=OC−OA=(m,4)−(−3,1)=(m+3,3)．

又A，B，C三点共线，所以AB//AC，所以4×3−(−2)(m+3)=0，

解得m=−9．

(2)由AB=(4,−2),BC=OC−OB=(m,4)−(1,−1)=(m−1,5)，

CD=OD16.(1)解：F是CD的中点，理由如下：

若EF//平面ABC，由EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面ABC=AC，

得EF//AC，又E是AD的中点，F在CD上，

所以F是CD的中点；

(2)证明：取CD的中点G，连接BG，AG，

因为BC=BD=AD=AC，G为CD中点，

所以CD⊥AG，CD⊥BG，

因为BG∩AG=G，所以CD⊥平面ABG，

因为AB⊂平面ABG，

所以CD⊥AB．

17.解：(1)依据题干条件(2sinA+sinC)c=bsin2C，

根据正弦定理可得(2sinA+sinC)sinC

=sinBsin2C

=2sinBsinCcosC，

又因为sinC>0，

所以2sinA+sinC

=2sinBcosC

=2sin(B+C)+sinC

=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC，

所以2cosBsinC+sinC=0，

所以(2cosB+1)sinC=0，

又因为sinC>0，

所以2cosB+1=0，

所以cosB=−12，

又因为B∈(0,π)，

所以B=2π3．

(2)由题意可知∠ABD=∠CBD=π3，又因为三角形ABC包括三角形ABD和三角形DBC，

即S△ABC=S△ABD+S△DBC，

所以S△ABC=12acsin2π3=12c×4sinπ3+12a×4sinπ3，

18.解：(1)由频率分布直方图可得：(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，

解得a=0.040，

则综合评分的平均数为x−=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020)=81；

(2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，

一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E，

从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间Ω={ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE}，共10个样本点，

记事件A=“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则A={aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE}，共7个样本点，

所以所求的概率为P=710；

(3)z19.解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，

又AC⊥CB，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，

又AF⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥AF，

在矩形ACC1A1中，AA1=3，AC=2，点E是棱A1C1的中点，

所以AE=EC=2，所以△AEC是等边三角形，

又点F是线段CE的中点，所以AF⊥EC，

又CE∩BC=C，CE，BC⊂平面BCE，

所以AF⊥平面BCE．

(2)在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，

由(1)知AF⊥平面BCE，又DH⊂平面BCE，

所以AF⊥DH，

又BF⊥DH，BF∩AF=F，BF，AF⊂平面ABF，

所以DH⊥平面ABF，

所以∠DFB是直线DF与平面ABF所成角，

在△ABC中，AB=2AC=4，AC⊥CB，

所以CB=AB2−AC2=23，

又点D为棱BC的中点，所以BD=CD=12CB=3，

因为BC⊥平面ACC1A1，又CE⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥CE，

所以DF=DC2+CF2=2，BF=BC2+CF2=13，