沪教版九年级数学考试满分全攻略第03讲锐角三角比(3种题型)(原卷版+解析)

第03讲锐角三角比（3种题型）考点考向考点考向1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若，则；③.3.特殊角的三角比114.锐角的三角比考点精讲考点精讲一．锐角三角函数的定义（共6小题）1．（2022春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝2．（2021秋•浦东新区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝3．（2021秋•崇明区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，那么cosB的值是（）A． B． C． D．24．（2021秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．5．（2021秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinA的值是．6．（2021秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．二．特殊角的三角函数值（共6小题）7．（2021秋•松江区期末）已知sinα＝，那么锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°8．（2022春•徐汇区校级期中）30°的值等于．9．（2021秋•浦东新区校级期末）计算：3cot60°+2sin45°＝．10．（2021秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么∠B＝．11．（2021秋•嘉定区期末）计算：．12．（2021秋•崇明区期末）计算：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．三．计算器—三角函数（共2小题）13．（2017秋•青浦区校级月考）按键MODEMODE1，使科学计算器显示D后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）A．sin900′″＝ B．9sin＝ C．sin90′″＝ D．90′″sin＝14．（2017秋•青浦区校级月考）（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．巩固提升巩固提升一、选择题1.（闵行2020期末1）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值()A.都缩小到原来的n倍 B.都扩大到原来的n倍；C.都没有变化 D.不同三角比的变化不一致.2．（虹口2020一模1）如果，那么锐角的度数为()A．30°； B．45°； C．60°； D．90°．3.（2019新竹园9月考5）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=，那么BC的长为（）A.m•tan•cos B.m•cot•cos C. D.4.（青浦2020一模3）在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3，则下列结论正确的是（）A.； B.； C.； D.．5.（松江2020一模6）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）A. B. C. D.6.（长宁金山2020一模2）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A. B. C. D.二、填空题7.（浦东四署2019期中14）如果是锐角，且，那么_______________度.8.（青浦2020一模16）如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB=3，AC=4，那么cot∠AOE=______．9.（浦东南片2019期中12）在Rt中，若，则______________；10.（浦东四署2019期中10）若α为锐角，已知cosα=，那么tanα=________.11．（虹口2020一模18）如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF翻折，使BF的对应线段B’F经过顶点A，交对角线BD于点P，当⊥AB时，AP的长为．12.（青浦2020一模13）在△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2，AB=4，那么BC=______．13.（闵行2020期末13）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么=______.14．（虹口2020一模17）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB的值为．15.（2019新竹园9月考15）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算__________，……按此规律，写出__________（用含的代数式表示）．16.（2019新竹园9月考13）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，如图所示，则=______.三、解答题17.（崇明2020一模19）计算：18.（青浦2020一模19）计算：．19.（浦东四署2019期中19）计算：20.（长宁金山2020一模19）计算：21.（静安2020一模19）先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．22.（2019育才10月考21）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．23.（浦东四署2019期中21）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点D是AB边上一点，过点D作DE//BC，交边AC于E．过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．（1）如果，求线段EF的长；（2）求∠CFE正弦值．24.（嘉定2020一模25）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB=∠APC（如图10），∠APB+∠BAC=180°，求证：△PAB∽△PCA：如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值；当∠BAC=45°，△ABC为等腰三角形时，求tan∠PBC的值.25．（虹口2020一模25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF．过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时（如图13），如果CD=2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时（如图13），设，，求y关于x的函数关系式（不写函数的定义域）；（3）如果AG=8，求DE的长．第03讲锐角三角比（3种题型）考点考向考点考向1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若，则；③.3.特殊角的三角比114.锐角的三角比考点精讲考点精讲一．锐角三角函数的定义（共6小题）1．（2022春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC＝＝＝3，tanB＝＝，cotB＝＝，sinB＝＝，cosB＝＝，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握cotB＝是解题的关键．2．（2021秋•浦东新区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义逐一判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，∴sinA＝＝，故A不符合题意；cosA＝＝，故B符合题意；tanA＝＝，故C不符合题意；cotA＝＝，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2021秋•崇明区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，那么cosB的值是（）A． B． C． D．2【分析】根据勾股定理求出BC的长，然后进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，∴BC＝＝＝，∴cosB＝＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解题的关键．4．（2021秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝6．【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝ACtan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．5．（2021秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinA的值是．【分析】根据题意设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°，，可设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理可得，AB＝＝5k，∴sinA＝＝，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．6．（2021秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：过P作PA⊥x轴于A，∵P（3，4），∴PA＝4，OA＝3，由勾股定理得：OP＝5，∴α的余弦值是＝，过答案为：．【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．二．特殊角的三角函数值（共6小题）7．（2021秋•松江区期末）已知sinα＝，那么锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】根据sin60°＝解答．【解答】解：∵sin60°＝，∴∠A＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．8．（2022春•徐汇区校级期中）30°的正切值等于．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：30°的正切值等于．故答案为：正切．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．9．（2021秋•浦东新区校级期末）计算：3cot60°+2sin45°＝+．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．【解答】解：3cot60°+2sin45°＝3×+2×＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．10．（2021秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么∠B＝60°．【分析】根据∠B的正弦值即可判断．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果，那么sinB＝，∴∠B＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．11．（2021秋•嘉定区期末）计算：．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：＝＝＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．12．（2021秋•崇明区期末）计算：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．＝3×+2×﹣2××1＝＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．三．计算器—三角函数（共2小题）13．（2017秋•青浦区校级月考）按键MODEMODE1，使科学计算器显示D后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）A．sin900′″＝ B．9sin＝ C．sin90′″＝ D．90′″sin＝【分析】要求熟练应用计算器．【解答】解：显示器显示D后，即弧度制；求sin90°的值，需按顺序按下：sin，9，0＝．故选：C．【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算．14．（2017秋•青浦区校级月考）（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；（2）根据（1）中的关系可得出结论；（3）任选一个角验证（3）的结论即可；（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．【点评】本题考查的是三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键．巩固提升巩固提升一、选择题1.（闵行2020期末1）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值()A.都缩小到原来的n倍 B.都扩大到原来的n倍；C.都没有变化 D.不同三角比的变化不一致.【答案】C【解析】解：∵各边都扩大n倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为n：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角比值不变，故答案为C.2．（虹口2020一模1）如果，那么锐角的度数为()A．30°； B．45°； C．60°； D．90°．【答案】C；【解析】解：因为，所以.故答案选C.3.（2019新竹园9月考5）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=，那么BC的长为（）A.m•tan•cos B.m•cot•cos C. D.【答案】C；【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，AD=m，∠A=α，∴tanα=，∴CD=m•tanα，∵∠ACB=∠A+∠B=90°，∠BDC=∠B+∠BCD=90°，∠A=α，∴∠BCD=α，∴cos∠BCD=，即cosα=，∴BC=，故选C．4.（青浦2020一模3）在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3，则下列结论正确的是（）A.； B.； C.； D.．【答案】C；【解析】解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3，∴,∴，，，故选：C5.（松江2020一模6）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】C；【解析】解：如图示：作交CD于C点，交CD于D点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有，，∴，∴解之得：，故答案选：C.6.（长宁金山2020一模2）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A. B. C. D.【答案】B；【解析】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝，故选：B．二、填空题7.（浦东四署2019期中14）如果是锐角，且，那么_______________度.【答案】55；【解析】解：∵是锐角时有，∴=55°.8.（青浦2020一模16）如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB=3，AC=4，那么cot∠AOE=______．【答案】；【解析】解：如图，连接BD，在菱形ABCD中，O是AC的中点，∴O也是对角线的交点，且AC与BD垂直平分，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴，∴，在中，，,∴，∴cot∠AOE=.9.（浦东南片2019期中12）在Rt中，若，则______________；【答案】；【解析】解：在Rt中，若，根据勾股定理，得，则.10.（浦东四署2019期中10）若α为锐角，已知cosα=，那么tanα=________.【答案】；【解析】解：因为cosα=，可得：α=60°，则tanα=tan60°=．11．（虹口2020一模18）如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF翻折，使BF的对应线段B’F经过顶点A，交对角线BD于点P，当⊥AB时，AP的长为．【答案】；【解析】解：如图所示，若⊥AB，则，所以，设AF=4k，BF=5k,所以AB=3k=9，所以k=3，故AF=12，BF=15，又AD//BC，所以，所以，解得.12.（青浦2020一模13）在△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2，AB=4，那么BC=______．【答案】；【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，tanB=2，∵tanB=，∴，∵,∴，∴，∴.13.（闵行2020期末13）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么=______.【答案】【解析】解：由题意，得BD=BE=，，故答案为.14．（虹口2020一模17）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB的值为．【答案】；【解析】解：设正方形DEFG的边长为x，则由DE//AC，得，所以BE=2x，所以BF=3x，所以在Rt△GFB中，tan∠DGB=.15.（2019新竹园9月考15）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算__________，……按此规律，写出__________（用含的代数式表示）．【答案】(1)，(2)；【解析】解：试题解析：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4=，A4C=，△BA4C的面积=，∴，解得，CH=，则A4H==，∴tan∠BA4C==，1=12-1+1，，3=22-2+1，，7=32-3+1，∴tan∠BAnC=.故答案为:，.16.（2019新竹园9月考13）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，如图所示，则=______.【答案】.【解析】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°．同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，∴，∴cos（α+β）=．三、解答题17.（崇明2020一模19）计算：【答案】；【解析】解：原式18.（青浦2020一模19）计算：．【答案】．【解析】解：原式===．19.（浦东四署2019期中19）计算：【答案】；【解析】解：原式=．20.（长宁金山2020一模19）计算：【答案】．【解析】解：原式＝＝．21.（静安2020一模19）先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．【答案】；【解析】解：原式＝＝．当x=sin45°=，y=cos60°=时，原式＝．22.（2019育才10月考21）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．【答案】；【解析】解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=BD•AD=4∴CD=2，∴．23.（浦东四署2019期中21）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点D是AB边上一点，过点D作DE//BC，交边AC于E．过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．（1）如果，求线段EF的长；（2）求∠CFE正弦值．【答案】（1）4；（2）；【解析】解：（1）∵DE//BC，∴．又∵BC=6，∴DE=2．∵DF//B