专题06乘法公式（4个知识点9种题型2种中考考法）（解析版）

专题06乘法公式（4个知识点9种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：平方差公式知识点2：平方差公式的应用知识点3：完全平方公式知识点4：完全平方公式的应用【方法二】实例探索法题型1：平方差公式的特征题型2：利用平方差公式进行计算题型3：利用平方差公式进行化简求值题型4：利用平方差公式进行综合运算题型5：平方差公式的应用题型6：完全平方公式的特征题型7：利用完全平方公式进行计算题型8：利用完全平方公式进行综合运算题型9：完全平方公式的应用【方法三】仿真实战法考法1：平方差公式考法2：完全平方公式【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．知识点2：平方差公式的应用（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．知识点3：完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．知识点4：完全平方公式的应用（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）【方法二】实例探索法题型1：平方差公式的特征1．（2022秋•嘉定区校级期中）下列各式计算中，结果正确的是（）A．（x﹣2）（2+x）＝x2﹣2 B．（x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 C．（﹣x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 D．（ab﹣c）（ab+c）＝a2b2﹣c2【分析】根据平方差公式的特征：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，可利用平方差公式计算即可．【解答】解：A、应为（x﹣2）（2+x）＝x2﹣4，故本选项错误；B、（x+2）（3x﹣2）＝3x2+4x﹣4，故本选项错误；C、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，故本选项错误；D、本选项符合平方差公式的特征，并且计算正确，故本选项正确故选：D．【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．2．（2022秋•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（a﹣2b） B．（b﹣2a）（﹣2a﹣b） C．（2a+b）（﹣2a﹣b） D．（a﹣2b）（2b﹣a）【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．【解答】解：A、（2a+b）（a﹣2b）不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；B、（b﹣2a）（﹣2a﹣b）＝（2a﹣b）（2a+b）＝4a2﹣b2，故此选项符合题意；C、（2a+b）（﹣2a﹣b）＝﹣（2a+b）2，故此选项不符合题意；D、（a﹣2b）（2b﹣a）＝﹣（a﹣2b）2，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．题型2：利用平方差公式进行计算3．（2022秋•宝山区校级期中）计算：＝．【分析】先提取公因式﹣1，再利用平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝﹣（a﹣）（a+）＝﹣（a2﹣）＝﹣a2．故答案为：﹣a2．【点评】此题考查的是平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．4．（2022秋•长宁区校级期中）计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，据此计算即可．【解答】解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝（1﹣4a2）（1+4a2）＝1﹣16a4．故答案为：1﹣16a4．【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．5．（2022秋•黄浦区期中）计算：（2a﹣b）（b+2a）＝．【分析】根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式＝（2a﹣b）（2a+b）＝（2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，故答案为：4a2﹣b2．【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．6．（2022秋•宝山区校级月考）计算：＝．【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：原式＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平方差公式，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式．7．（2022秋•闵行区期中）计算：（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）（结果用幂的形式表示）．【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：原式＝×（232+1）＝＝＝＝＝．【点评】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式解答．题型3：利用平方差公式进行化简求值8．（2022秋•长宁区校级期中）已知x+y＝7，y＝3，求（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）的值．【分析】先根据所给条件求出x的值，然后再利用平方差公式代值计算即可．【解答】解：∵x+y＝7，y＝3，∴x＝4，∴（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）＝（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）＝（x2﹣1）（y2﹣1），把x＝4，y＝3代入求值，原式＝（42﹣1）（32﹣1）＝15×8＝120，答：（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）的值为120．【点评】本题主要考查了代数式求值，正确求出x的值，再利用平方差求解是解题的关键．题型4：利用平方差公式进行综合运算9．（2022秋•浦东新区期中）计算：＝．【分析】直接利用平方差公式因式分解，再进一步找出规律计算即可．【解答】解：原式＝（1﹣）×××…×＝×…×＝＝．故答案为：．【点评】此题考查利用平方差公式因式分解，注意算式的特点，灵活计算．10．（2022秋•上海期末）计算：（x﹣2y）（x+2y）﹣x（x﹣y）．【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则求解即可．【解答】解：（x﹣2y）（x+2y）﹣x（x﹣y）＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．【点评】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．11．（2022秋•嘉定区期中）计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则计算即可．【解答】解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）＝x2﹣4﹣6x2+18x＝﹣5x2+18x﹣4．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．要注意：平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．题型5：平方差公式的应用12．（2021春•静安区期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．13．（2022秋•黄浦区期中）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，图2拼成的是长为a+b，宽为a﹣b的矩形，因此面积为（a+b）（a﹣b），∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．14．（2022秋•静安区校级期中）简便运算：198×202．【分析】将原式化为（200﹣2）×（200+2），然后利用平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝（200﹣2）×（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996．【点评】此题考查的是平方差公式的运用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．15．（2022秋•闵行区期中）用乘法公式计算：50.2×49.8．【分析】根据平方差公式进行解答便可．【解答】解：50.2×49.8＝（50+0.2）×（50﹣0.2）＝502﹣0.22＝2500﹣0.04＝2499.96．【点评】本题考查了有理数乘法，平方差公式，灵活应用平方差公式是解题的关键．16．（2022秋•长宁区校级期中）．【分析】原式把2021×2023变形为（2022+1）×（2022﹣1），运用平方差公式进行计算求解即可．【解答】解：＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式的特征是解答本题的关键．17．（2022秋•青浦区校级期中）用乘法公式计算：99×101．【分析】将99化为（100﹣1），将101化为（100+1），正好构造成平方差公式，再利用公式计算即可．【解答】解：由平方差公式，得99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999．【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，能够正确构造成平方差公式结构形式是解题的关键．18．（2022秋•浦东新区校级期中）计算：20212﹣2020×2022．【分析】根据平方差公式解决此题．【解答】解：20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．19．（2022秋•闵行区期中）利用公式计算：1001×999﹣9972．【分析】将原式进行变形为（1000+1）×（1000﹣1）﹣（1000﹣3）2，再利用平方差公式和完全平方公式展开计算即可．【解答】解：（3）1001×999﹣9972＝（1000+1）×（1000﹣1）﹣（1000﹣3）2＝10002﹣1﹣10002+6000﹣9＝6000﹣10＝5990．【点评】本题考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．20．（2022秋•闵行区期中）如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，求阴影部分的面积．【分析】设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得b2﹣a2＝6．再根据图形写出S阴的表达式，将b2﹣a2＝6整体代入计算即可．【解答】解：设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得：b2﹣a2＝6．由图形可得：S阴＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）＝ab﹣a2+b2﹣ab＝（b2﹣a2）＝×6＝3．故阴影部分的面积为3．【点评】本题考查了整式的乘法在几何图形面积计算中的应用，根据图形正确列出算式是解题的关键．题型6：完全平方公式的特征21．（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）A．（a+b）2＝a2+ab+b2 B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2 C．（1+a）2＝a2+2a+1 D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，注意：平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式是：（a±b）2＝a2±2ab+b2．题型7：利用完全平方公式进行计算22.计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1)．(2)．(3)．(4)．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意之间的转化．题型8：利用完全平方公式进行综合运算23．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣7．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键．24．（2022秋•宝山区校级期中）计算：（a+2b）2﹣2b（a﹣b）．【分析】根据完全平方公式及整式加减法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2﹣2ab+2b2＝a2+2ab+6b2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及整式加减法则进行求解是解决本题的关键．25．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+y）2﹣2（x﹣y）（2x+y）．【分析】直接利用完全平方公式和平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2（2x2﹣xy﹣y2）＝x2+2xy+y2﹣4x2+2xy+2y2＝﹣3x2+4xy+3y2．【点评】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握其公式结构是解题关键．26．（2022秋•奉贤区期中）计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．【分析】根据完全平方公式、平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2＝﹣2a2+ab﹣3b2．【点评】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．题型9：完全平方公式的应用27．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（）cm2．A．25 B．10a C．25+5a D．25+10a【分析】完全平方公式（a+b）＝a2+2ab+b2的应用．【解答】解：原正方形的面积＝a2（cm2）新正方形的面积＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2所以增加的面积＝（10a+25）cm2．故本题选D．【点评】本题主要是考查了完全平方公式的应用．28．（2022秋•宝山区校级期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一张小正方形纸片再剪成四个面积相等的小正方形纸片，如此剪下去，第n次剪好后，所得到的所有正方形纸片的个数是（）A．4n B．3n C．3n+1 D．2n+2【分析】通过观察已知图形可得：每剪一次都比上一次增加3个正方形纸片；所以可得规律为：第n次操作后共得到4+3（n﹣1）．【解答】解：分析可得：每次都比上一次增加3个．∴第n次操作后共得到4+（n﹣1）×3＝（3n+1）个．故选：C．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．29．（2022秋•静安区校级期中）已知a+b＝6，a2+b2＝20，则ab的值为．【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝20，即36﹣2ab＝20，解得ab＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．30．（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（8a+4b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为．【分析】根据正方形的周长公式求出其边长，再根据面积公式进行计算即可．【解答】解：一个正方形的周长为（8a+4b），所以边长为（2a+b），所以面积为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故答案为：4a2+4ab+b2．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．31．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）利用完全平方公式计算：．【答案】【分析】根据完全平方公式计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键．32．（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则解答即可．【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，﹣13x＝﹣33，∴x＝．【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则．33．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b+c）2．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣2b）2+c2+2c（a﹣2b）＝a2﹣4ab+4b2+c2+2ac﹣4bc．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．34．（2022秋•静安区校级期中）已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．【分析】根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，由ab＝3，a﹣b＝4，即可算出a2+b2的值，再由2a2+7ab+2b2，可得2（a2+b2）+7ab，代入计算即可得出答案．【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．35．（2022秋•嘉定区校级期中）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的等式．【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．【解答】解：空白部分为正方形，边长为：（a﹣b），面积为：（a﹣b）2．空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．36．（2022秋·七年级单元测试）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）∙（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．【方法三】仿真实战法考法1：平方差公式1．（2022•上海）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；B、（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用以及合并同类项法则，积的乘方的运算法则，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．考法2：完全平方公式2．（2018•上海）计算：（a+1）2﹣a2＝．【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案为：2a+1【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【方法四】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】注意平方差公式的特征：两个二项式相乘，其中一项相等，另一项互为相反数即可运用平方差公式．【详解】解：，∴不能运用平方差公式．故选：D.【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键．2．（2021秋·上海·七年级校联考期末）下列各式是完全平方式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据完全平方公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、，故本选项正确；B、应为，故本选项错误；C、应为，故本选项错误；D、应为，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟记公式结构是解题的关键．3．（2022秋·上海·七年级专题练习）已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】C【分析】根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．【详解】∵，∴，即4ab＝4，解得，ab＝1．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键．4．（2021秋·上海杨浦·七年级统考期中）将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【详解】解：A.4x2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意；B.4x2+4x+1=（2x+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；C.4x2-4x+1=（2x-1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；D.4x4+4x2+1=（2x2+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．5．（2021秋·上海·七年级期中）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形.根据图形能验证的等式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2-b2，新的图形面积等于（a+b）（a-b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【详解】图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2-b2；通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a-b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2-b2=（a+b）（a-b）．故选B．【点睛】考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后的面积不变得到等量关系．6．（2021秋·上海·七年级期中）在下列多项式中，与-x-y相乘的结果为x2－y2的多项式是(

)A．x－y B．x＋y C．–x＋y D．–x－y【答案】C【分析】依据多项式乘多项式法则进行判断即可．【详解】解：（x-y）（-x-y）=y2-x2，故A错误；（-x-y）（x+y）=-x2-2xy-y2，故B错误；（-x+y）（-x-y）=x2-y2，故C正确；（-x-y）（-x-y）=x2+2xy+y2，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查的是多项式乘多项式和平方差公式，熟练掌握多项式乘多项式法则以及平方差公式是解题的关键．二、填空题7．（2022秋·上海·七年级校联考期末）若是一个完全平方式，则．【答案】【分析】根据完全平方式的结构特征解决此题．【详解】解：．∵是一个完全平方式，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．8．（2020秋·上海浦东新·七年级校考期中）将多项式表示成的形式．【答案】【分析】将原式变形为即可得出结果．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．9．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）如图（1），是一个长为，宽为的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积为．【答案】【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积矩形的面积即可得出答案．【详解】解：由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为，又原矩形的面积为，中间空的部分的面积．故答案为：．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是求出正方形的边长．10．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）计算：【答案】【分析】利用平方差公式进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：．11．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）如果二次三项式是完全平方式，那么常数【答案】【分析】根据完全平方公式的构成即可求得结果．【详解】解：∵二次三项式是完全平方式，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方公式是解题的关键：．12．（2020秋·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）已知：，则．【答案】【分析】先把原等式化成两个完全平方式的和，根据完全平方式的非负性求出的值，再代入求值即可．【详解】解：，，，，，，故答案为：【点睛】本题考查了完全平方式的定义及性质，乘方运算，本题的关键是根据完全平方式的非负性求出的值．13．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）计算：．【答案】/【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）已知：，则．【答案】【分析】将方程两边同时除以字母x，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解．【详解】解：将方程两边同时除以字母x得：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．15．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）若是一个完全平方式，则实数的值为【答案】/或8/8或【分析】根据完全平方式的一般形式求解即可．【详解】解：是一个完全平方式，，,故答案为：．【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的一般形式是解答的关键．16．（2020秋·上海嘉定·七年级统考期末）计算：.【答案】【分析】根据平方差公式计算即可.【详解】；故答案为.【点睛】本题考查了整式的乘法解题的关键是熟练掌握平方差公式.17．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）已知，那么．【答案】17【分析】对已知等式变形，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：17．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握是解题的关键．18．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）如果二次三项式是完全平方式，那么常数a的值为．【答案】【分析】根据完全平方式的特征进行计算即可．【详解】解：根据完全平方式的特征，可知：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方式的相关知识．形如：或的式子称为完全平方式．本题属于易错知识点，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．三、解答题19．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）简便运算：．【答案】【分析】利用平方差公式计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了平方差公式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．20．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）计算：．【答案】【分析】先根据多项式乘以多项式和完全平方公式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．21．（2021秋·上海·七年级统考期末）计算：．【答案】【分析】两次用平方差公式即可算得答案．【详解】【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握平方差公式．22．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）计算：．【答案】【分析】把看作一个整体，再运用平方差公式进行计算即可求解.【详解】解：【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟记平方差公式和完全平方公式．23．（2020秋·上海浦东新·七年级校考期中）若规定：．计算：，其中．【答案】，．【分析】按照新规定列式，利用乘法公式去括号，整理，再代入数据求解即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．24．（2020秋·上海浦东新·七年级校考阶段练习）图a是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于(2)请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积方法1：方法2：(3)观察图b，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，则．【答案】(1)(2)，(3)(4)29【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法1：根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积；方法2：直接利用正方形的面积公式即可得；（3）根据（2）中两种方法所求的面积相等即可得出结论；（4）根据（3）中的等量关系，代入计算即可得．【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的正方形的边长等于，故答案为：．（2）解：方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则阴影部分的面积等于，方法2：阴影部分的面积等于小正方形的面积，则阴影部分的面积等于，故答案为：，．（3）解：由（2）可知，．（4）解：，，故答案为：29．【点睛】本题主要考查了完全平方公式与几何图形，熟练掌握完全平方公式是解题关键．25．（2022秋·上海·七年级专题练习）工厂接到订单