云南省昆明市嵩明县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省昆明市嵩明县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知圆关于直线对称，则实数（）A. B.1 C. D.3〖答案〗D〖解析〗由得，则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称，故由圆的对称性可知：圆心在直线上，则.故选：D.2.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，当且仅当时取等号，最小值为.故选：B.3.若为第三象限角，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，为第三象限角所以，所以，故选：C4.同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（）A.A与对立 B.C.A与相互独立 D.与相互独立〖答案〗C〖解析〗由题意可知：，对于选项A：事件“”，事件“为奇数”，例如，则，不为奇数，即A事件和事件可以同时不发生，所以A事件与事件不对立，故A错误；对于选项B：样本空间共个样本点，且，共个样本点，所以，，共个样本点，，，共个样本点，，则，所以，故B错误；对于选项C：因为，所以与不相互独立，故D错误；对于选项D：因为，则，且，可得，所以与相互独立，故C正确．故选：C．5.尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（）（）A.69 B.71 C.73 D.75〖答案〗D〖解析〗由函数模型，当时,,可得,即①.设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为,则，即②,②①得，即，则.故选：D.6.已知双曲线的左右焦点分别为为上一点，，则的离心率为（）A. · B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，取线段的中点，连接，因为，所以为等腰三角形，所以，且，所以，设，则，所以的离心率.故选：D.7.云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术､歌舞服饰､文化风情､宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（）A.360 B.450 C.540 D.1020〖答案〗C〖解析〗由题意可知：三个景点安排的人数之比为或或，则有：若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；若三个景点安排人数之比为，则有种安排方法；故不同的安排方法种数是.故选：C.8.下列命题正确的有（）个①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列；②若数列为等差数列，则为等比数列；③数列满足：，则④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗B〖解析〗对于①：设等比数列的公比为，若，则，可得，则，故不是等比数列，①错误；对于②，设等差数列公差为，则，则是个常数，所以为等比数列，故②正确；对于③，依题意，，它不满足，③错误；对于④，，当时，，即，解得，当时，，于是，即，数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以数列的前项和，④正确.故选：B二、多选题（每小题6分，共18分；全部选对6分，部分选对3分，错选0分）9.下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，空集是任何集合的子集，所以，故A错误；对于B，0属于集合，故B正确；对于C，属于集合，故C正确.对于D，空集是任何集合的子集，故D正确.故选：BCD.10.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.的图象关于中心对称B.在区间上单调递增C.在上有4个零点，则实数的取值范围是D.将图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象〖答案〗AD〖解析〗不妨设，则，解得．又，所以，解得，，取符合条件的的一个值，不妨令，则．对于A选项，因为．所以的图像关于中心对称，故A选项正确；对于B选项，令，解得，所以的单调递增区间为:，取，得的一个单调递增区间为．因为，所以在上不具有单调性，故B选项错误；对于C选项，因为，所以，所以，解得，故C选项错误；对于D选项，将的图象向右平移个单位长度得到:的图象，故D选项正确，故选:AD．11.棱长为2的正方体中，点在底面内运动，点是棱的中点，则下列说法正确的是（）A.过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直B.直线与所成角的余弦值为C.点到平面的距离为D.若点到直线的距离为，则点的轨迹为一个椭圆的一部分〖答案〗CD〖解析〗对于A，当点在处时，过点只能作一条直线，故A错误；对于B，以为原点建立空间直角坐标系，则，所以，设异面直线与所成角为，则，故B错误；对于C，，设面的法向量，点到平面的距离为，则，令，解得，，故，由点到平面的距离公式得，故C正确；对于D，因为点到直线的距离为，所以点的轨迹是以为对称轴的圆柱，而点又在底面上，底面与对称轴不垂直，因此点在底面与圆柱的截面上，此截面必为椭圆的一部分，故D正确.故选：CD.【『点石成金』】关键点『点石成金』：本题考查空间向量的线线夹角、点线距及截面，解题关键是要掌握线线向量夹角公式及线面距的公式.三、填空题（每小题5分，共15分）12.若复数，则_______.〖答案〗〖解析〗由，得，所以，所以.故〖答案〗为：13.在中，，则的外接圆面积为__________.〖答案〗〖解析〗根据题意，，由余弦定理得，因为，则，由正弦定理得，即，所以的外接圆面积为.故〖答案〗为：.14.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为__________.〖答案〗〖解析〗，则，故在上单调递减，因为，故有，即有，则，即，则，故为周期为8的周期函数，由，故，由，故，即，故，即有，则，对，有，即有，由在上单调递减，故，即不等式的解集为.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共个小题，共77分）15.已知数列是公差不为0的等差数列，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.解：（1）因为成等比数列，所以，解得，所以.（2）因为，所以，所以，所以.16.如图，在三棱台中，H在AC边上，平面平面，，，，，.（1）证明：；（2）若且的面积为.求与平面所成角的正弦值.解：（1）因为，在中，由余弦定理可得，解得，所以，即，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，由平面，所以，又因为，所以，（2）在中，，，，所以，又，所以，由（1）知平面，则以为原点，的方向为轴，建立如图所示的坐标系，点的纵坐标为，横坐标为，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.17.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.解：（1）时，，所以，故切点为，所以，即切线的斜率为1；所以切线的方程为；（2），时，，①当时，在区间上单调递增，所以满足条件；②当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，故恒成立；令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，故不能恒成立，故不合题意；综上所述，实数的取值范围为.18.平面上一动点满足．（1）求P点轨迹的方程；（2）已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值解：（1）由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2，由双曲线的定义，P点轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，设，则，，，所以的方程为．（2）如图，不妨设点P在第二象限，①当的斜率不存在时，，令，解得，则，此时，在中，，，即，②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，则，，假设成立，即，则有，即．又，，又点P的坐标满足，即，，假设成立，综上，当时，有成立．此时，由对称性知，，而，为定值．19.设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质.（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明；（2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质；（3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由.解：（1）恰含有两个元素且具有性质的集合；；（2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有.①，易知此时集合具有性质.②数集只含有两个元素，不妨设，由，且，解得：，此时集合具有性质.