沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第01讲相似形与比例线段(考点讲与练)(原卷版+解析)

第01讲相似形与比例线段（核心考点讲与练）【基础知识】一、相似形的概念及性质1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．二、比例的性质1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；如果（或），那么就说、、、成比例．2、比例的性质（1）基本性质：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性质：如果，那么；如果，那么．（3）等比性质：如果，那么．三、比例线段1、比例线段的概念对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．2、黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．四、三角形一边的平行线性质定理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．五、三角形一边的平行线性质定理推论1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点、分别在的边、上，，那么．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．六、三角形一边的平行线判定定理及推论1、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//．七、平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【考点剖析】【考点1】相似形例题1（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（）A.邻边之比相等两个平行四边形一定相似 B.邻边之比相等的两个矩形一定相似C.对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D.对角线之比相等的两个矩形一定相似【考点2】比例线段例题2(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c=4：9，那么下列结论中正确的是（）A.a：b=4：9;B.b：c=2：3;C.a：b=3：2;D.b：c=3：2例题3（崇明2020一模7）已知，那么___________．例题4（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．例题5(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为km．【考点3】三角形一边的平行线例题6（静安2020一模3）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.例题7（浦东南片2019期中5）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE//BC的是（）（A）； （B）； （C）； （D）．例题8(2023杨浦10月考12）如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝_____cm．【考点4】重心例题9.如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于 点，求的长．【考点5】A型、X型综合例10.如图，点在线段上，和都是等边三角形．求证：（1）；（2）．例题11.如图，，，，求的值．例题12.如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上，且，已知，．求的长．【过关检测】1.（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（）A.邻边之比相等两个平行四边形一定相似 B.邻边之比相等的两个矩形一定相似C.对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D.对角线之比相等的两个矩形一定相似2.（崇明2020一模1）下列各组图形一定相似的是（）A.两个菱形； B.两个矩形； C.两个直角梯形； D.两个正方形．3.（普陀2019期中2）下列命题中，正确的是（）A.所有的矩形都相似； B.所有的等腰梯形都相似；C.所有的等边三角形都相似； D.含有角的所有等腰三角形都相似4.(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c=4：9，那么下列结论中正确的是（）A.a：b=4：9;B.b：c=2：3;C.a：b=3：2;D.b：c=3：25.(2023华二紫双10月考1）已知：在一张比例尺为1：2000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（）A.50m B.100m C.500m D.1000m6.（青浦2020一模5）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.； B.； C.； D.．7.（奉贤2019期中1）已知，下列说法中，错误的是（）A. B. C. D.8.（闵行2020期末2）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是()A. B. C. D.9.（奉贤2019期中5）已知线段a,b,c求线段x,使ac=bx,下列作法正确的是（）A.B.C.D.10.(2023新竹园9月考3）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是A. B. C. D.11.（崇明2020一模7）已知，那么___________．12.（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．13.(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为km．14．（浦东新区2020一模7）已知x＝3y，那么＝．15.（奉贤2019期中7）已知线段a=4cm,b=9cm,且线段a是线段b和线段c的比例中项，则线段c是_________．16.(2023进才北10月考8）线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=____________cm17.(2023华二紫双10月考13）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且，那么报幕员应走________米报幕；18.（嘉定区2019期中8）已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝cm．19.（川中南2019期中13）如图，中，已知，F是CD的中点，则________20.（奉贤2019期中11）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.21.（浦东四署2019期中18）如图，在中，，点在边上，线段绕点逆时针旋转，端点恰巧落在边上的点处.如果，.那么用含的代数式表示是：_________.22.（普陀2019期中18）如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在边上，已知，，则的长为_______.23.(2023华二紫双10月考19）已知，，求：代数式的值.24.（长宁天山2019期中20）如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.（1）求的长；（2）当时，求的长.25.（浦东南片2019期中21）如图，已知∥∥，它们依次交直线、于点、、和点、、，，；（1）求、的长；（2）如果，，求的长；26.(2023进才北10月考21）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．求证：．27.(2023育才10月考23）已知：如图所示，中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．第01讲相似形与比例线段（核心考点讲与练）【基础知识】一、相似形的概念及性质1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．二、比例的性质1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；如果（或），那么就说、、、成比例．2、比例的性质（1）基本性质：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性质：如果，那么；如果，那么．（3）等比性质：如果，那么．三、比例线段1、比例线段的概念对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．2、黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．四、三角形一边的平行线性质定理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．五、三角形一边的平行线性质定理推论1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点、分别在的边、上，，那么．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．六、三角形一边的平行线判定定理及推论1、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//．七、平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【考点剖析】【考点1】相似形例题1（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（）A.邻边之比相等两个平行四边形一定相似 B.邻边之比相等的两个矩形一定相似C.对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D.对角线之比相等的两个矩形一定相似答案:B解析：解：∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误.故选B.【考点2】比例线段例题2(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c=4：9，那么下列结论中正确的是（）A.a：b=4：9;B.b：c=2：3;C.a：b=3：2;D.b：c=3：2答案:B解析：解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵线段b是线段a，c的比例中项，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故选：B．例题3（崇明2020一模7）已知，那么___________．答案:解析：解:∵，∴x＝,∴．故答案为：．例题4（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．答案:；解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案为．例题5(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为km．答案:96；解析：解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km.【考点3】三角形一边的平行线例题6（静安2020一模3）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.答案:B；解析：解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；则，故B正确；则，故C错误；则，故D错误.故选B.例题7（浦东南片2019期中5）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE//BC的是（）（A）； （B）； （C）； （D）．答案:C；解析：解：根据三角形一边平行线的判定定理可知：当时，可得DE//BC，又AD=2，BD=4，所以，所以，故答案选C.例题8(2023杨浦10月考12）如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝_____cm．答案:5；解析：解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，∴＝，解得：CH＝5（cm），故答案为：5．【考点4】重心例题9.如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于 点，求的长．【难度】★★答案:2．解析：连结并延长交于点，根据重心的定义， 可知为中点，则， 根据重心的性质，又，可得：，求得．【总结】考查三角形重心的性质．【考点5】A型、X型综合例10.如图，点在线段上，和都是等边三角形．求证：（1）；（2）．【难度】★★解析：证明：（1）和是等边三角形，．∵点在线段上，．，．（2）同（1）易证得，则有．和是等边三角形，，，．【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例题11.如图，，，，求的值．【难度】★★答案:．解析：由，得：，又， 可得，故．【总结】考查相似三角形中“双”字型的综合应用，得到比例关系．例题12.如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上，且，已知，．求的长．【难度】★★答案:2．解析：由，可得：，故，由，，求得．【总结】相似三角形中“”字型和“”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【过关检测】1.（奉贤2020一模4）下列命题中，真命题是（）A.邻边之比相等两个平行四边形一定相似 B.邻边之比相等的两个矩形一定相似C.对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D.对角线之比相等的两个矩形一定相似答案:B解析：解：∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误.故选B.2.（崇明2020一模1）下列各组图形一定相似的是（）A.两个菱形； B.两个矩形； C.两个直角梯形； D.两个正方形．答案:D；解析：解：A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D．3.（普陀2019期中2）下列命题中，正确的是（）A.所有的矩形都相似； B.所有的等腰梯形都相似；C.所有的等边三角形都相似； D.含有角的所有等腰三角形都相似答案:C；解析：解：A.∵矩形的边不一定成比例，∴矩形不一定相似，故不正确；B.∵等腰梯形的边不一定成比例，∴等腰梯形不一定相似，故不正确；；C.所有的等边三角形都相似，正确；D.∵含有角的等腰三角形的边不一定成比例，∴含有角的等腰三角形不一定相似，故不正确；故选C.4.(2023华二紫双10月考5）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c=4：9，那么下列结论中正确的是（）A.a：b=4：9;B.b：c=2：3;C.a：b=3：2;D.b：c=3：2答案:B解析：解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵线段b是线段a，c的比例中项，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故选：B．5.(2023华二紫双10月考1）已知：在一张比例尺为1：2000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（）A.50m B.100m C.500m D.1000m答案:B；解析：解：设A，B两地的实际距离为xcm,由题意得：，解：x=10000，又10000cm=100m所以A，B两地的实际距离是100m，故选B.6.（青浦2020一模5）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.； B.； C.； D.．答案:A；解析：解：∵GE∥BD，∴，∵GF∥AC，∴，∴，A选项正确；∵GE∥BD，∴，∵GF∥AC，∴，∴，B选项错误；∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴，∴，C选项错误；∵GE∥BD，∴，D选项错误；故选：A.7.（奉贤2019期中1）已知，下列说法中，错误的是（）A. B. C. D.答案:C；解析：解：A、根据合比性质，由，得，故A正确；B、根据合比性质，由，得，故B正确；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故C错误；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故该选项正确.故选C．8.（闵行2020期末2）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是()A. B. C. D.答案:A；解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，即，故A正确，B、C错误；，故D错误；故答案选A.9.（奉贤2019期中5）已知线段a,b,c求线段x,使ac=bx,下列作法正确的是（）A.B.C.D.答案:C；解析：解：由A得，即bc=ax；由B得，，即bc=ax；由C得，，即ac=bx；

由D得，，即ab=cx．故选：C．10.(2023新竹园9月考3）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是A. B. C. D.答案:C；解析：解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴，故选C．11.（崇明2020一模7）已知，那么___________．答案:解析：解:∵，∴x＝,∴．故答案为：．12.（奉贤2019期中8）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．答案:；解析：解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案为．13.(2023进才北10月考7）在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为km．答案:96；解析：解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km.14．（浦东新区2020一模7）已知x＝3y，那么＝．答案:；解析：解：∵x＝3y，∴＝．故答案为：．15.（奉贤2019期中7）已知线段a=4cm,b=9cm,且线段a是线段b和线段c的比例中项，则线段c是_________．答案:；解析：解：∵c是线段a，b的比例中项，∴a2=bc，∵a=4cm，b=9cm，∴42=9c，∴c=cm．16.(2023进才北10月考8）线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=____________cm答案:6；解析：解：由题意得，a2=bc，∵b=4cm，c=9cm，∴a2=36，∴a=6，a=-6（舍去）；故答案为：6．17.(2023华二紫双10月考13）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且，那么报幕员应走________米报幕；答案:；解析：解：根据黄金分割的定义可知且AB=10，∴PB=5(-1)，又∵，∴AP=AB-AP=10-5(-1)=15-5.18.（嘉定区2019期中8）已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝cm．答案:；解析：解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP•AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，∴BP＝2×＝（）cm.19.（川中南2019期中13）如图，中，已知，F是CD的中点，则________答案:；解析：解：延长BF交AD延长线于H，因为F是CD中点，易知BC=DH=AD，因为所以BE：BC=1：4，BE：AH=1：8，因为BC//AD，故GE：AG=BE：AH=1：8.20.（奉贤2019期中11）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.答案:12；解析：解：本题主要考查的是三角形的重心．延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG=4，∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，∴DG=2，∴AD=AG+DG=6，∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，∴B