沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训01一次函数存在性问题(原卷版+解析)

特训01一次函数存在性问题一、解答题1．如图，在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，直线与交于点D，与y轴交于点E．(1)直接写出点D的坐标为；点E的坐标为．(2)求的面积．(3)若动点M在边上，点N是坐标平面内的点．①当点N在第一象限，又在直线上时，若是等腰直角三角形，求点N的坐标；②若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．(1)A的坐标是______，B的坐标是______；(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．3．如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线：与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．(1)求直线和的表达式．(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．4．已知，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，B两点，直线交x轴于点C，D两点，已知点C为，D为．(1)求直线的解析式．(2)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由．(3)点P，Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．5．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．(1)求证：．(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，①求的面积S关于t的函数解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．(1)求直线的函数表达式；(2)求点C和点D的坐标；(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点(1)填空：______，______，______；(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．①求线段的长度；②当点落在轴上时，求点的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，．(1)求直线的解析式．(2)求的值．(3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．10．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点与x轴交于点，直线与x轴交于点C．(1)填空：___________，___________，___________．(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①当点E落在y轴上时，求点E的坐标．②若为直角三角形，求点D的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）．(1)求的值．(2)当的面积为18时，求点的坐标．(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当时，求的面积．12．如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．(1)求点的坐标；(2)已知点是直线上的动点，若的面积为4，求点的坐标；若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．(1)求直线的解析式；(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．(1)求直线的表达式；(2)求点D的坐标；(3)在线段上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)请写出点A坐标，点B坐标，直线的函数解析式；(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．①若的面积为，求点的坐标；②点在线段上，连接，如图，若，直接写出的坐标．16．如图，函数的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．(1)求点A、B的坐标；(2)求△ABC的面积；(3)点P在第一象限内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点P的坐标．17．如图①，为等腰直角三角形，，于点，于点．(1)求证：(2)如图②为等腰直角三角形，其中点坐标为，点的坐标为，求点的坐标．(3)如图③在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，，与轴交于点，若，求点的坐标．18．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；①直接写出______，______；②点的坐标______；(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值为______；若变，请说明理由；(3)【拓展应用】如图4，当时，直线与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______．19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为．(1)求两点的坐标；(2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且在直线上有一点，使得最小，求点坐标；(3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，一次函数的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P为中点，点C，D分别在上，连结，点A，E关于对称，点B，F关于对称，且．(1)直接写出点A，B，P的坐标．(2)如图1，若点O，E重合，求．(3)如图2，若点F横坐标为5，求点E的坐标．21．模型建立：（1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点C，过A作于D，过B作于E．求证：；模型应用：（2）已知直线：与y轴交于A点，将直线绕着A点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式；模型拓展：（3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点位于第一象限内．若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．22．平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t．(1)求直线的函数表达式．(2)连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________．(3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________．(4)直接写出的最小值为___________．23．如图1，已知一次函数与x轴，y轴分别交于B点，A点，x正半轴上有一点C，，以A，B，C为顶点作平行四边形．(1)求C点坐标．(2)如图2，将直线沿y轴翻折，翻折后的直线交于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当取得最小值时，求此时的值．(3)如图3，将向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为，O的对应点为，将绕点O顺时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，直线与直线、交于M，G两点，在旋转过程中，能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的，若不能，请说明理由．特训01一次函数存在性问题一、解答题1．如图，在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，直线与交于点D，与y轴交于点E．(1)直接写出点D的坐标为；点E的坐标为．(2)求的面积．(3)若动点M在边上，点N是坐标平面内的点．①当点N在第一象限，又在直线上时，若是等腰直角三角形，求点N的坐标；②若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围．【答案】(1)；(2)30(3)①点N的坐标为，，；②或【分析】（1）由题意可得：点D的纵坐标是6，点E在y轴上，横坐标是0，代入直线解析式求解即可；（2）先求出点F的坐标，再根据的面积=求解即可；（3）①分三种情况若点A为直角顶点时，点N在第一象限；点M为直角顶点时，点N在第一象限；若点N为直角顶点，点N在第一象限；结合图形，利用全等三角形的判定和性质求解即可；②考虑特殊情况：当点M在B点时，当M在C点时，分别求出点N纵坐标的值，进而可得结果．【解析】（1）∵在长方形ABCO中，点B的坐标为，直线与交于点D，与y轴交于点E，把代入中，，所以点D的坐标为，把代入中，，所以点E的坐标为；故答案为：，；（2）如图1，把代入中，可得：，所以点F的坐标为，∴，∴的面积=．（3）①（a）若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连接，如图2，，∴不可能为等腰直角三角形，∴点N不存在；（b）若点M为直角顶点时，点N在第一象限，如图3，过点N作，交的延长线于点H，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，∴N，（c）若点N为直角顶点，点N在第一象限，如图4，设，过点作于点，交于点，同上面的方法可证，∴，∴，∴，∴，设，同理可得，∴，∴，综上所述，点N的坐标为，，；②当点M在B点时，如图，，∵，∴，∴的纵坐标为，同理，的纵坐标为，当M在C点时，如图，，过点作于点S，延长交CB于点P，则，则，设点纵坐标为，则，那么，解得：，则点纵坐标为，同理可得，纵坐标为，∴当点N为直角顶点时，t的取值范围为或．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，具有相当的难度，熟练掌握全等三角形的判定和性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．(1)A的坐标是______，B的坐标是______；(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)，；(2)；(3)或或或．【分析】（1）分别令，即可求出点A和B的坐标；（2）设直线的解析式将，代入求出解析式，设点，则点，点，再利用列方程，再解方程即可；（3）设,而，则、、再分当时、当、当时讨论即可.【解析】（1）解：一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B，令，即，解得，令，即，，，故答案为：，；（2）设直线的解析式，将，代入，，解得，∴直线的函数解析式，设点，则点，点，依题意可得，∴，解得：，；（3）设,而，，，，当时，有，解得：，，当,有，解得：，不合题意舍去，，当时，有，解得：或，或，综上所述：或或或，【点睛】本题考查了求函数与坐标轴交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，线段的中点坐标的含义，勾股定理的应用，等腰三角形的含义，利用平方根的含义解方程；熟练的运用以上知识是解本题的关键.3．如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线：与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．(1)求直线和的表达式．(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】(1)把点的坐标分别代入相应的函数解析式求解即可．(2)作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，点P即所求，设直线表达式为，确定解析式，并求出与y轴的交点坐标即可．(3)分两种情况求解即可．【解析】（1）将代入得，解得，故直线的解析式为；把代入，得，解得，故直线的解析式为．（2）作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，则点P满足的值最小，∵，，∴，，∴，，设直线表达式为，∴，解得，∴直线表达式为，令，∴．（3）设点，如图，当时，过点A作于点G，∵，，沿直线翻折得到，∴，，，，∴，∴，，解得，故点；如图，当时，过点D作于点G，∵，，沿直线翻折得到，∴，，，，，∴，∴，∴，，，解得，故点；综上所述，点或．【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．4．已知，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，B两点，直线交x轴于点C，D两点，已知点C为，D为．(1)求直线的解析式．(2)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由．(3)点P，Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．【答案】(1)(2)为等腰三角形，理由见解析(3)点在坐标为，，,【分析】（1）把代入得到关于的二元一次方程组，求出的值即可；（2）联立方程组，得到点E的坐标为，由求出点A的坐标，分别求出，，，从而可判断出为等腰三角形；（3）分①在上；②在上，在上；③在上，在上；④在上，与点重合四种情况结合图形求解即可【解析】（1）解：把代入得，解得，，∴直线的解析式为；（2）联立得：，解得，，∴点的坐标为，对于直线，当时，，∴，∴又，∴，即，,,,是等腰三角形；（3）①当在上时，如图1，此时，，，设，又，，解得，，（舍去），，；②当在上，在上时，如图2，此时，设则，代入得，解得，，则；③在上，在上时，如图3，此时，，；④当在上，与点重合时，如图4，此时，则∴与点重合，∴综上，点在坐标为，，,【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形以及一次函数与几何综合等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键5．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．(1)求证：．(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)见解析(2)的解析式：(3)点，，．【分析】（1）根据同角的余角相等可得，再由可证得；（2）过点作于点，交于点，过作轴于，根据可得为等腰直角三角形，由（1）可知，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；（3）设，①点为直角顶点，分两种情况：当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标；当点在矩形的外部时，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标；②点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标，即可．【解析】（1）证明：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在与中，∴；（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图，∵，∴为等腰直角三角形，由（1）得：，∴，，∵直线，∴，，∴，，∴，∴，设的解析式为，把点，代入得：∴，解得：，∴的解析式：；（3）解：当点位于直线上时，分两种情况：设，①点为直角顶点，分两种情况：当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；当点在矩形的外部时，则，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；②点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则，∴；同（1）得，，∴，；∴；∴，解得：；∴；综合上面情况可得：点的坐标为或或．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，①求的面积S关于t的函数解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②存在等腰三角形，点P的坐标为或或．【分析】（1）求出，用待定系数法可得直线的函数解析式为；（2）①当，即在上时，；当，即在上时，；②，，知在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，，，，分三种情况：若时，，当时，，当时，，分别解方程可得答案．【解析】（1）解：，，四边形是长方形，，当点与点重合时，设直线的函数解析式为，把，代入得：，解得，直线的函数解析式为；（2）解：①当，即在上时，如图：；当，即在上时，如图：，；②存在等腰三角形，理由如下：如图：，，，在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，，，，若时，，解得（舍去）或，；当时，，解得或（舍去），；当时，，解得，；综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．7．如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．(1)求直线的函数表达式；(2)求点C和点D的坐标；(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】（1）根据平移设，将代入，求出m值即可；（2）在中，时，，得到，时，，得到；（3）设，根据，，得到，，根据，得到，根据，得到，得到，或，求得，或，得到，或．【解析】（1）解：设将向下平移m个单位，得到直线，则，∵经过点，∴，解得：，∴直线的函数表达式为：；（2）在中，令，则，令，则，∴，；（3）存在，或，理由：在中，令，则，令，则，∴，，设，，，，，，，，，设、之间的距离为，，，，或，，或，或．【点睛】本题主要考查了一次函数，平移，一次函数与一元一次方程，一次函数与三角形，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，直线平移的性质，点平移的坐标性质，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与三角形面积的关系．8．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点(1)填空：______，______，______；(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．①求线段的长度；②当点落在轴上时，求点的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)①；②点的坐标为；③点的坐标为或【分析】（1）把代入，求出，得直线：，再把代入，求出，得点的坐标，然后把代入，求出；（2）①根据折叠的性质得出，勾股定理即可求解；②过点作轴于点，作轴于点，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标．【解析】（1）解：把代入，，，直线：，把代入，，把代入，，，；故答案为：．（2）①∵直线：令，解得，∴点的坐标为，∵∴，∵折叠，∴；②如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，，，，，点的坐标为；③如下图，当时，由翻折得，，，，，点的坐标为；如图，当时，设，则，在中由勾股定理得：，解得：，点的坐标为，综上，点的坐标为或．【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，．(1)求直线的解析式．(2)求的值．(3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式；（2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比；（3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可．【解析】（1）由题知，设，则．在中，，即：，，∴，又，∴．（2）设，则，由折叠性质知：．在中：，∴，∴．∴，∴，，∴．（3），，理由如下：如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，则,，又∵∴∴，∵轴，轴∴为正方形∴，∴)∴直线解析式为：，∵两点坐标为：∴直线解析式为：，联立解得：，∴如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，则,，又∵∴∴，∵轴，轴∴为正方形∴，∴)∴直线解析式为：，∵两点坐标为：∴直线解析式为：，联立解得：，∴综上所述，或【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标．10．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点与x轴交于点，直线与x轴交于点C．(1)填空：___________，___________，___________．(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①当点E落在y轴上时，求点E的坐标．②若为直角三角形，求点D的坐标．【答案】(1)，，(2)①，②（2，0）或）【分析】（1）把代入，求出，得直线，再把代入，求出，得点A的坐标，最后把代入，求出；（2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，求出，再求出，可得，即可得答案；②分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标．【解析】（1）解：把代入，∵∴，∴直线把代入∴把代入∵∴，故答案为，，（2）①∵直线∴点C的坐标为，如图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，∴∴∴点E的坐标为②如图，当时，由翻折得∴，∵，∴，∴∴点D的坐标为如图，当时，设，则在中由勾股定理得：解得：∴∴点D的坐标为综上，点D的坐标为或）【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）．(1)求的值．(2)当的面积为18时，求点的坐标．(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当时，求的面积．【答案】(1)(2)点坐标为或(3)【分析】（1）将点代入即可求出a的值；（2）先根据待定系数法求出的解析式，然后设，求出，，得出，求出，分，，三种情况讨论，得出答案即可；（3）过作，设，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质，求出m的值，得出，，根据三角形面积公式，求出结果即可．【解析】（1）解：将代入，，．（2）解：设直线解析式为，将、代入得：，解得：，直线，设，把代入得：，解得：，把代入得：，∴，，，∴，①如图1，时，，，解得：，，②时，的面积不可能为18，③如图2，时，，，解得：．综上，点坐标为或．（3）解：如图3，过作，设，，，，，∵，，，，，，，，，，，，解：，，，．【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式，解题的关键是作出图形，注意分类讨论．12．如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．(1)求点的坐标；(2)已知点是直线上的动点，若的面积为4，求点的坐标；若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)，；或【分析】（1）利用待定系数法可得直线的解析式为，把代入，得，即可求出点的坐标；（2）利用三角形的面积公式求出的长即可解决问题；分两种情况进行讨论：当时，当时，分别求解即可．【解析】（1）解：设直线的解析式为，直线与轴交于点与轴交于点，，解得，

直线的解析式为，把代入，得，，．（2）解：，，

直线轴交轴于点，，，，，；一定不是直角，当时，点恰好在点，，当时，，由题可得，，，，，，，综上所述，所有满足条件的点的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．13．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．(1)求直线的解析式；(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线AP的解析式为(2)(3)Q的坐标为或或，理由见解析【分析】（1）由非负数的性质求出，得到，由待定系数法求出直线的解析式即可；（2）过作交x轴于D，连接，由三角形面积关系得到，进而得到，待定系数法求出直线的解析式，即可得到点M的坐标；（3）设，分三种情况分别求解点Q的坐标即可．【解析】（1）解：∵，解得，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线AP的解析式为；（2）过作交x轴于D，连接，∵，的面积等于6，∴的面积等于6，∴，即，∴，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，令，得，∴；（3）Q的坐标为或或．理由如下：设，①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，∴，∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴；②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，∴，，∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，∴，，同②可证，∴，，∴，即，∴，∴，∴；综上，Q的坐标为或或．【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．(1)求直线的表达式；(2)求点D的坐标；(3)在线段上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)线段的表达式(2)点D的坐标为(3)存在，点M的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；（2）根据三角形面积公式得到D到的距离等于B点到的距离的2倍，即D点的纵坐标为4，然后利用直线的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标．（3）先求出直线的表达式,再求出点N的坐标为，分情况讨论即可.【解析】（1）解：将点代入，得解得线段的表达式（2）已知，且点C在x轴正半轴上，∴点，设点D的坐标为，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则即，解得，∴点D的坐标为（3）存在，点M的坐标为或，设直线的表达式为将点代入，得，解得直线的表达式．已知点M在线段上，设点M的坐标为，则，轴，且点N在上∴将代入，得，，解得．点N的坐标为分三种情况讨论：①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为，解得：，点M的坐标为②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同；③如解图④，当P为直角顶点时，，过点P作轴，交MN于点Q，易得点Q为MN的中点，且，点Q的坐标为，，，解得，∴点M的坐标为综上所述，点M的坐标为或【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数,则需要两组x,y的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．15．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)请写出点A坐标，点B坐标，直线的函数解析式；(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．①若的面积为，求点的坐标；②点在线段上，连接，如图，若，直接写出的坐标．【答案】(1)，，；(2)①点的坐标为，或，；②点的坐标为，或，．【分析】（1）先确定出点坐标和点A坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；（2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可，即可求解．【解析】（1）解：对于，由得：，∴．由得：，解得，∴，∵点与点关于轴对称．∴，，设直线的函数解析式为，∴，解得，∴直线的函数解析式为，故答案为：，，；（2）解：①设点，，则点，，点，，过点作与点，则|，，则的面积，解得，故点的坐标为，或，；②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，，∴，，，∴，解得：，∴，，如图，当点在轴的右侧时，同理可得，，综上，点的坐标为，或，．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．16．如图，函数的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．(1)求点A、B的坐标；(2)求△ABC的面积；(3)点P在第一象限内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点P的坐标．【答案】(1)，(2)(3)点坐标为或或或【分析】（1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得、的坐标；（2）过作于点，由勾股定理可求得，由角平分线的性质可得，再根据，可求得，则可求得的面积；（3）可设，分、和三种情况，分别构造“”型全等，可求得点坐标．【解析】（1）解：在中，令可得解得，令，解得，，；（2）如图，过点作于点，平分，，由可知，，，，，解得，；（3）点P在第一象限内，为等腰直角三角形，有、和三种情况，①当时，如图，过点作轴于点，则∵，，∴，∴∴,∴,∴此时点坐标为；②时，如图，同理可得∴,∴,则此时点坐标为；③时，如图，过点作轴，过点作于点，同理可得，∴，∴解得：∴所以此时点坐标为；综上可知使为等腰直角三角形的点坐标为或或．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、勾股定理、三角形的面积、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．在(1)中注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在(2)中利用角平分线的性质和等积法求得的长是解题的关键，在(3)中根据全等三角形的性质证明，由全等三角形的性质得到关于点坐标是解题的关键．17．如图①，为等腰直角三角形，，于点，于点．(1)求证：(2)如图②为等腰直角三角形，其中点坐标为，点的坐标为，求点的坐标．(3)如图③在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，，与轴交于点，若，求点的坐标．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）证明，，，可得，从而可得答案；（2）如图，过作于，证明，结合，，可得，，从而可得答案；（3）如图，过作交的延长线于，交轴于，过作于，作于，证明，可得，同理可得：，，则设，求解为，可得，，，，过作，交的延长线于，交轴于，同理可得：，可得，，，，从而可得答案．【解析】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，∴，，∵于点，于点．∴，，∴，∴，∴．（2）如图，过作于，∴，∴，∵为等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，而，，∴，，∴，∴．（3）如图，过作交的延长线于，交轴于，过作于，作于，∴，∵，∴，

∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，则设，设为，而点坐标为，点的坐标为，∴，解得：，∴为，∴，解得，即，∴，，，过作，交的延长线于，交轴于，∴，同理可得：，∴，，

∴，，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形，作出合适的辅助线，构建全等三角形是解本题的关键．18．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；①直接写出______，______；②点的坐标______；(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值为______；若变，请说明理由；(3)【拓展应用】如图4，当时，直线与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______．【答案】(1)①，；②(2)不变，的面积为定值，理由见解析(3)点的坐标为或【分析】（1）)①若，则直线与轴，轴分别交于，，，两点，即可求解；②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解；（2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；（3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解．【解析】（1）解：①若，则直线为直线，当时，，,，当时，，,，，，故答案为：，；②作于，，，又是以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，，，，，点的坐标为；（2）当变化时，的面积是定值，，理由如下：当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，，过点作于，，，，，，，又，．，，变化时，的面积是定值，；（3）当时，过点作轴于，过点作于，，，，，，又，．，，，点的坐标为，，，直线，将点的坐标代入得，，解得：，点的坐标为；当时，过点作轴于，过点作于，，，，，，又，．，，，点的坐标为，，直线，将点的坐标代入得，，解得：，点的坐标为．综上，点的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键．19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为．(1)求两点的坐标；(2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且在直线上有一点，使得最小，求点坐标；(3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点的坐标分别为、(2)(3)存在，或【分析】（1）对于，令，解得：，令，则，即可求解；（2）作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，进而求解；（3）当点在上方时，证明，得到的坐标为，进而求解，当点在下方时，同理可解．【解析】（1）解：对于，令，解得：，令，则，故点的坐标分别为、；（2）解：点为线段的中点，则点，如图1，过点作轴于点，故是的中位线，即点是的中点，则点，作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，理由：为最小，设直线的表达式为：，则，解得，故直线的表达式为：当时，，故点的坐标为；（3）解：存在，理由：当点在上方时，如图2，过点作交于点，过点作轴于点，，，，，在Rt和Rt中，，，，故点的坐标为，由点的坐标得，直线的表达式为：，当时，，故点的坐标为，当点在下方时，过点作交于点，则点关于点对称，由中点坐标公式得，点，由点得坐标得：直线得表达式为：，当时，，故点的坐标为．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性，全等三角形的判定和性质等，其中（3），需要分类求解，避免遗漏．20．如图，一次函数的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P为中点，点C，D分别在上，连结，点A，E关于对称，点B，F关于对称，且．(1)直接写出点A，B，P的坐标．(2)如图1，若点O，E重合，求．(3)如图2，若点F横坐标为5，求点E的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分别让和代入解析式即可求出点A、点B的坐标，再根据中点坐标公式求出点P的坐标；（2）根据题意可推出轴，即可推出轴，根据点B，F关于对称可得，设出，则可得出点F的坐标，根据两点的距离公式求出，然后利用，即可解出m的值，的长即可求出；（3）设，由求得F点的坐标，再求的解析式为，过P作，则，证得，可设直线PE的解析式为，把代入得直线的解析式为：，设，由，求得t便可得E点坐标．【解析】（1）∵当时，，∴，∵当时，即，则，∴，∵点P为中点∴，综上所述：（2）∵点C在，点A，E关于对称，此时点O，E重合，∴轴，∵，∴轴，∵，∴，∵点B，F关于对称，∴设，则，∴，∴，∵，∴，解得：（舍），∴；（3）设由折叠知，∵，∴，解得（舍）或，∴，设PF的解析式为，则，解得，∴直线PF的解析式为：过P作，则，∴，∴，即，∴可设直线的解析式为，把代入得，解得，∴直线的解析式为，，设，∵，∴解得（舍）或，∴．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对称性质，关键是应用方程的思想列出适当的方程求得F、E点的坐标．21．模型建立：（1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点C，过A作于D，过B作于E．求证：；模型应用：（2）已知直线：与y轴交于A点，将直线绕着A点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式；模型拓展：（3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点位于第一象限内．若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或【分析】（1）利用余角的性质证明，再利用即可证明；（2）求出点A和点B的坐标，得到，，过点作交于点，过点作轴于点，同理证明，求出点C坐标，结合点A坐标得到的解析式；（3）分点P是直角顶点和点Q是直角顶点，画出图形，同理运用全等三角形得到相等线段，从而列方程求解．【解析】解：（1），，，在和中，，；（2）直线与坐标轴交于点、，令，则，令，则，则点、的坐标分别为：、，则，，过点作交于点，过点作轴于点，同（1）可证：，，，则点，将点、的坐标代入一次函数表达式：，得：，解得：，∴的表达式为：；（3）∵，∴点Q在直线上，∵，∴，，当点P是直角顶点时，，，过点P作轴，垂足为N，过点Q作，垂足为M，同（1）可证：，∴，∴，解得；，∴点Q坐标为；当点Q为直角顶点时，，，过点Q作轴，垂足为N，延长点P，与的延长线交于点M，同上可证：，∴，∴，解得：，∴点Q的坐标为；当点Q为直角顶点时，，，∴点Q在的垂直平