沪教版九年级数学考试满分全攻略第26章二次函数(基础、典型、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)

第26章二次函数（基础、典型、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海宝山·九年级期末）把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（

）A． B． C． D．2．（2022·上海嘉定·九年级期末）下列函数中是二次函数的是（

）A． B． C． D．3．（2022·上海·九年级单元测试）已知抛物线的顶点是此抛物线的最低点，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·上海静安·九年级期末）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C．（1，0） D．（0，0）5．（2022·上海·九年级单元测试）二次函数的顶点坐标是（

）A．（1，－2） B．（1，－） C．（－2.1） D．（－2.－1）6．（2022·上海虹口·二模）二次函数图象的顶点坐标是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2022·上海·九年级单元测试）二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为_____．8．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知抛物线，它与轴的交点坐标为____________．9．（2022·上海·模拟预测）将抛物线y=2x2向下平移2个单位后的抛物线解析式为y=______．10．（2022·上海市青浦区教育局二模）抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________．11．（2022·上海黄浦·九年级期末）如果抛物线的对称轴是轴，那么顶点坐标为_________12．（2022·上海虹口·九年级期末）如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是______．13．（2022·上海虹口·九年级期末）已知点、为函数的图象上的两点，若，则______（填“>”、“=”或“<”）．14．（2022·上海青浦·九年级期末）二次函数的图像有最______点．（填“高”或“低”）15．（2022·上海金山·九年级期末）抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向______．16．（2022·上海·九年级单元测试）抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线_______．17．（2022·上海·九年级单元测试）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．【典型】一、单选题1．（2020·上海黄浦·一模）把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（

）A． B．C． D．二、填空题2．（2021·上海·九年级专题练习）抛物线的图像一定经过__________象限．3．（2020·上海·九年级专题练习）抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是_____．（填“上升”或“下降”）4．（2020·上海·九年级专题练习）若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于_____．三、解答题5．（2020·上海·九年级专题练习）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．6．（2019·上海市嘉定区丰庄中学二模）如图，已知抛物线分别交轴、轴于点、，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．（1）若．①求抛物线的解析式；②当线段的长度最大时，求点的坐标；（2）当点的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【压轴】一、解答题1．（2022·上海嘉定·二模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．2．（2022·上海市静安区教育学院附属学校九年级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x=1，交x轴于点E．(1)求该抛物线的表达式．(2)点D为此抛物线的顶点，证明：∠CDB=∠CAB．(3)在x轴上是否存在一点M，以及抛物线上一点N，使得以M、N、B、C四点构成的四边形为平行四边形？如果有，请直接写出点M的坐标；如果没有，请说明理由．3．（2022·上海市青浦区教育局二模）已知直线经过点，两点，抛物线与已知直线交于、两点（点在点的右侧），顶点为．(1)求直线的表达式；(2)若抛物线的顶点不在第一象限，求的取值范围；(3)若直线与直线所成夹角的余切值等于3，求抛物线的表达式．4．（2022·上海市实验学校东校九年级期中）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．(1)如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，①当m＝时，求线段CF的长；②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系5．（2022·上海·九年级单元测试）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12．(1)求抛物线的解析式以及点D的坐标．(2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标．(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．6．（2021·上海·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，经过点的抛物线与轴相交于点，顶点为．（1）求的正弦值；（2）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为，且与相似，求平移后的新抛物线的表达式．7．（2021·上海·九年级专题练习）如果抛物线C1：与抛物线C2：的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．8．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级阶段练习）如果抛物线与的顶点关于原点对称，则称它们是关联抛物线．已知经过点（4，9）且与y轴交于点C（0，5），对称轴为直线．（1）求抛物线的关联抛物线的解析式；（2）记抛物线与x轴交点为A、B（A在B左侧），与y轴交于点E，顶点坐标为F，求的值；（3）在的对称轴上找一点G，使，求点G的坐标．9．（2022·上海杨浦·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．(1)求这条抛物线的表达式；(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．第26章二次函数（基础、典型、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海宝山·九年级期末）把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：,即；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2．（2022·上海嘉定·九年级期末）下列函数中是二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的定义求解即可．【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；B、函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意；C、，是一次函数，不是二次函数，故C不符合题意；D、是二次函数，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．3．（2022·上海·九年级单元测试）已知抛物线的顶点是此抛物线的最低点，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的顶点是此抛物线的最低点，得出抛物线开口向上，即，解出a即可．【详解】解：∵抛物线的顶点是此抛物线的最低点，∴抛物线开口向上，∴，解得：，故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质．理解抛物线有最低点时，抛物线开口向上是解答本题的关键．4．（2022·上海静安·九年级期末）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C．（1，0） D．（0，0）【答案】D【分析】求原抛物线的顶点坐标，根据平移得出新抛物线顶点坐标即可．【详解】解：抛物线化成顶点式为，顶点坐标为（1，-1），将抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（0，0），故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标与平移，解题关键是求出二次函数的顶点坐标．5．（2022·上海·九年级单元测试）二次函数的顶点坐标是（

）A．（1，－2） B．（1，－） C．（－2.1） D．（－2.－1）【答案】C【分析】根据二次函数的顶点坐标为，即可求解．【详解】解：，所以二次函数的顶点坐标为．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键．6．（2022·上海虹口·二模）二次函数图象的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的解析为，∴二次函数图像顶点坐标为（1，3）.故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题7．（2022·上海·九年级单元测试）二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为_____．【答案】-1【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m即可．【详解】解：∵点（0，0）在抛物线y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，∴m2﹣1＝0，解得m1＝1或m2＝﹣1，∵m＝1不合题意，∴m＝1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数解析式，能够熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．8．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知抛物线，它与轴的交点坐标为____________．【答案】【分析】把代入抛物线求出y值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【详解】将代入抛物线得：∴抛物线与y轴的交点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．9．（2022·上海·模拟预测）将抛物线y=2x2向下平移2个单位后的抛物线解析式为y=______．【答案】2x2-2【分析】根据二次函数图象平移的规则求解即可．【详解】解：将抛物线y=2x2向下平移2个单位后的抛物线解析式为y=2x2-2．故答案为：2x2-2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律“上加下减常数项，左加右减自变量”是解题关键．10．（2022·上海市青浦区教育局二模）抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________．【答案】a<1【分析】根据题意列出不等式并解答即可．【详解】解：∵抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a−1<0，解得a<1，故答案为：a<1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性．11．（2022·上海黄浦·九年级期末）如果抛物线的对称轴是轴，那么顶点坐标为_________【答案】（0，-1）【分析】由题意知，即可解得抛物线为，将代入即可求得顶点坐标的纵坐标．【详解】中a=-1，b=b故解得故抛物线为将代入有故顶点坐标为（0，-1）故答案为：（0，-1）．【点睛】本题考察了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴为，与y轴的交点为（0，c）．12．（2022·上海虹口·九年级期末）如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是______．【答案】a＞2【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0．【详解】∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下，∴2-a＜0，即a＞2，故答案为：a＞2．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下．13．（2022·上海虹口·九年级期末）已知点、为函数的图象上的两点，若，则______（填“>”、“=”或“<”）．【答案】＜【分析】根据题意得：抛物线的对称轴为直线，且开口向下，可得在对称轴的左侧随的增大而增大，即可求解．【详解】解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线，且开口向下，∴在对称轴的左侧随的增大而增大，∵，∴．故答案为：＜【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2022·上海青浦·九年级期末）二次函数的图像有最______点．（填“高”或“低”）【答案】高【分析】根据二次函数图象的开口即可解答．【详解】解：∵二次函数∴二次函数的图象开口向下∴二次函数的图像有最高点．故答案是高．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0，函数图象开口方向向上，函数图象开口方向向下．15．（2022·上海金山·九年级期末）抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向______．【答案】下【分析】把点代入，可得，即可求解．【详解】解：∵抛物线经过点，∴，∵，∴这个抛物线的开口向下．故答案为：下【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．16．（2022·上海·九年级单元测试）抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线_______．【答案】【分析】根据点的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解．【详解】解：∵点A（﹣6，3），B（2，3）纵坐标都是3，∴此抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．【点睛】此题主要考查二次函数的对称轴，解题的关键是熟知对称轴公式的运用．17．（2022·上海·九年级单元测试）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．【答案】0（答案不唯一）【分析】由图像在轴的右侧部分是下降的可得，进而求解．【详解】解：图像在轴右侧部分下降，抛物线开口向下，，解得，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．【典型】一、单选题1．（2020·上海黄浦·一模）把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线向上平移1个单位，可得，再向右平移1个单位得到的抛物线是．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k

(a，b，c为常数，a≠0)，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．二、填空题2．（2021·上海·九年级专题练习）抛物线的图像一定经过__________象限．【答案】一、二【分析】根据二次项系数大于0，二次函数图象开口向上解答．【详解】∵a＞0，∴抛物线的图象经过坐标原点，且开口方向向上，∴一定经过第一、二象限.故答案为一、二.【点睛】此题考查二次函数的图象，解题关键在于判断图象的开口方向3．（2020·上海·九年级专题练习）抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是_____．（填“上升”或“下降”）【答案】上升．【分析】根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【详解】∵y＝x2﹣2，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为上升．【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．4．（2020·上海·九年级专题练习）若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于_____．【答案】6【分析】由抛物线的对称性解答即可．【详解】∵抛物线经过A（﹣1，7）、B（5，7），∴点A、B为抛物线上的对称点，∴抛物线对称轴为直线x==2．∵C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）为抛物线上的对称点，即C（﹣2，﹣3）与D（k，﹣3）关于直线x=2对称，∴，解得：k=6．故答案为6．【点睛】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．三、解答题5．（2020·上海·九年级专题练习）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．【答案】（1）y＝﹣2x2+3x+1;（2）（，）．【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）利用配方法将所求的函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案．【详解】解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得解得故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．所以抛物线的顶点坐标是（，）．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．6．（2019·上海市嘉定区丰庄中学二模）如图，已知抛物线分别交轴、轴于点、，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．（1）若．①求抛物线的解析式；②当线段的长度最大时，求点的坐标；（2）当点的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①y=－2x2+2x+4；②P的坐标是(1，2)；(2)见解析.【分析】（1）①把A、B的坐标代入抛物线解析式，由a+b=0，解方程组即可得出结论；②设直线AB的解析式为，把A的坐标代入即可求出k的值，从而得到直线AB的解析式．设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，－2m2+2m+4），可表示出PD的长，利用二次函数的性质即可得出结论；（2）如图2，利用勾股定理计算出AB的长，再求出P的坐标，则可计算出PB的长，接着表示出抛物线解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，则可用a表示出点D坐标为（1，2﹣a），所以PD＝﹣a，由于∠DPB＝∠OBA，根据相似三角形的判定方法，当时，△PDB∽△BOA，即；当时，△PDB∽△BAO，即，然后解方程分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析式．【详解】（1）①把A（2，0）、B（0，4）代入得：．∵a+b=0，∴∴，∴抛物线的解析式为y=－2x2+2x+4；②设直线AB的解析式为，则，∴，∴直线AB的解析式为．设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，－2m2+2m+4），∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，∴当时，线段PD的长度最大，此时点P的坐标是（1，2）．（2）存在．如图2，OB=4，OA=2，则AB==2．当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2），∴PB==．把A（2，0）代入y=ax2+bx+4得4a+2b+4=0，解得：b=－2a－2，∴抛物线的解析式为y=ax2－2（a+1）x+4．当x=1时，y=ax2－2（a+1）x+4=a－2a－2+4=2－a，则D（1，2－a），∴PD=2－a－2=﹣a．∵DC∥OB，∴∠DPB=∠OBA．当时，△PDB∽△BOA，即，解得：a=－2，此时抛物线解析式为y=－2x2+2x+4；当时，△PDB∽△BAO，即，解得：a=－，此时抛物线解析式为y=－x2+3x+4．综上所述：满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=－x2+3x+4．【点睛】本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．【压轴】一、解答题1．（2022·上海嘉定·二模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）；（3）点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则，解得，，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质；待定系数法求函数解析式；正方形的性质．2．（2022·上海市静安区教育学院附属学校九年级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x=1，交x轴于点E．(1)求该抛物线的表达式．(2)点D为此抛物线的顶点，证明：∠CDB=∠CAB．(3)在x轴上是否存在一点M，以及抛物线上一点N，使得以M、N、B、C四点构成的四边形为平行四边形？如果有，请直接写出点M的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)或或或【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意求出线段CD，BC，BD的长度，证明是直角三角形，再求出两个角对应的正切值，从而证明两个角相等；（3）按照对边平行进行讨论，根据对边相等或者对角线互相平分进行计算，也可结合图像判断．（1）解：设抛物线解析式为，抛物线经过点，，且对称轴为直线，，解得，．（2）如图：由题意得，，根据两点间距离公式可得，，，，，，．（3）当BM//CN时，如图（1），∵对称轴为直线x=1,C（0，3），∴，，，，，当M点在B点左侧时，，当M点在B点右侧时，，或；当CM//BN时，如图（2），与互相平分，N点和C点纵坐标互为相反数，可得N点纵坐标为，把代入解析式解得：，，所以N1的横坐标为，N2的横坐标为，由平行四边形对角线互相平分可得或，解得或，所以或，综上所述：或或或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，坐标系中线段长度及角的正切值的计算，平行四边形的性质．证明是直角三角形以及利用平行四边形对角线互相平分是解题的关键．3．（2022·上海市青浦区教育局二模）已知直线经过点，两点，抛物线与已知直线交于、两点（点在点的右侧），顶点为．(1)求直线的表达式；(2)若抛物线的顶点不在第一象限，求的取值范围；(3)若直线与直线所成夹角的余切值等于3，求抛物线的表达式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由待定系数法直接代入点坐标求解即可得到答案．（2）由抛物线顶点式求得顶点坐标，进而依题意“顶点不在第一象限”列出不等式，进而可得到答案．（3）由直线及抛物线的表达式，求出交点坐标，确定点D坐标，进而作PH垂直AB于点H，设出点H坐标，依题意有，即有，联立等式成方程组，进而求解可得到答案．（1）解：∵直线经过点A、B，∴有解得∴直线的表达式为（2）解：∵∴∴顶点坐标为（2,2-4a）∵顶点不在第一象限∴∴（3）解：依题意有，解得或∴抛物线与已知直线交于（0,2）、两点∵顶点P坐标为（2，2-4a）且点C在点D的右侧∴点C，点D（0,2）过点P作PH垂直AB于点H，设点H坐标为（m，m+2）∴，∴直线DP与直线AB所成夹角的余切设直线PH的表达式为，直线PH过点P、H，∴有解得∵∴即联立①②，解得或∵当时，点C坐标为（0,2）与点D重合，不符合题意∴∴抛物线的表达式为．【点睛】本题为二次函数的综合题，考查二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、余切的概念定义、解二元一次方程组等知识；熟练掌握相关知识，构造直角三角形建立方程组求解是解题的关键．4．（2022·上海市实验学校东校九年级期中）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．(1)如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，①当m＝时，求线段CF的长；②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系【答案】(1)①；②h＝−m2＋m；h最大值是；(2)【分析】（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，先证明△ABE≌△EGF，可得FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，则EG−EC＝BC−EC，即CG＝BE＝，再在Rt△CGF中，即可求CF＝；②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，由△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，可得C、D、E'共线，由△EAQ≌△E'AQ，可得∠E'＝∠AEQ，故∠AEB＝∠AEQ，从而∠QEP＝90°−∠AEQ＝90°−∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，有PH＝PC，用△ABE∽△ECP，可求CP＝m（1−m），即可得h＝−m2＋m，根据二次函数的性质可求得h的最大值；（2）分两种情况：①当0≤m≤时，由△ABE∽△ECP，可求HG＝−m2＋m，根据MG∥CD，G为BC中点，可得MN＝DQ，设DQ＝x，则EQ＝x＋m，CQ＝1−x，Rt△EQC中，EC2＋CQ2＝EQ2，可得MN＝，故y＝NH＝MG−HG−MN＝1−m−＋m2，②当m＞时，由MG∥AB，可得HG＝，同①可得MN＝DQ＝，即可得y＝．(1)解：①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，∴∠BAE＝90°−∠AEB＝∠FEG，∠B＝∠G＝90°，∵三角形AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，在△ABE和△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，∴EG−EC＝BC−EC，即CG＝BE＝，在Rt△CGF中，CF＝；②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，∴∠ADC＋∠ADE'＝180°，∴C、D、E'共线，∵∠BAE＋∠EAD＝90°，∴∠DAE'＋∠EAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠E'AF＝45°，在△EAQ和△E'AQ中，，∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ＋DE'＝DQ＋BE，∴∠QEP＝90°−∠AEQ＝90°−∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，又∠C＝90°，PH⊥EQ，∴PH＝PC，∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECP，∴，即，∴CP＝m（1−m），∴PH＝h＝−m2＋m＝，∴m＝时，h最大值是；(2)解：①当0≤m≤时，如图：∵∠BAE＝90°−∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，∴△ABE∽△EGH，∴，即，∴HG＝−m2＋m，∵MG∥CD，G为BC中点，∴MN为△ADQ的中位线，∴MN＝DQ，由（1）知：EQ＝DQ＋BE，设DQ＝x，则EQ＝x＋m，CQ＝1−x，Rt△EQC中，EC2＋CQ2＝EQ2，∴（1−m）2＋（1−x）2＝（x＋m）2，解得x＝，∴MN＝，∴y＝NH＝MG−HG−MN＝＝，②当m＞时，如图：∵MG∥AB，∴，即，∴HG＝，同①可得MN＝DQ＝，∴HN＝MG−HG−MN＝＝，∴y＝，综上所述，【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、勾股定理的应用等知识，解题的关键构造辅助线及分类讨论．5．（2022·上海·九年级单元测试）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12．(1)求抛物线的解析式以及点D的坐标．(2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标．(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．【答案】(1)y＝x2﹣5x﹣12，点D的坐标为（5，﹣）(2)点F的坐标为（，）或（，﹣）(3)菱形对角线MN的长为或【分析】（1）先求得B、C的坐标，然后运用待定系数法可求得函数解析式，进而求得顶点D的坐标；（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出F点坐标，再证△FAG∽△ACO，然后由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，进而求得F点的坐标；（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．（1）解：∵OB＝OC＝12，∴B（12，0），C（0，﹣12），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣12，∵y＝x2﹣5x﹣12＝（x﹣5）2﹣，∴点D的坐标为（5，﹣）．（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，x2﹣5x﹣12），则FG＝|x2﹣5x﹣12|，在y＝x2﹣5x﹣12中，令y＝0可得x2﹣5x﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝12，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，则AG＝x+2，∵C（0，﹣12），∴OC＝12，当∠FAB＝∠ACO时，∵∠FGA＝∠AOC＝90°，∴△FAG∽△ACO，∴，即，∴＝＝，当点F在x轴上方时，则有＝，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此进F点坐标为（，）；当点F在x轴下方时，则有＝﹣，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此进F点坐标为（，﹣）；综上可知，点F的坐标为（，）或（，﹣）．（3）解：∵点P在x轴上，∴由菱形的对称性可知P（5，0），如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，∵PQ＝MN，∴MT＝PT，设PT＝n，则MT＝n，∴M（5+n，n），∵M在抛物线上，∴n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去），∴MN＝2MT＝3n＝；当MN在x轴下方时，同理可设PT＝n，则M（5+n，﹣n），∴﹣n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去），∴MN＝2MT＝3n＝；综上可知，菱形对角线MN的长为或．【点睛】本题属于二次函数的综合，主要考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．6．（2021·上海·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，经过点的抛物线与轴相交于点，顶点为．（1）求的正弦值；（2）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为，且与相似，求平移后的新抛物线的表达式．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）将代入可得表达式，配方即得顶点坐标，设BC与x轴交于E，过E作EH⊥AB于H，求出EH、BE即可得出答案；；（2）设D坐标，根据题意可得，则用两边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．【详解】解：（1）将代入得：，解得，∴抛物线表达式为，∵，∴；设BC与x轴交于E，过E作EH⊥AB于H，如图：抛物线与y轴交于，设BC解析式为，将，代入得：，解得，∴解析式为，令得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴又∴；（2）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设，则平移后的新抛物线的表达式为，∴，，，，如图，设直线与轴交点为，则，∵，∴，∴，∴，故若△DCA与△ABC相似，只需或两种情况：①若△ABC∽△DCA，如图：∴，即，∴，∴，∴平移后的新抛物线的表达式为；②若△ABC∽△ACD，如图：∴，即，解得，∴，∴平移后的新抛物线的表达式为；综上所述，△DCA与△ABC相似，平移后的新抛物线的表达式为或．【点睛】本题考查了二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，难度较大，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．7．（2021·上海·九年级专题练习）如果抛物线C1：与抛物线C2：的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．【答案】（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出抛物线C1的顶点坐标，进而得出抛物线C2的顶点坐标，即可得出结论；（2）设正方形AMBN的对角线长为2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2−k，3＋k），再用点M（2＋k，3＋k）在抛物线y＝（x−2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C1，C2的顶点相同，得出b，d的关系式，再由两抛物线的顶点在x轴，求出c，e的