沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题07特殊平行四边形(难点)(原卷版+解析)

专题07特殊平行四边形（难点）一、单选题1．如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（）A．当四边形是矩形时，四边形是菱形B．当四边形是菱形时，四边形是矩形C．当四边形满足时，四边形是菱形D．当四边形满足，时，四边形是矩形2．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（

）A．26° B．38° C．52° D．64°3．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．4．如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（）A． B． C． D．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：①；②EM//FN；③；④当时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，正方形中，，点、分别在边、上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在矩形中，是延长线上一点，，连接、，过点作于点，为上一点，连接，．若，，则的长为（

）A． B．8 C． D．8．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④9．如图，矩形中，点G，E分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，，则的长度为（）A．6 B．7 C．8 D．910．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，⑤，其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题11．给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________12．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是___.13．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则的值为________________．14．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_____cm．15．已知，如图，在矩形ABCD中，，，点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是______．16．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________．17．如图，直线经过正方形的顶点，先分别过此正方形的顶点、作于点、于点．然后再以正方形对角线的交点为端点，引两条相互垂直的射线分别与，交于，两点．若，，则线段长度的最小值是___．18．如图，菱形中，，点E在对角线上，且，点F在延长线上，连接，作．交延长线于点G，，则_________，延长，交于点H，则的长是________．三、解答题19．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是菱形．20．如图，矩形ABCD和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.（1）求证：；（2）求证：；21．四边形中，对角线于点，且；（1）如图1，若，求四边形的面积；（2）如图2，若，，求；（3）如图3，若，，，求四边形的面积．22．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为．（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．23．如图，正方形中，，，分别是，，上的中点，连结，，，连结分别交，于点，，交于点．（1）求证：；（2）当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点处，若，设．①求的长．②当时，用含代数式表示四边形的面积．③在，整个运动过程中，当，与四边形的两个顶点构成平行四边形时，求的值．24．如图1，已知线段BE＝8，点C是线段BC上的动点，分别以BC，CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF．（1）若BC＝7，则AF的长为；（2）如图2，连接BD交AF于点H，求证：点H恰为AF中点；（3）如图3，连接AC，CF，HG并延长HG交CF于点M，求证：四边形CMHO为矩形；（4）如图4，连接OM，直接写出OM的最小值．25．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，，，与交于点．（1）若，求证：．（2）如图2，连结，，若点在矩形的对角线上，求所有满足条件的的长．（3）如图3，连结，当点到矩形一个顶点的距离等于2时，请直接写出的面积．26．菱形中，，点在的内部或三边上，且．点在线段上，点在线段上，，连接．(1)如图1，当点与点重合时，直接写出的形状；(2)如图2，与交于点，连接且．①若，求菱形的边长；②如图3，若点在上，求的值．27．如图，在中，过点作交于点，且．(1)如图1，过点作且，连接，若，求的长；(2)如图2，点是上一点，且，交于点．求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，且．连接，线段与相交于点．将沿着翻折，点与点重合，连接．请直接写出的值．28．如图1所示，在正方形中，，是对角线上一点，，，分别为垂足，连结．(1)与的数量关系式___________；(2)如图2，过点作，交直线于点，连结．点为中点，回答以下问题：当点在线段上时，求；是否存在一点，使得，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．专题07特殊平行四边形（难点）一、单选题1．如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（）A．当四边形是矩形时，四边形是菱形B．当四边形是菱形时，四边形是矩形C．当四边形满足时，四边形是菱形D．当四边形满足，时，四边形是矩形【答案】C【分析】先证四边形EFGH是平行四边形；再根据选项条件结合矩形、菱形的判定定理进行判断即可．【解析】解：，分别是，的中点，，，，分别是，的中点，，，，，四边形是平行四边形；，分别是，的中点，、分别是、中点，，，当四边形是矩形时，，，四边形是菱形，故A正确，不符合题意；当四边形是菱形时，，，，，四边形是菱形，故B正确，不符合题意；当四边形满足时，不能证明四边形是菱形，故C错误，符合题意；当四边形满足，时，∵，，∴AC是BD的垂直平分线，即∵，∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°∴四边形是矩形，故D正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键2．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（

）A．26° B．38° C．52° D．64°【答案】D【分析】过点作，由正方形的性质，，，四边形为矩形，利用HL易证得，可得，进而可得，由角平分线可得的度数，即可求得得度数．【解析】解：过点作，∵四边形是正方形，∴，，∵，则四边形为矩形，∴，∵，∴（HL），∴，∵，∴，又∵平分，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线，构造全等三角形，利用其性质转化角度是解决问题的关键．3．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明是等边三角形，求出EF，同理可证都是等边三角形，然后求出EH，GF，FG即可．【解析】解：如图，连接BD，AC，∵四边形ABCD是菱形，，∴，，∴，∴，∵，∴，在中，，，∵在和中，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，同法可证，都是等边三角形，∴，，∴四边形EFGH的周长为．故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4．如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，过作，利用面积法求解，的值等于点到的距离，即正方形对角线的一半．【解析】解：连接，过作，如图所示：，，，四边形是正方形，，，，，，，为中点，，即值是．故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：①；②EM//FN；③；④当时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据矩形的性质得到AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，根据平行线的性质得到DE⊥AC，根据垂直的定义得到∠DNA=∠BMC=90°，由全等三角形的性质得到DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE=FC，DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE//BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，在△DNA和△BMC中，，∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=FC，DE=BF，故③正确；∴DE-DN=BFBM，即NE=MF，∵DE//BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM//FN，故②正确；∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=∠ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．6．如图，正方形中，，点、分别在边、上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据沿对折至，得到，，可判定；由折叠和三角形全等，可判定；设，则，，，根据勾股定理，得到，，可以判断；根据，，得到即，可判定；先计算，根据，计算．【解析】沿对折至，四边形ABCD是正方形，，，在和中，，，①正确；由折叠和三角形全等，得，，，，，，②正确；设，则，，，根据勾股定理得：，即，解得，，；③正确；，，，，，，即，；④正确；，，，因为，，⑤正确；故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定和性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．7．如图，在矩形中，是延长线上一点，，连接、，过点作于点，为上一点，连接，．若，，则的长为（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】先证得△CDE是等腰直角三角形，再进一步说明∠EBC=∠CGB得到CG=BC=EG=4,说明三角形BCG为等腰三角形，进而说明GH=BH、∠CHB=90°，再根据直角三角形的性质求得CH=BC=2，进而求得GH=BH=CH=2，最后根据EH=GH+GE求解即可．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠CDA=90°，AD//BC∴∠CDE=90°，∠AEB=∠EBC=30°∵ED=CD∴△CDE是等腰直角三角形∴∠DCE=∠DEC=45°∴∠CEB=45°-30°=15°∵EG=CG∴∠GCE=∠GEB=15°∴∠CGB=∠GCE+∠CEB=30°∴∠EBC=∠CGB∴CG=BC=4∴EG=4∵CH⊥BE∴GH=BH,∠CHB=90°∵∠EBC=30°∴CH=BC=2,GH=BH=CH=2∴EH=GH+EG=4+2．故选A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．8．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确；【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AB，故①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；∵连接CG，∵O、G分别是AC，AD的中点，∴，∴S△ACD＝4S△AOG，∵，∴S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；连接FD，如图：∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三边的距离相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；正确的是①③④，故选C．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．9．如图，矩形中，点G，E分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，，则的长度为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】设，根据折叠的性质表示出，，再利用勾股定理得到DE的长．【解析】解：设，由翻折性质得：，∵，由翻折性质得：，∴，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，和沿，折叠，点B，C落在上的同一点F，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴，故选：B．【点睛】本题考查了图形折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题关键．10．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，⑤，其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】由“”可证，可得，故正确；如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，，故正确；如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故正确；如图1，设，则，利用勾股定理可求,故错误；由三角形的面积公式可求，故正确；【解析】解：四边形是正方形，，，，，，故正确；如图1，在上截取，连接，，,，，,，，，，又，，，，，故正确；如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，，，，，，，，又，，，，在中，，，故正确；，设，则，，如图1，在上截取，连接，由可得：，设，则，，，，，，故错误；如图1，，，，故正确；正确的结论有，共个．故选：【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．二、填空题11．给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________【答案】（1）、（2）、（4）【解析】（1）对角线相等的平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）.12．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是___.【答案】7【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．【解析】∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，∴CG=DG=×8=4，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG(ASA)，∴DE=CF，EG=FG，设DE=x，则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，在Rt△DEG中,EG=，∴EF=，∵FH垂直平分BE，∴BF=EF，∴4+2x=，解得x=3，∴AD=AE+DE=4+3=7，∴BC=AD=7.故答案为7.【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键在于综合运用勾股定理、全等三角形的性质解答即可.13．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则的值为________________．【答案】【分析】连接BE，BD，证明△BCD是等边三角形，证得∠ABE=∠CEB=90°，由折叠可得AF=EF，由EF2=BE2+BF2可求出答案．【解析】解：如图，连接BE，BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD中点，∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠CEB=90°，由折叠可得AF=EF，∵EF2=BE2+BF2，∴EF2=12+（4-EF）2，解得，，∴∴．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．14．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_____cm．【答案】2【分析】连接BP，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝，S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可．【解析】解：连接BP，∵四边形ABCD是菱形，且周长是12cm，面积是6cm2∴AB＝BC＝×12＝3，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝＝3，∴S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE＝3，∴×3×PE＋×3×PF＝3，∴PE＋PF＝3×＝2，故答案为：2．【点睛】此题考查菱形的性质，S△ABP＋S△BPC＝S△ABC＝是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．15．已知，如图，在矩形ABCD中，，，点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是______．【答案】或【分析】依据点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，分两种情况讨论：F在横对称轴上与F在竖对称轴上，分别求出BF的长即可．【解析】解：分两种情况：当F在横对称轴MN上，如图所示，此时，，，，由折叠得，，，，即，，；当F在竖对称轴MN上时，如图所示，此时，，，，，由折叠的性质得，，，，，，是等边三角形，，，，．综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是或．故答案为或．【点睛】本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．16．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________．【答案】+2【解析】如图，在BC上截取BD=AC=2，连接OD，∵四边形AFEB是正方形，∴AO=BO，∠AOB=∠ACB=90°，∴∠CAO=90°-∠ACH，∠DBO=90°-∠BHO，∵∠ACH=∠BHO，∴∠CAO=∠DBO，∴△ACO≌△BDO，∴DO=CO=，∠AOC=∠BOD，∵∠BOD+∠AOD=90°，∴∠AOD+∠AOC=90°，即∠COD=90°，∴CD=，∴BC=BD+CD=．故答案为：．【点睛】本题的解题要点是，通过在BC上截取BD=AC，并结合已知条件证△ACO≌△BDO来证得△COD是等腰直角三角形，这样即可求得CD的长，从而使问题得到解决．17．如图，直线经过正方形的顶点，先分别过此正方形的顶点、作于点、于点．然后再以正方形对角线的交点为端点，引两条相互垂直的射线分别与，交于，两点．若，，则线段长度的最小值是___．【答案】【分析】根据正方形的性质可得，，然后利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，设，，然后列出方程组求出、的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长，根据正方形的对角线平分一组对角可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得时最短，然后求解即可．【解析】在正方形中，，，，，，，在和中，，，，设，，，，，消掉并整理得，，解得，，当，，当，，由勾股定理得，，在正方形中，，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，由垂线段最短可得，时最短，也最短，此时，的最小值为．故答案为．【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出长度最小时的情况．18．如图，菱形中，，点E在对角线上，且，点F在延长线上，连接，作．交延长线于点G，，则_________，延长，交于点H，则的长是________．【答案】【分析】先根据题意求得，如图，过点作，则可的是等边三角形，由可得,,则，,进而根据AAS可证明，进而可得的长，过点作于点，过作于，根据勾股定理可得的长，设，进而求得的长由，可得是等边三角形，进而求得,根据的面积等于，据此列出方程，解方程即可求得,进而求得．【解析】如图，过点作，四边形是菱形，，是等边三角形是等边三角形，,即在和中（AAS）,是等边三角形，过点作于点，过作于，如图，在中，在中，在中，设,是等边三角形，的面积等于整理得因式分解得：解得或（舍）故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．三、解答题19．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据已知条件证明BE＝DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD．∴BE＝DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∵四边形DFBE是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．20．如图，矩形ABCD和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.（1）求证：；（2）求证：；【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据题意可先证明四边形AHCE为平行四边形，再根据正方形的性质得到∴，，故可证明四边形AHGF是平行四边形，即可求解；（2）根据四边形AHGF是平行四边形，得，根据四边形ABCD是矩形，可得，再根据平角的性质及等量替换即可证明.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，且E、H分别为AD、BC的中点，∴，，∴四边形AHCE为平行四边形，∴，，又∵四边形ECGF为正方形，∴，，∴，，∴四边形AHGF是平行四边形，∴；（2）证明：∵四边形AHGF是平行四边形，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，又∵，∴；【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.21．四边形中，对角线于点，且；（1）如图1，若，求四边形的面积；（2）如图2，若，，求；（3）如图3，若，，，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由可得：，从而可得答案；（2）设，，则再证明，利用勾股定理求解从而可得答案；（3）如图3中，过点作于，过点作于．设，则，再证明，可得，而，可得，从而可得：，再证明四边形是矩形，，，再由，列方程，解得，从而可得答案.【解析】解：（1）如图1中，，，，，．（2）如图2中，，可以假设，，则，，，，，．（3）如图3中，过点作于，过点作于．，可以假设，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，整理得，，，经检验：符合题意；．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的特点，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，一元二次方程的解法，二次根式的运算，典型的综合题，知识的系统化与灵活运用是解题的关键.22．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为．（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．【答案】（1）；（2）点F到AD的距离为3，BF=；（3）2【分析】（1）连接DF，证明△ADF≌△CDA，得出CDF共线，然后用勾股定理即可；（2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，证明△EHF≌△CDE，再用勾股定理即可；（3）当B，D，F共线时，此时BF取最小值，求出此时AE的值即可．【解析】解：（1）如图，连接DF，∵∠CAF=90°，∠CAD=45°，∴∠DAF=45°，在△CAD和△FAD中，，∴△CAD≌△FAD（SAS），∴DF=CD，∴∠ADC=∠ADF=90°，∴C，D，F共线，∴BF2=BC2+CF2=42+82=80，∴BF＝，故答案为：；（2）如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，∵四边形CFG是正方形，∴EC=EF，∠FEC=90°，∴∠DEC+∠FEH=90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH，又∵∠EDC=∠FHE=90°，在△ECD和△FEH中，，∴△ECD≌△FEH（AAS），∴FH=ED，∵AD=4，AE=1，∴ED=AD-AE=4-1=3，∴FH=3，即点F到AD的距离为3，∴∠DHK=∠HDC=∠DCK=90°，∴四边形CDHK为矩形，∴HK=CD=4，∴FK=FH+HK=3+4=7，∵△ECD≌△FEH，∴EH=CD=AD=4，∴AE=DH=CK=1，∴BK=BC+CK=4+1=5，在Rt△BFK中，BF＝；（3）∵当A，D，F三点共线时，BF的最短，∴∠CBF=45°，∴FH=DH，由（2）知FH=DE，EH=CD=4，∴ED=DH=4÷2=2，∴AE=2．【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要作辅助线构造全等的三角形，在正方形和三角形中辅助线一般是垂线段，要牢记正方形的两个性质，即四边相等，四个内角都是90°．23．如图，正方形中，，，分别是，，上的中点，连结，，，连结分别交，于点，，交于点．（1）求证：；（2）当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点处，若，设．①求的长．②当时，用含代数式表示四边形的面积．③在，整个运动过程中，当，与四边形的两个顶点构成平行四边形时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①；②；③、、．【分析】（1）通过证明四边形AECG是平行四边形，可得AECG；（2）①由“SAS”可证△ABF≌△DAE，可得∠AFB＝∠AED，AE＝BF＝，由余角的性质可得∠AHF＝90°，由面积法可求解；②先求出点P与点Q的速度比，分别求出PH，HN，NQ的长度，即可求解；③分三种情况讨论，由平行四边形的对边相等列出等式，即可求解．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ABCD，AB＝CD＝AD，∵点E是CD中点，点G是AB的中点，∴AG＝CE，∴四边形AECG是平行四边形，∴AECG；（2）解：①∵AB＝AD＝CD＝10，点F是AD中点，∴AF＝5，∴，∵E，F分别是CD，AD上的中点，∴AF＝FD＝DE＝CE，又∵AB＝AD，∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠AFB＝∠AED，AE＝BF＝，∵∠DAE＋∠AED＝90°，∴∠DAE＋∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，∵，∴,∴AH＝.②如图1，连接PQ，∵AH＝，AB＝10，∴，∵∠ABF＋∠CBF＝90°，∠ABF＋∠BAH＝90°，∴∠CBF＝∠BAH，∵AECG，∴∠AHB＝∠GNB＝90°＝∠BNC，又∵AB＝BC，∴△ABH≌△BCN（AAS），∴CN＝BH＝，BN＝AH＝，∴HN＝，∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点N处，∴点P的速度与点Q的速度比为＝5：4，∵CQ＝4t，∴AP＝5t，∴HP＝AP−AH＝5t−，NQ＝NC−CQ＝−4t，∴＝×（HP＋NQ）×HN＝×（5t−＋−4t）×＝10＋t；③当点P在点H右侧开始有满足条件的平行四边形，若PH＝MQ时，且AEGC，则四边形HPQM是平行四边形，如图，此时，，∴；当HP＝NQ时，且AEGC，则四边形HPQN是平行四边形，如图，此时，，∴；当PE＝QM时，且AEGC，则四边形PEMQ是平行四边形，如图，此时，，∴；综上所述：t的值为或或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求出点P与点Q的速度比是解题的关键．24．如图1，已知线段BE＝8，点C是线段BC上的动点，分别以BC，CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF．（1）若BC＝7，则AF的长为；（2）如图2，连接BD交AF于点H，求证：点H恰为AF中点；（3）如图3，连接AC，CF，HG并延长HG交CF于点M，求证：四边形CMHO为矩形；（4）如图4，连接OM，直接写出OM的最小值．【答案】（1）10；（2）见解析；（3）见解析；（4）4【分析】（1）延长交于，勾股定理求得即可；（2）连接，，连接，可得，再根据平行线的性质证明，可得，进而可得，即证明点H恰为AF中点；（3）延长交于,证明，即可求得，进而证明，根据正方形的性质，可得根据（2）可知，即可求得，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得证；（4）过分别向作垂线，交于点，根据，当重合时，即可求得最小值即为．【解析】（1）延长交于，如图，四边形，是正方形，四边形是矩形，在中，故答案为：；（2）如图，连接，四边形是正方形，,又，四边形是正方形，即即为的中点（3）如图，延长交于,由（2）可知，又，即由（2）可知，则四边形为矩形（4）如图，过分别向作垂线，交于点，则为正方形的中心，因为点为正方形的中心，根据垂线段最短，当时，最小，当重合时，取得最小值，此时的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握以上知识，正确的添加辅助线是解题的关键．25．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，，，与交于点．（1）若，求证：．（2）如图2，连结，，若点在矩形的对角线上，求所有满足条件的的长．（3）如图3，连结，当点到矩形一个顶点的距离等于2时，请直接写出的面积．【答案】（1）见解析；（2）或；（3）①当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；②当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；③当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为．【分析】（1）因为点关于的对称点为点，得到，即点为的中点．因为，，得到点为的中点即可求解；（2）分两种情况：①点在对角线上．，，；②点在对角线上．求出DB和AG，再根据勾股定理即可求解；（3）分三种情况：①当点到矩形顶点的距离等于2时．②当点到矩形顶点的距离等于2时．③当点到矩形顶点的距离等于2时．【解析】（1）证明：∵点关于的对称点为点，∴，即点为的中点．∵，，∴点为的中点，∴为的中位线．∴．（2）分两种情况：①如图1，点在对角线上．∵点关于的对称点为点，∴，，．∴AC=5设，∴，∴，即．②如图2，点在对角线上．∵，，∴．∵S△ABD=∴．∴．设，，∵DG2+GE2=DE2，∴∵S△ADE=∴∴．∴，即．综上：或．（3）分三种情况：①点到矩形顶点A的距离等于2时∵AF=AD=3＞2∴此种情况不存在；②当点到矩形顶点的距离等于2时，连接FB，则BF=2，AF=AD=3过F作FH⊥AB于H，FQ⊥BC于Q，如图，∴∠FHB=∠ABC=∠BQF=90°∴四边形BHFQ是矩形∴FQ=BH设BH=x，则AH=4-x∵FH2=AF2-FH2=FB2-BH2∴4-x2=9-（4-x）2∴x=∴FQ=BH=∴的面积为=．③当点到矩形顶点的距离等于2时，如图，连接BF则FC=2∵AF+FC≥AC，又AF+FC=5，AC=5∴AC+FC=AC∴A，C，F三点共线，F在线段AC上∵∴=即的面积为．④当点到矩形顶点的距离等于2时，连接BF，过F点作MNAB则DF=2∴DG=FG=1∴AG=∵∴MF=∴NF=MN-MF=4-∴的面积为=．综上①当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；②当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；③当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为．【点睛】此题考查了四边形的综合、轴对称的性质和矩形的性质，掌握它