北师大版七年级数学下册常考题专练专题10三角形的认识及等腰三角形分类讨论(原卷版+解析)

专题10三角形的认识及等腰三角形分类讨论题型一三角形的基本概念1．下列说法正确的有①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④2．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的表示A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形3．下列关于三角形的分类，正确的是A． B． C． D．4．如图，图中三角形的个数共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个题型二对角的认识5．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，此时测得，，则的度数为A． B． C． D．6．如图，把的一角折叠，若，则A． B． C． D．7．如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的点为，若，，则的度数为A． B． C． D．8．在中，，，则的度数为A． B． C． D．9．如图，和相交于点，则下列结论不正确的是A． B． C． D．10．如图，，，，则的大小为A． B． C． D．11．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的2倍，我们把这个三角形叫做“二倍角三角形”．在一个“二倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为．12．如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是A． B． C． D．13．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为．题型三对边的认识14．一个三角形的两边长分别为5和2，若该三角形的第三边的长为偶数，则该三角形的第三边的长为A．6 B．8 C．6或8 D．4或615．在中，，，若第三边的长是偶数，则的长是．16．已知，，是的三边长，、满足，且为方程的解，则的周长为A．4 B．5 C．7或11 D．717．若，，为三角形的三边长，化简等于．18．已知、、为三角形的三边，．（1）化简；（2）计算．题型四基本计算19．有下列条件：①；②；③；④．能确定是直角三角形的条件有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个20．已知中，，，三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是A． B． C． D．21．适合条件的是A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形22．在中，如果，那么是A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形23．如图所示，在中，，则为A． B． C． D．24．在具备下列条件的中，①；②，；③；④，其中能构成直角三角形的有．25．三角形的三边，，满足，试判断三角形的形状，并说明理由．题型五等腰三角形分类讨论——按角分26．若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是A．或 B．或 C．或 D．或或27．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是A． B． C．或 D．不能确定28．等腰三角形两个内角的度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为．变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为．29．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角度数为A． B． C． D．或30．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为度，则此三角形的顶角为度．31．已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为度．32．如图，在中，，，点为边上一点且不与、重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，．（用的代数式表示题型六等腰三角形分类讨论——按边分33．如图是的正方形方格图，点，在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点，连接和，使是等腰三角形，则方格图中满足条件的点的个数是A．4 B．5 C．6 D．734．等腰三角形的一边长为10，另一边长为6，则它的周长是．35．等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分成两部分之差为，则等腰三角形的腰长为．36．某等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为，则它的腰长等于．37．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动（回到点就停止），且速度为每秒，则运动秒时，为等腰三角形．（提示：直角三角形中，当斜边和一条直角边长分别为3和时，另一条直角边长为38．如图所示，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求三角形各边的长．专题10三角形的认识及等腰三角形分类讨论题型一三角形的基本概念1．下列说法正确的有①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④【解答】解：①有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，等腰三角形不一定是等边三角形，①错误；②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，②错误；③两边相等的三角形称为等腰三角形，③正确；④三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，④正确．故选：．2．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的表示A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【解答】解：三角形根据边分类，图中小椭圆圈里的表示等边三角形．故选：．3．下列关于三角形的分类，正确的是A． B． C． D．【解答】解：、等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；故选：．4．如图，图中三角形的个数共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解答】解：图中是三角形的有：、、、、．故选：．题型二对角的认识5．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，此时测得，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图，设与交于点，，，，，，，．故选：．6．如图，把的一角折叠，若，则A． B． C． D．【解答】解：如图，把的一角折叠，，，，，，，，，，故选：．7．如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的点为，若，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：△是沿对折后的图形，，．，，．，，．，．，．故选：．8．在中，，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：，，．，．．．故选：．9．如图，和相交于点，则下列结论不正确的是A． B． C． D．【解答】解：，，，故，，正确，故选：．10．如图，，，，则的大小为A． B． C． D．【解答】解：，，，设，，，，，，，，故选：．11．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的2倍，我们把这个三角形叫做“二倍角三角形”．在一个“二倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为、或、．【解答】解：在中，不妨设．①若，则，．②若，则，不符合题意；③若，则，，综上所述，另外两个角的度数为，或，．故答案为，或，．12．如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：延长，交于点，连接．，，，，，，，故选：．13．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为，或，．【解答】解：在中，不妨设．①若，则，．②若，则（不合题意）．③若，则，，综上所述，另外两个角的度数为，或，．故答案为：，或，．题型三对边的认识14．一个三角形的两边长分别为5和2，若该三角形的第三边的长为偶数，则该三角形的第三边的长为A．6 B．8 C．6或8 D．4或6【解答】解：设三角形的第三边长为，则，即，三角形的第三边是偶数，或6，故选：．15．在中，，，若第三边的长是偶数，则的长是4．【解答】解：中，，，，即，又第三边的长是偶数，，故答案为：4．16．已知，，是的三边长，、满足，且为方程的解，则的周长为A．4 B．5 C．7或11 D．7【解答】解：，且，、，为方程的解，或，又，即，，则的周长为，故选：．17．若，，为三角形的三边长，化简等于．【解答】解：因为，，是三角形的三边长，所以，，，所以原式．故答案为：．18．已知、、为三角形的三边，．（1）化简；（2）计算．【解答】解：（1）由三角形三边关系知，，故，，，，（2）．题型四基本计算19．有下列条件：①；②；③；④．能确定是直角三角形的条件有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：、，是直角三角形，故本选项正确；、，则，，，是直角三角形，故本选项正确；、，，是直角三角形，故本选项正确；、设，，，则，解得，故，是直角三角形，故本选项正确．故选：．20．已知中，，，三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是A． B． C． D．【解答】解：、设三个角分别为，，，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形；、设三个角分别为，，，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以是直角三角形；、设三个角分别为，，，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形；、设三个角分别为，，，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形．故选：．21．适合条件的是A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【解答】解：，，，，即，，，，为直角三角形．故选：．22．在中，如果，那么是A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形【解答】解：由可得：，所以三角形是钝角三角形；故选：．23．如图所示，在中，，则为A． B． C． D．【解答】解：如图所示，在中，，则．．所以，即为．故选：．24．在具备下列条件的中，①；②，；③；④，其中能构成直角三角形的有①②④．【解答】解：①因为，可得，是直角三角形．②，，可得，，，是直角三角形．③，可得，，不是直角三角形．④，可得，，是直角三角形．故答案为①②④．25．三角形的三边，，满足，试判断三角形的形状，并说明理由．【解答】解：为等边三角形，理由如下：，，，，，，，为等边三角形．题型五等腰三角形分类讨论——按角分26．若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是A．或 B．或 C．或 D．或或【解答】解：①设三角形底角为，顶角为，则，解得：，②设三角形的底角为，顶角为，则，解得：，，三角形的“可爱角”应该是或，故选：．27．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是A． B． C．或 D．不能确定【解答】解：①若是顶角的外角，则顶角；②若是底角的外角，则底角，那么顶角．故选：．28．等腰三角形两个内角的度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为或．变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为．【解答】解：在中，设，，分情况讨论：当为底角时，，解得，顶角；当为底角时，，解得，顶角．故这个等腰三角形的底角度数为或．设两个角分别是，①当是底角时，根据三角形的内角和定理，得，解得，，，即底角为，顶角为；②当是顶角时，则，解得，，从而得到顶角为，底角为；所以该三角形的顶角为或．故答案为：或；或．29．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角度数为A． B． C． D．或【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为；当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为；综上可知该等腰三角形的顶角为或．故选：．30．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为度，则此三角形的顶角为度．【解答】解：如图，（1）顶角是钝角时，，故顶角；（2）顶角是锐角时，，故顶角．综上所述，此三角形的顶角为度．故答案为：．31．已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为30或60度．【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，由已知可知，，又，，，．当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，由已知可知，，又，，．故答案为：30或60．32．如图，在中，，，点为边上一点且不与、重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，或或．（用的代数式表示【解答】解：由翻折的性质可知，，如图1，当时，则，，，，，当时，为等腰三角形，故答案为．当时，；，，，；，，如图2，当时，；，，；当或或时，为等腰三角形，故答案为或或． 题型六等腰三角形分类讨论——按边分33．如图是的正方形方格图，点，在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点，连接和，使是等腰三角形，则方格图中满足条件的点的个数是A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：如图所示：在，，，位置上时，；在，位置上时，；即满足点的个数是6，故选：．34．等腰三角形的一边长为10，另一边长为6，则它的周长是26或22．【解答】解：若6为等腰三角形的腰长，则10为底边的长，此时等腰三角形的周长；若为等腰三角形的腰长，则为底边的