苏科版八年级数学上册讲练专题复习实数章末重难点题型(原卷版+解析)

专题复习实数章末重难点题型【题型目录】考点一求一个数的算术平方根考点二根据算术平方根的非负性解题考点三平方根的应用考点四求一个数的立方根考点五立方根的应用考点六实数的大小比较考点七新定义下的实数运算考点八与实数运算相关的规律题【考点一求一个数的算术平方根】【例题1】已知方程组的解满足，则k的算术平方根为（

）A．±2 B．2 C．－2 D．4【变式1-1】若一个三角形的三边长为、、，则使此三角形是直角三角形的的值是（

）A． B． C．或 D．或【变式1-2】若，满足，则的算术平方根为___________.【变式1-3】若单项式与可以合并成一项，则的算术平方根是______．【变式1-4】已知的平方根为，的算术平方根为2．(1)求，的值；(2)求的平方根．【考点二根据算术平方根的非负性解题】【例题2】已知+|b﹣1|＝0，那么的值为（）A．﹣1 B．1 C．32022 D．﹣32022【变式2-1】若实数x满足，则（

）A．x＝2或－1 B．2≥x≥－1 C．x＝2 D．x＝－1【变式2-2】已知：，那么的值等于___________.【变式2-3】若x，y为实数，且∣x－2∣＋＝0，则的值为___________．【变式2-4】已知：|a+2|+=0，(1)求a，b的值；(2)先化简，再求值：【考点三平方根的应用】【例题3】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（）A． B． C．1+ D．+2【变式3-1】已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536【变式3-2】一个正数的平方根分别是和2x+5，则这个正数是______【变式3-3】如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的边长是___________．【变式3-4】如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形．(1)求大正方形的边长：(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？【考点四求一个数的平方根】【例题4】如表是李小聪的数学测试答卷，他的得分应是（

）姓名：李小聪得分：？填空（每小题20分，共120分）①﹣0.5的绝对值是（）．②2的倒数是（﹣2）．③﹣0．8的相反数是（0.8）．④﹣1的立方根是（﹣1）．⑤算术平方根是它本身的数是（1）．⑥的算术平方根是（8）．A．120分 B．100分 C．80分 D．60分【变式4-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（

）A． B． C． D．【变式4-2】如图，数轴上点A表示的数为x，则的立方根是______．【变式4-3】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由，，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是______．【变式4-4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．(1)将a，b，c，0由大到小排列（用“”连接）__________________；(2)______0；______0（填写“”，“”，“”）(3)试化简：【考点五立方根的应用】【例题5】有一个数值转换器，流程如下：当输入的x值为64时，输出的y值是（

）A．4 B． C．2 D．【变式5-1】已知，则a的值为()A． B．0或±1 C．0 D．0，±1或【变式5-2】如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．把正方形放到数轴上，如图2，使点与-2重合，那么点在数轴上表示的数为___________．【变式5-3】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，∴的十位数字是3；∴＝39；【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．【变式5-4】你知道怎样迅速准确地计算出195112的立方根是多少吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，推出是______位数；（2）由195112的个位数是2，推出的个位数是______；（3）如果划去195112后面的三位112，得到195，而，，推出的十位数是______，所以，______．【考点六实数的大小比较】【例题6】已知，，，…，均为负数，则，，则M与N的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【变式6-1】如图1和2，两个圆的半径相等，O1、O2分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，那么S1与S2之间的大小关系是（

）A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．不能确定【变式6-2】比较大小：___．（填“”或“”）【变式6-3】已知表示取三个数中最小的数．例如：当时，，当时，则______．【变式6-4】阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：(1)比较大小：___________＋；（填“＜”，“=”或“>"）(2)已知，且，若，，试比较A和B的大小.【考点七新定义下的实数运算】【例题7】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)⊗3=﹣2，[(﹣2)⊕3]⊗2=2，那么(⊕2)⊗的值为（）A．2 B． C．3 D．3【变式7-1】规定不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，，．下列说法：①；②；③（a为正整数）；④若n为正整数，且，则n的最小值为6，其中正确说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-2】对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，则______．【变式7-3】如果无理数的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中、为连续正整数），我们则称无理数的“雅区间”为．例：，所以的“雅区间”为．若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中，是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，则______．【变式7-4】阅读下列材料，并回答问题：人们把形如与（a，b为有理数且b不等于0，m为正整数且开方开不尽）的两个数称为共轭实数(1)请你举出一对共轭实数(2)与是共轭实数吗？与是共轭实数吗？(3)共轭实数与是有理数还是无理数？(4)你发现共轭实数与的和，差是有理数还是无理数？【考点八与实数运算相关的规律题】【例题8】有一列数，，，，…，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则的值为（

）A．2 B． C． D．2021【变式8-1】若，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式8-2】观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．【变式8-3】将1、、、按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是_____．【变式8-4】已知，(1)观察上式得出规律，则，．(2)若的值．(3)由（2）中、的值，求的值．【亮点训练】1．的大小关系为（

）A． B．C． D．2．下列运算中，①，②，③，④．错误的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列说法：（1）任何一个数都有两个平方根，它们互为相反数；（2）数a的平方根是±；（3）的算术平方根是2；（4）负数不能开平方；（5），其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出的y的值为（

）．A．4 B． C．2 D．15．如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得等于（

）A． B． C． D．6．若，则____________．7．已知．（1）x的值为_____；（2）x的算术平方根为_____．8．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有x，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知π，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为_____．9．若符号[a，b]表示a，b两数中较大的一个数，符号（a，b）表示a，b两数中较小的一个数，则计算的结果是______．10．高斯是德国著名数学家，被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：函数y=[x]，也称为取整函数，即[x]表示不大于x的最大整数，如[-2.5]=-3，[3.14]=3，根据这个规定：（1）[-+1]=_________；（2）若[]=2022，则x的取值范围是__________．11．实数，，在数轴上的对应点如图所示，其中是原点，且；化简：12．（1）已知，，是的算术平方根，求的值；（2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．13．如图，∠BAD=∠CAE=，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度数；(3)若DE=a，CD=b，并且，求DB的长度．14．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．请解答：如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；15．阅读材料，并解答问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究．(1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“”或“”(2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小．专题复习实数章末重难点题型【题型目录】考点一求一个数的算术平方根考点二根据算术平方根的非负性解题考点三平方根的应用考点四求一个数的立方根考点五立方根的应用考点六实数的大小比较考点七新定义下的实数运算考点八与实数运算相关的规律题【考点一求一个数的算术平方根】【例题1】已知方程组的解满足，则k的算术平方根为（

）A．±2 B．2 C．－2 D．4【答案】B【分析】把两个方程相加可得3x+3y=2+k，两边同除以3可得x+y==2，解得k=4，因此k的算术平方根为2．【详解】，①+②得，3x+3y=k+2，∴x+y=，∵，∴=2，∴k=4，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次方程，算术平方根，解决问题的关键是熟练掌握用适当方法解二元一次方程组，一元一次方程的一般解法，算术平方根的定义与求一个数的算术平方根．【变式1-1】若一个三角形的三边长为、、，则使此三角形是直角三角形的的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．【详解】解：∵这个直角三角形的三边长分别为3，4，x，∴①当4是此直角三角形的斜边时，由勾股定理得到：x=，②当4是此直角三角形的直角边时，则斜边为x，由勾股定理得到：x=．故选：D．【点睛】本题考查的是用勾股定理解三角形，解答此题时注意要分类讨论，不要漏解．【变式1-2】若，满足，则的算术平方根为___________.【答案】##0.2【分析】根据平方和算术平方根的非负性，可求出x和y的值，再求出的算术平方根即可．【详解】∵，∴，解得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查非负数的性质，负整数指数幂和算术平方根．掌握平方和算术平方根的非负性是解题关键．【变式1-3】若单项式与可以合并成一项，则的算术平方根是______．【答案】4【分析】根据题意可知两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得：m-n=4，2m+n=2，联立求出m和n的值，最后将m和n的值代入m-7n并求出算术平方根即可．【详解】∵与可以合并成一项，∴与是同类项，∴，解得：，将代入得：2-7×（-2）=16，∴的算术平方根是：，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解二元一次方程以及求一个数的算术平方根，熟练掌握相关内容是解题的关键．【变式1-4】已知的平方根为，的算术平方根为2．(1)求，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可；（2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答．（1）解：∵a的平方根为±3，∴，∵的算术平方根为2，∴＝4，∵，∴．（2）解：∵，，∴∴a+2b的平方根为．【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键．【考点二根据算术平方根的非负性解题】【例题2】已知+|b﹣1|＝0，那么的值为（）A．﹣1 B．1 C．32022 D．﹣32022【答案】B【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵，，∴，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，∴＝＝＝1，故选：B．【点睛】本题考查了非负数的和为0，涉及了绝对值和算数平方根等相关知识，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．【变式2-1】若实数x满足，则（

）A．x＝2或－1 B．2≥x≥－1 C．x＝2 D．x＝－1【答案】A【分析】根据非负数性质求解即可．【详解】解：∵，又，|x+1|≥0，∴x-2=0或x+1=0，解得：x=2或x=-1，故选：A．【点睛】本题考查非负数的性质，熟练掌握算术平方根的非负数，绝对值的非负数是解题的关键．【变式2-2】已知：，那么的值等于___________.【答案】-1【分析】将原等式化为，根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性求出x=1，y=-2，再代入计算即可．【详解】解：∵∴∴x-1=0，y+2=0，解得x=1，y=-2，∴x+y=1-2=-1，故答案为：-1．【点睛】此题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性及偶次方的非负性，已知字母的值求代数式的值，正确掌握完全平方公式是解题的关键．【变式2-3】若x，y为实数，且∣x－2∣＋＝0，则的值为___________．【答案】1【分析】根据绝对值以及算术平方根的非负性，可以求出x和y的值，再求出x+y的值，即可求出答案．【详解】解：∵∣x－2∣＋＝0，∴x-2=0，y+3=0，∴x=2，y=-3，∴，∴故答案为：1．【点睛】本题主要考查了绝对值以及根式，熟悉其性质是解决本题的关键．【变式2-4】已知：|a+2|+=0，(1)求a，b的值；(2)先化简，再求值：【答案】(1)(2)；【分析】（1）根据非负数的性质求得a+2=0且，即可求解；（2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算，然后将（1）中的的值代入即可求解．（1）根据非负数得：a+2=0且，解得：；（2）原式=，，当时，原式．【点睛】本题考查了非负数的性质，整式乘法运算化简求值，正确的计算是解题的关键．【考点三平方根的应用】【例题3】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（）A． B． C．1+ D．+2【答案】C【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以AB=，而AB=AE，得AE=，A点的坐标为1，故E点的坐标为+1．【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，∴AB=，∵AB=AE，∴AE=，∵A点表示的数为1，∴E点表示的数为+1，故选：C．【点睛】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=．【变式3-1】已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536【答案】A【分析】根据平方根小数点的移动规律解答．【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8；故选：A．【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位．【变式3-2】一个正数的平方根分别是和2x+5，则这个正数是______【答案】【分析】根据题意，结合平方根的性质列出方程，求解方程即可得到结论．【详解】解：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，由一个正数的平方根分别是和2x+5，可知，即，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查平方根的性质，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式3-3】如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的边长是___________．【答案】【分析】求出正方形的面积即可求出正方形的边长．【详解】解：由题意得：，设正方形ABCD的边长为x，∴，∴，又∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确求出正方形的面积是解题的关键．【变式3-4】如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形．(1)求大正方形的边长：(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？【答案】(1)大正方形的边长为8cm(2)沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48【分析】（1）根据已知正方形的面积关系即可求出大正方形的边长；（2）先求出长方形的边长，再判断即可．（1）解：大正方形的边长为acm，则，∵，∴．答：大正方形的边长为8cm．（2）解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，则，解得，∵，∴，，，∵大正方形的边长为8cm，符合．所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48．【点睛】本题考查了平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．【考点四求一个数的平方根】【例题4】如表是李小聪的数学测试答卷，他的得分应是（

）姓名：李小聪得分：？填空（每小题20分，共120分）①﹣0.5的绝对值是（）．②2的倒数是（﹣2）．③﹣0．8的相反数是（0.8）．④﹣1的立方根是（﹣1）．⑤算术平方根是它本身的数是（1）．⑥的算术平方根是（8）．A．120分 B．100分 C．80分 D．60分【答案】D【分析】根据绝对值，倒数，相反数，立方根，算术平方根的概念判断即可．【详解】解：①﹣0.5的绝对值是（），正确；②2的倒数是（﹣2），错误；③﹣0．8的相反数是（0.8），正确；④﹣1的立方根是（﹣1），正确；⑤算术平方根是它本身的数是（1），错误；⑥的算术平方根是（8），错误；李小聪的试卷答对了3题，共得分60分．故选：D．【点睛】本题考查的是绝对值，倒数，相反数，立方根，算术平方根，掌握其各自定义是解题的关键．【变式4-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图中的流程依次进行计算和判断，得到最后的输出，从而得到答案．【详解】当输入得∵8是有理数∴计算8的立方根得∵2是有理数∴再次计算2的算数平方根得∵是无理数所以输出故选：A．【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、有理数、无理数的相关知识．【变式4-2】如图，数轴上点A表示的数为x，则的立方根是______．【答案】【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，即知表示O的点和A之间的线段的长，进而可推出点A所表示的数，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴点A表示的数为：∴∴的立方根是故答案为：-2．【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数，解答本题的关键就是求出圆弧的长度，求出点A在数轴上所表示的数．【变式4-3】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由，，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是______．【答案】28【分析】首先由，，确定是两位数，再由21952个位上的数是2，确定个位上的数是8，然后划去21952后面的三位952得到21，而，，由此确定十位上的数是2，即可得出结果．【详解】解：∵∴∴是两位数又∵只有个位上是8的数的立方的个位上的数是2∴的个位上的数是8∵划去21952后面的三位952得到21，而，∴十位上的数是2∴的值为28故答案为：28【点睛】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．【变式4-4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．(1)将a，b，c，0由大到小排列（用“”连接）__________________；(2)______0；______0（填写“”，“”，“”）(3)试化简：【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）数轴上，越往左数字越小，越往右数字越大，据此即可作答；（2）根据（1）中的结果，结合不等式的性质即可作答；（3）根据（2）中的结果去绝对值和根号，即可得解．（1）根据数轴上各数的位置，有：，故答案为：；（2）在（1）中有，∴，，∴，，∴，故答案为：＞，＜；（3）∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了利用数轴比较实数的大小，不等式的性质，求一个数的立方根以及二次根式的性质等知识，根据数据得到，再根据不等式的性质得到，，是解答本题的关键．不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若，那么；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若，且，那么或；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若，且，那么或．【考点五立方根的应用】【例题5】有一个数值转换器，流程如下：当输入的x值为64时，输出的y值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】依据运算程序进行计算即可．【详解】解：=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．故选：B．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式5-1】已知，则a的值为()A． B．0或±1 C．0 D．0，±1或【答案】D【分析】根据已知推导出一个数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有0，﹣1，1三个，求解即可.【详解】∵，即一个数的立方根是它本身，∴这样的数有0，﹣1，1三个，∴，，，∴或；故答案为：D【点睛】本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个条件是解题的关键.【变式5-2】如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．把正方形放到数轴上，如图2，使点与-2重合，那么点在数轴上表示的数为___________．【答案】【分析】设每个小立方体的棱长为a，由题意易得，则有，根据图形可得正方形的面积为8，然后根据正方形的面积公式可得，进而问题可求解．【详解】解：设每个小立方体的棱长为a，由题意得：，∴，设正方形的边长AD=x，由图形可得正方形的面积为，∴，∵点与-2重合，∴点在数轴上表示的数为；故答案为．【点睛】本题主要考查立方根和算术平方根的应用，熟练掌握求一个数的立方根和算术平方根是解题的关键．【变式5-3】我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，∴的十位数字是3；∴＝39；【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．【答案】-13【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．【详解】∵＋59049＝0，∴，∵＜19683＜，∴是两位整数；∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，∴的末位数字是7；又∵划去19683的后面三位683得到19，而2＜＜3，∴的十位数字是2；∴＝27；∴，解得x=-13，故答案为：-13．【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．【变式5-4】你知道怎样迅速准确地计算出195112的立方根是多少吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，推出是______位数；（2）由195112的个位数是2，推出的个位数是______；（3）如果划去195112后面的三位112，得到195，而，，推出的十位数是______，所以，______．【答案】（1）2；（2）8；（3）5；58【分析】分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第（2）和第（3）步求出个位数和十位数即可．【详解】解：（1）∵，，又∵，∴是一个两位数；故答案为：2；（2）根据题意，∵，则个位上的数字是8，∴的个位数是8；故答案为：8；（3）由题意，∵，∴的十位数是5，∵的个位数是8；∴；故答案为：5；58．【点睛】本题主要考查了数的立方，解题的关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，有一定难度．【考点六实数的大小比较】【例题6】已知，，，…，均为负数，则，，则M与N的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】令=x，则，，将M-N，进行判断即可得出结论．【详解】解：令=x，则，，∴M-N=-（）=，∵，，，…，均为负数，∴，即M>N．故选：B．【点睛】本题考查实数的大小比较，利用作差法进行判断，并找公共部分进行换元是解决问题的关键．【变式6-1】如图1和2，两个圆的半径相等，O1、O2分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，那么S1与S2之间的大小关系是（

）A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．不能确定【答案】A【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中正方形的边长是2r，由图2中正方形的面积是4个直角三角形面积的和可得正方形的边长为r；再根据正方形和圆的面积公式计算S1、S2的值，计算S1﹣S2的值即可判断；【详解】解：设两个圆的半径都是r，则图1中正方形的边长是2r，∵图2中正方形的面积是4个直角三角形面积的和：4×r×r=2r2，∴图2中正方形的边长是r，则S1＝2r×2r﹣πr2＝4r2﹣πr2，S2＝πr2﹣r×r＝πr2﹣2r2，S1﹣S2＝（4r2﹣πr2）﹣（πr2﹣2r2）＝6r2﹣2πr2＝（6﹣2π）r2，∵6﹣2π＜0，∴S1﹣S2＜0，∴S1＜S2，故选：A．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确正方形和圆的面积的求法．【变式6-2】比较大小：___．（填“”或“”）【答案】【详解】首先估算得出，则，得出，，由此比较得出答案即可．【解答】解：，，则，，．故答案为：．【点睛】本题考查实数的大小比较和无理数的估算，利用夹逼法得到的取值范围是解题的关键．【变式6-3】已知表示取三个数中最小的数．例如：当时，，当时，则______．【答案】【分析】比较、、的大小，最小的等于，在求出的值即可．【详解】解：由题意可知的取值范围是，①当0<x<1时，，此时，符合题意；②当x≥1时，，此时，x=不符合题意舍去．∴x=，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用．【变式6-4】阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：(1)比较大小：___________＋；（填“＜”，“=”或“>"）(2)已知，且，若，，试比较A和B的大小.【答案】(1)＞(2)【分析】（1）两数作差，利用题中给的规律进行判断即可；（2）根据题设得到，再将两式子作差求解即可作出判断．（1）解：∵，∴，∴＞＋，故答案为：＞；（2）解：由题意可知：，，，，，，，.【点睛】本题考查了不等式的性质，整式的加减和实数的大小比较，本题主要是理解不等式的性质，其中（1）中判断出是关键；（2）中判断出是关键．【考点七新定义下的实数运算】【例题7】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如(﹣2)⊕3=3，(﹣2)⊗3=﹣2，[(﹣2)⊕3]⊗2=2，那么(⊕2)⊗的值为（）A．2 B． C．3 D．3【答案】B【分析】根据定义新运算方法，直接代入数据计算即可．【详解】解：∵，∴⊕2=，∵=3＞，∴(⊕2)⊗=．故答案为B．【点睛】本题考查了实数大小比较以及代数式求值，其中掌握实数的大小比较是解答本题的关键．【变式7-1】规定不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，，．下列说法：①；②；③（a为正整数）；④若n为正整数，且，则n的最小值为6，其中正确说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据取整函数的定义即可求解．【详解】解：①，故①正确；②，故②正确；③若时，，，故（a为正整数）不一定成立，故③错误；④若n为正整数，且，则必须45n是哪个开得尽方的正整数，∵，∴n的最小整数为5，故④错误；综上分析可知，正确的个数为2，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了取整函数的定义，能够正确估算无理数的大小是解题的关键，难度不大．【变式7-2】对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，则______．【答案】3【分析】估计出，再结合题意，表示不超过的最大整数，因此即可得出的答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了实数的估算，以及新定义运算，熟练找准无理数的整数部分是本题的关键．【变式7-3】如果无理数的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中、为连续正整数），我们则称无理数的“雅区间”为．例：，所以的“雅区间”为．若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中，是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，则______．【答案】33或127##127或33【分析】根据“雅区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．【详解】解：“雅区间”为，、为连续正整数，，其中，是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，符合条件的，有，，；，，．，，时，，，，，，，时，，，，，故的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．【变式7-4】阅读下列材料，并回答问题：人们把形如与（a，b为有理数且b不等于0，m为正整数且开方开不尽）的两个数称为共轭实数(1)请你举出一对共轭实数(2)与是共轭实数吗？与是共轭实数吗？(3)共轭实数与是有理数还是无理数？(4)你发现共轭实数与的和，差是有理数还是无理数？【答案】(1)与（答案不唯一）(2)与不是共轭实数；与是共轭实数(3)共轭实数与都是无理数(4)和是一个有理数2a，差是一个无理数【分析】（1）根据题意写出一对共轭实数即可；（2）利用新定义判断即可；（3）根据新定义得共轭实数是无理数；（4）求出共轭实数之和与之差，找出规律即可．（1）解：按照定义，可以举出一对共轭实数：与（答案不唯一，合理即可）；（2）解：由定义可知，与的根号部分不相同，∴与不是共轭实数；∵与可以写成和，符合共轭实数的定义，∴与是共轭实数；（3）解：∵m为正整数且开方开不尽，∴是无理数，∵a，b为有理数且b不等于0，∴共轭实数与是无理数；（4）解：∵+，－()=∴共轭实数与的和是一个有理数2a，差是一个无理数．【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．【考点八与实数运算相关的规律题】【例题8】有一列数，，，，…，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则的值为（

）A．2 B． C． D．2021【答案】C【分析】分别求出，，，，的值，观察这些数不难发现每三个数一循环，进而可得答案．【详解】解：由题意可得，，，，，，…由此可得，这列数每3个一循环，2021÷3=673…2故，故选C．【点睛】本题考查规律探索，按照题意写出相应数的值，找到规律是解题的关键．【变式8-1】若，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算，，，，的算术平方根，并进行化简即可．【详解】解：，，，，．故选C【点睛】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出，，，，的算术平方根是解本题的关键．【变式8-2】观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．【答案】【分析】直接根据已知数据变化规律，进而将原式变形为，进行计算即可解答．【详解】由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的运算，规律性：数字的变化类，正确将原式变形是解题的关键．【变式8-3】将1、、、按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是_____．【答案】【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】解：由图中数的排列规律知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第（m﹣1）排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，且每四个数一个轮回，（5，4）表示第5排从左向右第4个数是，∵前11排共有11×（11+1）＝66（个）．∴（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，∴69÷4＝17……1，∴（12，3）表示的数是1，∴两数之和是1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，对于找规律的题目找准变化规律是关键．【变式8-4】已知，(1)观察上式得出规律，则，．(2)若的值．(3)由（2）中、的值，求的值．【答案】(1)，；(2)a=1，b=2；(3)．【分析】（1）根据已知条件的规律即可得解；（2）根据算数平方根的非负性即可得解；（3）将（2）中求得的a、b的值代入代数式，然后利用（1）中的裂项公式即可得解．（1）解：，，故答案为：，；（2）∵，∴，，∴a=1，ab=2，∴b=2；（3）解：当a=1，b=2时，，，，，．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性、探索数字规律及有理数的混合运算，根据数据特征，找出规律是解题的关键．【亮点训练】1．的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先对题目中的无理数进行估算，再根据近似值的大小即可比较．【详解】解：，，，而，故选：B．【点睛】本题考查的是同学们对无理数大小的估算能力及比较实数大小的方法，比较简单．2．下列运算中，①，②，③，④．错误的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据算术平方根的定义逐项分析即可．【详解】解：①，故不正确；②，正确；③无意义，不能计算，故不正确；④，故不正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．3．下列说法：（1）任何一个数都有两个平方根，它们互为相反数；（2）数a的平方根是±；（3）的算术平方根是2；（4）负数不能开平方；（5），其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，且两个平方根互为相反数，再逐一判断即可．【详解】解：负数没有平方根，故（1）不符合题意；（2）不符合题意；（3）不符合题意；（4）符合题意；故（5）不符合题意；故选A．【点睛】本题考查的是平方根的含义，掌握“一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根”是解本题的关键．4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出的y的值为（

）．A．4 B． C．2 D．1【答案】B【分析】根据数值转换器的运算法则解答即可．【详解】解：当输入是时，取算术平方根是4，4是有理数，再次输入，4的算术平方根是2，2是有理数，再次输入，2的算术平方根是，是无理数，所以输出是，故选B．【点睛】本题考查了算术平方根的有关计算，属于常考题型，弄懂数值转换器的运算法则、熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．5．如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理，依次求出OP的长，找出规律即可．【详解】OP1=，OP2=，，∵,∴,…，，当n=2019时OP2019=．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，探究线段长度的规律．6．若，则____________．【答案】【分析】根据平方与绝对值的非负性，列式得到的值，代入后根据算术平方根定义求解即可得到结论．【详解】解：，当时，得到，解得，．【点睛】本题考查代数式求值，涉及到平方与绝对值的非负性和算术平方根的定义，熟记相关定义是解决问题的关键．7．已知．（1）x的值为_____；（2）x的算术平方根为_____．【答案】

【分析】（1）利用立方根的定义求得x的值；（2）利用算术平方根的定义解答即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴x＝3，故答案为：3；（2）由（1）知x＝3，3的算术平方根为，故答案为：．【点睛】本题考查立方根和算术平方根的定义及计算，正确利用上述定义与性质解答是解题的关键．8．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有x，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知π，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为_____．【答案】【分析】先利用一次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，再利用一次“调日法”即可求解．【详解】解：∵，∴利用“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，∵，∴，∴再利用“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，故答案为：．【点睛】本题考查简单的推理与证明，读懂题意，掌握“调日法”的计算方法是解题的关键．9．若符号[a，b]表示a，b两数中较大的一个数，符号（a，b）表示a，b两数中较小的一个数，则计算的结果是______．【答案】【分析】根据定义直接计算即可得到结论．【详解】解：[a，b]表示a，b两数中较大的一个数，，符号（a，b）表示a，b两数中较小的一个数，，，故答案为：．【点睛】本题考查新定义背景的计算问题，读懂题意，根据定义要求计算是解决问题的关键．10．高斯是德国著名数学家，被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：函数y=[x]，也称为取整函数，即[x]表示不大于x的最大整数，如[-2.5]=-3，[3.14]=3，根据这