2024年安徽省合肥市庐阳区第四十五中学橡树湾校区中考一模数学试题

第1页（共1页）2024年安徽省合肥市庐阳区第四十五中学橡树湾校区中考一模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．3a﹣a＝3 B．2a•a＝3a3 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a63．（4分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）A． B． C． D．4．（4分）2024年政府工作报告中指出，截至2023年底，中国新能源汽车保有量为2041万辆，其中2041万用科学记数法表示为（）A．2.041×108 B．0.2041×108 C．2041×107 D．2.041×1075．（4分）点A（﹣5，y1），B（﹣2，y2）都在直线y＝﹣x+m上，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．不能确定6．（4分）将一把直尺和一块三角板ABC（∠C＝30°）按如图所示的位置放置，若∠BFA＝60°，那么∠CDE的度数等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°7．（4分）一个封闭的不透明袋子中有形状、大小完全相同的一个红球，两个黄球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后从袋子中再次摸出一个球，则两次摸到的小球颜色为一红一黄的概率为（）A． B． C． D．8．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（）A． B．8 C． D．9．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是AB边上一点，点E是AC边上一点，AE＝BD，过点D作DF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G，则DF+EG＝（）A． B．5 C．6 D．10．（4分）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，若p≤x≤q时，a≤y≤a+4，则q﹣p的最大值是（）A． B．4 C． D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算：．12．（5分）分解因式：mx2﹣4m＝．13．（5分）如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP的面积为．14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，点M是AB中点，点D是射线BC上的一个动点，以AD为一边向右构造等边△ADE，连接EM．（1）当点D与B点重合时，EM的长度为；（2）在点D的运动过程中，EM长度的最小值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．16．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C，并直接写出点B2的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）“曹冲称象”是中国民间流传很广的故事，故事中称象的方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好在标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位在标记位置不变，若每块条形石的重量都是240斤，求该头象的重量是多少？（假设每个搬运工体重都相同）18．（8分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，∠ACD＝60°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）春节期间，某单位在小广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆；第②层需要4盆；第③层需要7盆；第④层需要10盆；以此类推．按照以上规律，解决下列问题：（1）第⑤层需要花卉盆，五层共需要花卉盆；（2）第n层需要花卉盆；（用含n的代数式表示）（3）若将按此规律排列的图案中的4条射线OA，OB，OC，OD上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？20．（10分）已知：如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，D为AB上一点，连接CD并延长交⊙O于点E，连接BE，作BF⊥CE于点F．（1）求证：△BEF∽△BAC；（2）若AD＝3，求BE的长．六、（本题满分12分）21．（12分）第33届奥运会将于2024年7月26日在巴黎开幕．某校七、八年级各有400名学生，为了解这两个年级学生对本次奥运会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行奥运会知识测试（得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如图：已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88请根据以上信息，完成下列问题：（1）a＝，n＝；（2）八年级测试成绩的中位数是；（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对奥运会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对奥运会关注程度高的学生一共有多少人．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为斜边AB的中点，点E为CD延长线上一点，连接AE，在BC上取一点M，连接ME交AB于点F，使ME＝AE．（1）求证：AE⊥ME；（2）过点M作MN⊥ME交CD于点N，连接MD，当MN＝MD时，求的值．八、（本题满分14分）23．（14分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k过点A（0，﹣1）、B（m，﹣1）、C（5，﹣6）．连接AB，P是直线AB上方抛物线上的动点．过P作y轴的平行线交直线AC于点Q．（1）求m，a，k的值；（2）如图1，连接PA、PB、QB，求四边形APBQ面积的最大值；（3）如图2，连接PA、BC、PC，PC与AB交于点D，则是否存在P点，使△PDA与△BCD面积相等？若存在，请算出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．2．（4分）下列运算正确的是（）A．3a﹣a＝3 B．2a•a＝3a3 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6【解答】解：A、3a﹣a＝2a，故A不符合题意；B、2a•a＝2a2，故B不符合题意；C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；D、（a2）3＝a6，故D符合题意；故选：D．3．（4分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选：D．4．（4分）2024年政府工作报告中指出，截至2023年底，中国新能源汽车保有量为2041万辆，其中2041万用科学记数法表示为（）A．2.041×108 B．0.2041×108 C．2041×107 D．2.041×107【解答】解：2041万＝20410000＝2.041×107．故选：D．5．（4分）点A（﹣5，y1），B（﹣2，y2）都在直线y＝﹣x+m上，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．不能确定【解答】解：∵函数y＝﹣x+m中，k＝﹣＜0，∴y随x的增大而减小，∵函数y＝﹣x+m的图象经过点A（﹣5，y1）和点B（﹣2，y2），∵﹣5＜﹣2，∴y1＞y2，故选：B．6．（4分）将一把直尺和一块三角板ABC（∠C＝30°）按如图所示的位置放置，若∠BFA＝60°，那么∠CDE的度数等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°【解答】解：∵∠B＝90°，∠BFA＝60°，∴∠BAF＝90°﹣∠BFA＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠FAC＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，∵AF∥DE，∴∠CDE＝∠FAC＝30°，故选：B．7．（4分）一个封闭的不透明袋子中有形状、大小完全相同的一个红球，两个黄球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后从袋子中再次摸出一个球，则两次摸到的小球颜色为一红一黄的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：红黄黄红（红，红）（红，黄）（红，黄）黄（黄，红）（黄，黄）（黄，黄）黄（黄，红）（黄，黄）（黄，黄）共有9种等可能的结果，其中两次摸到的小球颜色为一红一黄的结果有4种，∴两次摸到的小球颜色为一红一黄的概率为．故选：A．8．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为（）A． B．8 C． D．【解答】解：连接BE，如图，∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．故选：D．9．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是AB边上一点，点E是AC边上一点，AE＝BD，过点D作DF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G，则DF+EG＝（）A． B．5 C．6 D．【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，过E点作EI⊥AH于I，则EI∥HG，∠AIE＝90°，∵AB＝AC＝10，BC＝16，∴∠BAH＝∠CAH，BH＝CH＝8，∴AH＝＝＝6，∵DF⊥BC，EG⊥BC，∴DF∥AH∥EG，∠BFD＝90°，∴∠AIE＝∠BFD，∠BDF＝BAI，∴∠BDF＝EAI，∵∠AIE＝∠DFB，∠BDF＝EAI，AE＝DB，∴△AIE≌△DFB（AAS），∴DF＝AI，∵AH∥EG，EI∥GH，∠AHG＝90°，∴四边形HIEG是矩形，∴EG＝IH，∴DF+EG＝AI+IH＝AH＝6．故选：C．10．（4分）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，若p≤x≤q时，a≤y≤a+4，则q﹣p的最大值是（）A． B．4 C． D．2【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该二次函数的图象开口方向向上，对称轴为直线x＝1，函数的最小值是﹣4，且当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大．∵当p＜1＜q且x＝p时，函数值为a+4，x＝q时，函数值为a+4时，q﹣p有最大值，∴最小值是﹣4＝a，∴a+4＝0，∴若p≤x≤q时，﹣4≤y≤0，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴p＝﹣1，q＝3，∴q﹣p＝4，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算：2+π．【解答】解：原式＝2+π．故答案为：2+π．12．（5分）分解因式：mx2﹣4m＝m（x+2）（x﹣2）．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．13．（5分）如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP的面积为5．【解答】解：过P作MN⊥x轴于M，交AB于N，过A作AD⊥x轴于D，∵A（4，3），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝＝5，∵AB＝AO，∴AB＝5，∵AB∥x轴，点B的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3，即点B的坐标是（9，3），设直线OB的解析式是y＝ax，把B点的坐标（9，3）代入得：3＝9a，解得：a＝，即y＝x，∵AB∥x轴，∴MN⊥AB，把A（4，3）代入y＝，得k＝12，即y＝，解方程组得：或，∵点P在第一象限，∴点P的坐标是（6，2），∵A（4，3），AB∥x轴，P（6，2），∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，∴△OAP的面积是S△ABO﹣S△APB＝3﹣＝5，故答案为：5．14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，点M是AB中点，点D是射线BC上的一个动点，以AD为一边向右构造等边△ADE，连接EM．（1）当点D与B点重合时，EM的长度为；（2）在点D的运动过程中，EM长度的最小值为．【解答】解：（1）当点D与点B重合时，如图所示，∵△ABE是等边三角形，∴EA＝EB，∠EAM＝60°．∵点M为AB的中点，∴EM⊥AB．∵AB＝4，∴AM＝2．在Rt△AME中，tan∠EAM＝，∴EM＝．故答案为：．（2）以AC为边，在AC右侧作等边△ACP，如图所示，连接EP，∵∠CAD+∠DAP＝∠DAP+∠PAE＝60°，∴∠CAD＝∠PAE．在△CAD和△PAE中，，∴△CAD≌△PAE（SAS），∴∠APE＝∠ACD＝90°，∴点E在过点P且与AP垂直的直线上．∵∠CAB＝90°﹣60°＝30°，且∠CAP＝60°，AC＝AP，∴AB垂直平分CP，∴∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝90°，则E，P，B三点共线．过点M作EP的垂线，垂足为E′，当点E在点E′处时，ME取得最小值．在Rt△ABC中，sin∠ABC＝，∴AC＝，∴AP＝AC＝．∵AP∥ME′，∴△BME′∽△BAP，∴，∴ME′＝，即EM长度的最小值为．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5，配方，得（x﹣1）2＝5，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．16．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C，并直接写出点B2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C即为所求．点B2的坐标为（1，﹣5）．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）“曹冲称象”是中国民间流传很广的故事，故事中称象的方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好在标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位在标记位置不变，若每块条形石的重量都是240斤，求该头象的重量是多少？（假设每个搬运工体重都相同）【解答】解：∵船上3个搬运工，再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位在标记位置不变，∴1个搬运工的重量＝1块条形石重量的一半，∵每块条形石的重量都是240斤，∴1个搬运工的重量＝＝120（斤），∴该头象的重量是20×240+3×120＝5160（斤），答：该头象的重量是5160斤．18．（8分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，∠ACD＝60°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，∴cos37°＝＝＝0.8，∴DE＝4，∵sin37°＝＝＝0.6，∴AE＝3．在Rt△AEC中，∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AE＝，∴AC＝2CE＝2，∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）春节期间，某单位在小广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆；第②层需要4盆；第③层需要7盆；第④层需要10盆；以此类推．按照以上规律，解决下列问题：（1）第⑤层需要花卉13盆，五层共需要花卉35盆；（2）第n层需要花卉（3n﹣2）盆；（用含n的代数式表示）（3）若将按此规律排列的图案中的4条射线OA，OB，OC，OD上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？【解答】解：（1）第①层需要1盆；第②层需要3+1＝4盆；第③层需要3×2+1＝7盆；第④层需要3×3+1＝10盆；第⑤层需要花卉3×4+1＝13盆，五层共需要花卉1+4+7+10+13＝35（盆）；故答案为：13；35．（2）第①层需要1盆；第②层需要3+1＝4盆；第③层需要3×2+1＝7盆；第④层需要3×3+1＝10盆；第⑤层需要花卉3×4+1＝13盆，…，第n层需要花卉3（n﹣1）+1＝（3n﹣2）盆．故答案为：（3n﹣2）．（3）设当盆景共用去205盆时，该图案共有x层，此时共需盆景4（x﹣1）+1（盆），由题意得：4（x﹣1）+1＝205，解得：x＝52．∴当盆景共用去205盆时，该图案共有52层，3×52﹣2﹣4＝150（盆），答：当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉．20．（10分）已知：如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，D为AB上一点，连接CD并延长交⊙O于点E，连接BE，作BF⊥CE于点F．（1）求证：△BEF∽△BAC；（2）若AD＝3，求BE的长．【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BFE＝∠ACB＝90°，∵∠E＝∠A，∴△BEF∽△BAC；（2）解：过C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，∴5CH＝×2，∴CH＝2，∴AH＝＝1，∴HD＝AD﹣AH＝3﹣1＝2，∴CH＝HD，∴△CHD是等腰直角三角形，∴∠CDH＝45°，∴∠BDF＝∠CDH＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝BD，∵AB＝5，AD＝3，∴BD＝5﹣3＝2，∴BF＝，∵△BEF∽△BAC，∴BE：AB＝BF：CB，∴BE：5＝：2，∴BE＝．六、（本题满分12分）21．（12分）第33届奥运会将于2024年7月26日在巴黎开幕．某校七、八年级各有400名学生，为了解这两个年级学生对本次奥运会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行奥运会知识测试（得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如图：已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88请根据以上信息，完成下列问题：（1）a＝4，n＝20；（2）八年级测试成绩的中位数是86.5；（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对奥运会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对奥运会关注程度高的学生一共有多少人．【解答】解：（1）由八年级测试成绩D组的全部数据个数可知；n＝7÷35%＝20（人），∴2a＝20﹣2﹣6﹣3﹣1，解得：a＝4，故答案为：4，20．（2）把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两位数为：86和87，∴中位数为＝86.5，故答案为：86.5．（3）400×+400×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣35%）＝80+140＝220（人），答：估计该校七、八两个年级对奥运会关注程度高的学生一共有220人．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为斜边AB的中点，点E为CD延长线上一点，连接AE，在BC上取一点M，连接ME交AB于点F，使ME＝AE．（1）求证：AE⊥ME；（2）过点M作MN⊥ME交CD于点N，连接MD，当MN＝MD时，求的值．【解答】（1）证明：如图1，过点E作EQ⊥BC于点Q，EP⊥CA于点P，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点D为斜边AB的中点，∴CE平分∠ACB，∴EP＝EQ，在Rt△EQM和Rt△EPA中，，∴Rt△EQM≌Rt△EPA（HL），∴∠QEM＝∠PEA，∵∠EQC＝∠QCP＝∠CPE＝90°，∴四边形EQCP是矩形，∴∠QEP＝∠QEM+∠MEP＝90°，∴∠AEP+∠MEP＝90°，∴∠AEM＝90°，∴AE⊥ME；（2）解：如图2，过点M作MG⊥CE于G，∵MN＝MD，∴NG＝DG，∵△ABC是等腰直角三角形，点D为斜边AB的中点，∴CD⊥AC，∴∠ADE＝∠EGM＝90°，∵AE⊥ME，∴