沪教版九年级数学考试满分全攻略第06讲二次函数解析式的确定(5种解题方法)(原卷版+解析)

第06讲二次函数解析式的确定（5种解题方法）考点考向考点考向1.一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；2.顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.3.交点式已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．4.平移变换型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．5.对称变换型根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点精讲考点精讲解法一：一般式1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．解法二：顶点式1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．解法三：交点式1.抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣42.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；4.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．解法四：平移变换型1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．4.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，求平移后的解析式．解法五：对称变换型1.已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．2.已知二次函数y=12x2﹣3（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达式．（3）若把它绕x轴翻折，求所得图象的表达式．3.已知抛物线C1：y=59(x+2)2−5的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P4.将抛物线C1：y=18（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·上海杨浦·九年级三模）将抛物线向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（）A． B． C． D．2．（2021·上海九年级专题练习）将二次函数的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）A． B． C． D．3．（2021·上海）抛物线先向右平移4个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为（）A． B． C． D．4．（2021·上海静安·九年级一模）将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位5．（2021·上海）如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+36．（2010·上海浦东新·七年级竞赛）如表所示，则x与y的关系式为（）x12345y37132131A．y=4x-1 B．y=x2+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上结论7．（2021·上海九年级专题练习）如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是()A． B． C． D．二、填空题8．（2011·上海浦东新区·中考模拟）请写出一个图像的对称轴为y轴，且经过点(2，－4)的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是____________9．（2021·上海九年级专题练习）用“描点法”画二次函数的图像时，列出了如下的表格：…01234……010…那么当时，该二次函数的值为___________．10．（2020·崇明县大同中学九年级月考）已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为_______．11．（2020·上海市静安区实验中学）若函数过点(1，-4)，则m=_______．12．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线的顶点为，且与轴交于点，则抛物线的解析式为______.13．（2021·上海九年级专题练习）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）14．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为______．15．（2021·上海青浦·九年级二模）如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是__________．16．（2021·上海崇明·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．三、解答题17．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．18．（2021·上海宝山区·九年级三模）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．19．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．20．（2017·上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．21．（2021·上海普陀区·）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．22．（2021·上海青浦·九年级二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长．23．（2021·上海中考真题）已知抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．第06讲二次函数解析式的确定（5种解题方法）考点考向考点考向1.一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；2.顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x=h，最值为当x=h时，y最值=k来求出相应的系数.3.交点式已知图像与x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．4.平移变换型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．5.对称变换型根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点精讲考点精讲解法一：一般式1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．【解题思路】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式．【解答过程】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得c=0a解得a=4b=5∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x．2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得a−解得a=2b=则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5；由y＝2x2﹣3x+5＝2（x−34）2+318可知，抛物线对称轴为直线x=33.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得．【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0）∴AO＝1，OB＝4，AB＝AO+OB＝1+4＝5，∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5），设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵二次函数图象过A，C，B三点，∴a−解得a=−∴二次函数的表达式为y=−54x24.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．【解题思路】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解答过程】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∴点C的坐标为（5，4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A、C、D，∴4a−解得a=−故抛物线的解析式为y=−27x2解法二：顶点式1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答过程】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，解得a=−所以这个函数的关系式为y=−19（x2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a＝﹣2．所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．解法三：交点式1.抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4【解题思路】由抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），再将（2，8）代入求得a的值即可．【解答过程】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得8＝a（2﹣1）（2+2），解得a＝2，∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），化简得，y＝2x2+2x﹣4．故选：D．2.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．【解题思路】设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把（0，﹣6）代入求出a即可．【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝2，所以此函数的解析式为y＝2（x﹣3）（x+1），即y＝2x2﹣4x﹣6．3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；【解题思路】由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；【解答过程】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．∴B（2，0），C（0，2），设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；4.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式．【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC＝5，∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a=3所以此时抛物线的解析式为y=34（x﹣1）（x﹣4）=34x当C点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a=−所以此时抛物线的解析式为y=−34（x﹣1）（x﹣4）=−3所以该二次函数的解析式为y=34x2−154x+3或y=−解法四：平移变换型1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．【解题思路】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答过程】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【解题思路】（1）根据平移规律和待定系数法确定函数关系式；（2）将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标是15．【解答过程】解：（1）∵平移后，设新抛物线的表达式为y＝2（x﹣m）2﹣3，∴新抛物线经过点（1，5），∴将x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，∴（1﹣m）2＝4，∴1﹣m＝±2，∴m1＝﹣1，m2＝3．∵m＞0，∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．∴新抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣3．（2）∵与y轴的交点坐标，∴设交点为（0，y），∴将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，∴与y轴的交点坐标为（0，15）．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．【解题思路】先确定出抛物线经过点（1，0），再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出原抛物线的顶点坐标，然后设出抛物线顶点式形式，再把点的坐标代入求出a的值，即可得解．【解答过程】解：∵a+b+c＝0，∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∵向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），∴原抛物线的顶点坐标为（3，1），设抛物线顶点式形式y＝a（x﹣3）2+1，则a（1﹣3）2+1＝0，解得a=−所以，原抛物线的解析式为y=−14（x4.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，求平移后的解析式．【解题思路】先确定A点坐标为（1，0），M点坐标为（﹣2，﹣3），顶点P的坐标为（﹣1，﹣4），作MH⊥x轴于H，可得到△AMH为等腰直角三角形，则△AOD为等腰直角三角形，于是有D点坐标为（0，﹣1），AD=2，所以点A沿射线AD方向平移2个单位后与点D重合，即点A平移到点D，这样抛物线沿射线AD方向平移2个单位相当于先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，然后求出点P【解答过程】解：令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A点坐标为（1，0），把x＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3得y＝4﹣4﹣3＝﹣3，则M点坐标为（﹣2，﹣3），y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则P点坐标为（﹣1，﹣4），作MH⊥x轴于H，∵AH＝1﹣（﹣2）＝3，MH＝3，∴△AMH为等腰直角三角形，∴∠OAD＝45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∴OA＝OD＝1，∴D点坐标为（0，﹣1），AD=2∴点A沿射线AD方向平移2个单位后与点D重合，即点A平移到点D，∴抛物线沿射线AD方向平移2个单位相当于先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，∵点P（﹣1，﹣4）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的点的坐标为（﹣2，﹣5），∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣5＝y＝x2+4x﹣1．解法五：对称变换型1.已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．【解题思路】（1）直接根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出答案；（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于原点对称的特点得出答案．【解答过程】解：（1）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，得﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，即y＝2x2+8x+7所以二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．2.已知二次函数y=12x2﹣3（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达式．（3）若把它绕x轴翻折，求所得图象的表达式．【解题思路】（1）先利用配方法将二次函数整理为用顶点式表示的形式，再根据平移的规律即可得出新抛物线的解析式；（2）根据图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，即可得出图象的函数解析式；（3）根据图象绕x轴翻折后，其顶点与原顶点关于x轴对称，得出所求抛物线的顶点坐标，再由图象翻折后开口向下，得出二次项系数a的值，即可求出所求的解析式．【解答过程】解：（1）∵y=12x2﹣3x+1=12（x2﹣6x）+1=12∴把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位得到的函数的解析式为：y=12（x﹣3﹣1）2−72−3，即y=12（x﹣4）2（2）因为图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，所以所得图象的函数解析式为y=−12（x﹣3）2−72（3）∵y=12x2﹣3x+1=12（x﹣3）2∴顶点为（3，72∵图象翻折后开口向下，∴所求解析式为y=−12（x﹣3）2+723.已知抛物线C1：y=59(x+2)2−5的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P【解题思路】先求出点P的坐标，再令y＝0，解方程求出点B的坐标，然后根据中心对称求出点M的坐标，然后根据对称性利用顶点式形式写出C3的解析式即可．【解答过程】解：点P的坐标为（﹣2，﹣5），令y＝0，则59（x+2）2解得x1＝1，x2＝﹣5，所以，点B的坐标为（1，0），∵点P、M关于点B对称，∴点M的坐标为（4，5），∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得到C3，∴抛物线C3的解析式为y=−59（x4.将抛物线C1：y=18（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C【解题思路】先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解．【解答过程】解：∵y=18（x+1）∴绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2的顶点坐标为（2t+1，6），∴抛物线C2的解析式为y=−18（x﹣2t∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上，∴−18（﹣1﹣2t﹣1）解得t1＝3，t2＝﹣5，∴抛物线C2的解析式为y=−18（x﹣7）2+6或y=−1巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·上海杨浦·九年级三模）将抛物线向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平移的规律：左加右减，求出得到的抛物线的解析式即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2，故选：D．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．2．（2021·上海九年级专题练习）将二次函数的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到抛物线的顶点坐标为(0，0)，再利用点平移的规律得到点(0，0)平移后对应点的坐标为(﹣1，0)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：抛物线的顶点坐标为(0，0)，把(0，0)向左平移1个单位所得对应点的坐标为(﹣1，0)，所以平移后的抛物线解析式为．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．3．（2021·上海）抛物线先向右平移4个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案．【详解】解：把向右平移4个单位，可得：即再把向上平移4个单位，可得：即故选B．【点睛】本题考查的是二次函数的图像的平移，掌握二次函数的图像的平移规律是解题的关键．4．（2021·上海静安·九年级一模）将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．【详解】抛物线要通过平移得到，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即．故选：A．【点睛】本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移方法．5．（2021·上海）如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3【答案】B【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），再根据点平移的规律得到点（0，2）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），点（0，2）向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为（﹣1，2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x+1）2+2，故选：B．【点睛】本题考查了二函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．（2010·上海浦东新·七年级竞赛）如表所示，则x与y的关系式为（）x12345y37132131A．y=4x-1 B．y=x2+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上结论【答案】B【分析】首先设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，代入表中x、y的值，求出a、b、c的值，最后验证所有点都满足关系式．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∵点（1，3）（2，7）（3，13）满足关系式，∴，解得：a=1，b=1，c=1，∴二次函数的解析式为y=x2+x+1，当x=4时，y=21，当x=5时，y=31，∴x与y的关系式为y=x2+x+1．故选B．本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式的知识点，本题比较简单，但容易忽略的是要把所有的点都要代入解析式中进行验证．7．（2021·上海九年级专题练习）如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是()A． B． C． D．【答案】D【分析】分析给出的三个点的特点，可知A,B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项，然后再利用函数的增减性可得出答案.【详解】∵A(-2，n)，B(2，n)∴点A与点B关于y轴对称∵、的图像都关于原点对称∴选项A、B错误∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大∴a＞0∴选择D：故选D【点睛】本题主要考查函数的增减性和对称性，掌握函数的图像和性质是解题的关键.二、填空题8．（2011·上海浦东新区·中考模拟）请写出一个图像的对称轴为y轴，且经过点(2，－4)的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是____________【答案】等（满足即可）【分析】根据对称轴为y轴可设二次函数解析式为：y=ax2+c，再把点（2，－4）代入解析式，可得a与c之间的关系，然后由a的取值可得c的取值，问题即得解决.【详解】解：∵对称轴为y轴，∴可设二次函数解析式为：y=ax2+c，将（2，－4）代入解析式，得4a+c=－4，不妨取a=－1，则－4+c=0，∴c=0，∴解析式为y=－x2（答案不唯一）．故答案为y=－x2等（满足4a+c=－4即可）．【点睛】本题考查了二次函数的性质和待定系数法求函数解析式，解答时要熟悉对称轴公式和二次函数成立的条件，要注意此题具有开放性，答案不唯一．9．（2021·上海九年级专题练习）用“描点法”画二次函数的图像时，列出了如下的表格：…01234……010…那么当时，该二次函数的值为___________．【答案】【分析】根据待定系数法将表格中任意三个点代入中，列出含a,b,c的方程组，求解a，b，c即可确定函数表达式.【详解】解：将点(0,-3),(1,0),(2,1)代入中得，，解得，，∴抛物线表达式为.∴当x=5时，y=-8.故答案为：-8.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，遵循待定系数法求解析式的步骤即可，即“一设”、“二代”、“三求解”、“四确定”.10．（2020·崇明县大同中学九年级月考）已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为_______．【答案】y＝x2+2x﹣5【分析】根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2﹣6，再把（2，3）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．【详解】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2﹣6，把（2，3）代入解析式得：3＝a（2+1）2﹣6，解得：a＝1，则抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣6，即y＝x2+2x﹣5．故答案为：y＝x2+2x﹣5．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．11．（2020·上海市静安区实验中学）若函数过点(1，-4)，则m=_______．【答案】-1【分析】直接把代入中求出即可．【详解】解：把代入得，解得，故答案是：-1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟悉相关性质是解题的关键．12．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线的顶点为，且与轴交于点，则抛物线的解析式为______.【答案】【分析】设出抛物线的顶点式解析式，再代入点（0，1），利用待定系数法求出函数解析式即可．【详解】解：设抛物线的顶点式为，把点（0，1）代入得，，，所以，故答案为．【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，设出不同的函数解析式，利用待定系数法求得函数表达式．13．（2021·上海九年级专题练习）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）【答案】向上．【分析】把原点代入函数解析式，先求解抛物线的解析式，再根据的值判断开口方向即可得到答案．【详解】解：抛物线经过原点，在抛物线上，抛物线为：由＞抛物线的开口向上．故答案为：向上．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，掌握以上知识是解题的关键．14．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为______．【答案】【分析】先求抛物线：向右平移（＞）个单位的函数解析式，再把代入平移后的解析式，求解即可得到答案．【详解】解：抛物线：向右平移（＞）个单位可得：：把代入或或经检验：不合题意，取故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．15．（2021·上海青浦·九年级二模）如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是__________．【答案】y＝﹣x2﹣2【分析】设平移后的抛物线解析式为，把点(0，-2)代入进行求值，即可得到b的值，即得出平移后的抛物线解析式．【详解】解：设平移后的抛物线解析式为，把点(0，-2)代入，得0-b=-2，解得b=2，则平移后的函数解析式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并会用规律求函数解析式是解答本题的关键．16．（2021·上海崇明·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．【答案】【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【详解】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c2+4，故答案为．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．三、解答题17．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，画出图形，过作轴交于由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC=∠OCD=45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC=∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC=∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（-2，0），B（1，0）和D（-3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：；∴∴D（-3，2）；（2）令则∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，，∴E（-2，3），过作轴交于设为则则为∴（3）如图，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（-2，0），B（1，0），C（-1，0），D（-3，2），∴OB=OC，DE=CE=3，AB=3，，∴∠ABC=∠OCD=45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图，当∠BAC=∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC=2，经检验：符合题意，∴P（0，1），②如图，当∠BAC=∠DPC时，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC=9，经检验：符合题意，∴P（0，8）．∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．【点睛】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．18．（2021·上海宝山区·九年级三模）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．【答案】（1）；（，3）；（2）；（3）（，）或（，）【分析】（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，进而求得CD，从而求得；（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．【详解】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴AB=2∴∴A（，0）．∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，∴．解得，．∴二次函数的解析式为．∴∴顶点C的坐标是（，3）．（2）∵DE是二次函数的图象的对称轴，∴DE∥AB，OE＝AE．∴．∵AB=2，OE＝OA=∴DE＝1．又∵C（，3），∴CE＝3．即得CD＝2．∴．（3）根据题意，可设P（，n）．∵，CE＝3，∴．∴．解得,．∴点P的坐标为（，）或（，）【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，对称轴，面积公式，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．19．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．【答案】（1）抛物线为，；（2）；（3）【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0，求得C点坐标；（2）过D作CA延长线的垂线，通过证明求出DE和EC的长度，再求出正切值；（3）设，通过可求出参数t，从而得出P点坐标．【详解】解：（1）将，代入抛物线，解得：，∴抛物线为，令x=0，得y=4，故．（2）过作交延长线于，因为，，∴，∵AD=4，DE=AE，由勾股定理得，DE=AE=2，∴，∴，，EC=6，∴．（3）设，连接DP、AP，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得∴．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．（2017·上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．【答案】（1）顶点D（m，1-m）；（2）向左平移了1个单位，向上平移了2个单位；（3）m=－1或m=－2．试题分析：把抛物线的方程配成顶点式，即可求得顶点坐标.把点代入求出抛物线方程，根据平移规律，即可求解.分两种情况进行讨论.试题解析：（1）∵，∴顶点D（m，1-m）．（2）∵抛物线过点（1，-2），∴．即，∴或（舍去），∴抛物线的顶点是（2，-1）．∵抛物线的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位．（3）∵顶点D在第二象限，∴．情况1，点A在轴的正半轴上，如图（1）．作于点G，∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（），∴．∴．整理得：．∴或（舍）．情况2，点A在轴的负半轴上，如图（2）．作于点G，∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（），∴．∴．整理得：．∴或（舍），或21．（2021·上海普陀区·）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．【答案】（1），直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；（3）过点D作DF∥AB交BC于点F，由相似三角形的性质可得，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝-2x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣