天津市河北区2023-2024学年高一下学期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市河北区2023-2024学年高一下学期末质量检测数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，，则（）A.-1 B.1 C.-5 D.5〖答案〗A〖解析〗复数，，由共轭复数的定义可知，，则有.故选：A.2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）A.与互为对立事件 B.C.与相等 D.与互斥〖答案〗B〖解析〗AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；B选项，，故B正确；C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．故选：B．3.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗依题意每个个体被抽到的概率均为，则某一个特定个体被抽到的概率为.

故选：A.4.如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因，所以即为异面直线与所成角的平面角，而，所以异面直线与所成角的大小为.故选：C.5.用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（）A.12 B.C.9 D.3〖答案〗D〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得，，所以，则.故选：D.6.如图，已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，.故选：B.7.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A：若，，则或，又，则或与相交，相交也不一定垂直，故A错误；对于B：若，，则或，若，则在平面内存在直线，使得，又，则，又，所以；若，又，所以；综上可得，由，，，可得，故B错误；对于C：若，，则，又，，是两个不同的平面，则，故C正确；对于D：若，，，则或与异面，故D错误．故选：C．8.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能，其中满足的数对有，共5种可能，所以点在直线上的概率是.故选：C.9.某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（）A.该市14天空气质量指数的中位数为78.5B.该市14天空气质量指数的第30百分位数为55C.该市14天空气质量指数的平均值大于100D.计算连续3天空气质量指数方差，其中6日到8日的方差最大〖答案〗C〖解析〗对于A，将14天的空气质量指数由小到大排列为：，所以该市14天空气质量指数的中位数为：，故A正确.对于B：因为，所以该市14天空气质量指数的百分位数为，故B正确；对于C：，该市14天空气质量指数的平均值小于100，故C错误；对于D：因为连续3天空气质量指数，6日到8日的波动最大，也即方差最大，故D正确.故选：C.10.如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由直三棱柱的体积为6，可得，设到平面的距离为，由，，，解得，即到平面的距离为.故选：B.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，〖答案〗填在题中横线上．11.i是虚数单位，复数______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.12.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家．〖答案〗20〖解析〗∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家.故〖答案〗为：20．13.某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______．〖答案〗〖解析〗由题意，所求概率为.故〖答案〗为：.14.已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为______．〖答案〗〖解析〗因为长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则长方体的体对角线长为，又长方体外接球的直径即为长方体的体对角线，设外接球的半径为，则，所以，所以外接球的表面积.

故〖答案〗为：.15.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______．〖答案〗〖解析〗所有的基本事件为，其中，，共25个基本事件；目标事件为，，，，，共5个基本事件，所以.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率；①“两个点数之和是5”；②“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，一号骰子的每一个结果都与二号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果，用数字表示一号骰子出现的点数，用数字表示二号骰子出现的点数，则数组表示这个试验的一个样本点，所以这个试验的样本空间为：，样本空间共有36个样本点，由于骰子的质地均匀，因此各个样本点出现的可能性相等，所以这个试验是古典概型.（2）由（1）知，事件A所含样本点：，共4个，所以；事件B所含样本点为：，共15个，所以.17.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值和的面积．解：（1）因为向量，，且，所以，由正弦定理得，又，则，显然，则，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，解得或（舍），所以面积.18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由．解：（1）由频率分布直方图知，，解得，所以直方图中的值为.（2）由图得月均用水量不低于3吨的频率为，所以估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为（人）.（3）由图可知，众数是；因为，，所以中位数在区间内，设为，则，解得，即中位数为.19.如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）在三棱柱中，与交于点，