第五章　§5.5　复　数-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§5.5复数课标要求1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部，i为虚数单位．(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.))(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).常用结论1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．4．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z＝0没有共轭复数．(×)(2)复数可以比较大小．(×)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(×)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)2．(必修第二册P95T1(3)改编)已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限．3．(2023·合肥模拟)已知i是虚数单位，若|1＋ai|＝5，则实数a等于()A．2B．2eq\r(6)C．－2D．±2eq\r(6)答案D解析∵|1＋ai|＝5，∴eq\r(12＋a2)＝5，解得a＝±2eq\r(6).4．已知复数z满足z(1－i)＝i(i为虚数单位)，则z的虚部为________．答案eq\f(1,2)解析由z(1－i)＝i，得z＝eq\f(i,1－i)＝eq\f(i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，所以z的虚部为eq\f(1,2).题型一复数的概念例1(1)(多选)(2023·银川模拟)若复数z满足z(1－2i)＝10，则()A.eq\x\to(z)＝2－4iB．z－2是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若角α的始边为x轴非负半轴，复数z对应的点在角α的终边上，则sinα＝eq\f(\r(5),5)答案AB解析对于A，z＝eq\f(10,1－2i)＝eq\f(101＋2i,1－2i1＋2i)＝2＋4i，∴eq\x\to(z)＝2－4i，故A正确；对于B，z－2＝2＋4i－2＝4i，为纯虚数，故B正确；对于C，z＝2＋4i，其在复平面内对应的点为(2,4)，在第一象限，故C错误；对于D，复数z在复平面内对应的点为(2,4)，则sinα＝eq\f(4,\r(22＋42))＝eq\f(2\r(5),5)，故D错误．(2)(2024·杭州模拟)若复数z满足z(1＋i)＝－2＋i(i是虚数单位)，则|z|等于()A.eq\f(\r(10),2)B.eq\f(5,4)C.eq\f(5,2)D.eq\f(\r(5),2)答案A解析依题意，z(1＋i)＝－2＋i，z＝eq\f(－2＋i,1＋i)＝eq\f(－2＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－1＋3i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(10),2).(3)(多选)(2023·永州模拟)若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有两个不同复数根x1和x2，其中x1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i(i是虚数单位)，则下面四个选项正确的有()A．m＝1 B．x1>x2C．xeq\o\al(3,1)＝1 D．xeq\o\al(2,2)＝eq\x\to(x)2答案ACD解析由题可知，x1＋x2＝－1，所以x2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，m＝x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝1，故A正确；x1，x2均为虚数，不能比较大小，故B错误；xeq\o\al(3,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))3＝1，故C正确；xeq\o\al(2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i＝eq\x\to(x)2，故D正确．思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1(1)(多选)下面是关于复数z＝－1－i(i为虚数单位)的命题，其中真命题为()A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1答案BD解析A选项，|z|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，A错误；B选项，z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，B正确；C选项，z的共轭复数为－1＋i，C错误；D选项，z的虚部为－1，D正确．(2)(2023·淄博模拟)若复数z＝eq\f(2＋i,a＋i)的实部与虚部相等，则实数a的值为()A．－3B．－1C．1D．3答案A解析z＝eq\f(2＋i,a＋i)＝eq\f(2＋ia－i,a＋ia－i)＝eq\f(2a＋1＋a－2i,a2＋1)，因为复数z＝eq\f(2＋i,a＋i)的实部与虚部相等，所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，故实数a的值为－3.(3)(2023·怀化模拟)若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则|z|等于()A.eq\r(2)B．1C．2D．3答案B解析∵x2＋x＋1＝0，∴由求根公式得x＝eq\f(－1±\r(1－4),2)＝eq\f(－1±\r(3)i,2)，即z＝eq\f(－1±\r(3)i,2)，∴当z＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i时，|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1，当z＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i时，|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2)＝1.综上，|z|＝1.题型二复数的四则运算例2(1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，则z－eq\x\to(z)等于()A．－iB．iC．0D．1答案A解析因为z＝eq\f(1－i,2＋2i)＝eq\f(1－i1－i,21＋i1－i)＝eq\f(－2i,4)＝－eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)i，即z－eq\x\to(z)＝－i.(2)(多选)(2023·忻州模拟)下列关于非零复数z1，z2的结论正确的是()A．若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2∈RB．若z1·z2∈R，则z1，z2互为共轭复数C．若z1，z2互为共轭复数，且z2≠0，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1D．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1，则z1，z2互为共轭复数答案AC解析设z1＝a＋bi(a，b∈R)，由z1，z2互为共轭复数，得z2＝a－bi，则z1·z2＝a2＋b2∈R，故A正确；当z1＝2＋2i，z2＝1－i时，z1·z2＝4∈R，此时z1，z2不是共轭复数，故B错误；由z1，z2互为共轭复数，得|z1|＝|z2|，又z2≠0，从而eq\f(|z1|,|z2|)＝1，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1，故C正确；当z1＝2＋i，z2＝1－2i时，|z1|＝|z2|，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1，此时z1，z2不是共轭复数，故D错误．思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2(1)(2022·新高考全国Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i答案D解析(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.(2)(2023·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则eq\x\to(z)的虚部为()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析∵z·i3＝1－2i，∴－zi＝1－2i，∴z＝eq\f(1－2i,－i)＝eq\f(1－2ii,－i2)＝2＋i，∴eq\x\to(z)＝2－i，∴eq\x\to(z)的虚部为－1.题型三复数的几何意义例3(1)(2023·渭南模拟)棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数z满足z·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,8)＋i·sin\f(π,8)))6＝|1＋i|，则复数z对应的点Z落在复平面内的()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析z·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,8)＋i·sin\f(π,8)))6＝|1＋i|，根据棣莫弗公式可知，z·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,4)＋i·sin\f(3π,4)))＝z·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝eq\r(2)，即z·(－1＋i)＝2，则z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝－1－i，复数z对应的点Z(－1，－1)落在复平面内的第三象限．(2)(2023·邢台模拟)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋eq\r(3)i|的最小值为()A．5B．4C．3D．2答案B解析因为z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，由|z－i|＝|z＋2－i|，可得eq\r(a2＋b－12)＝eq\r(a＋22＋b－12)，解得a＝－1，则z＝－1＋bi，所以z－3＋eq\r(3)i＝－4＋(b＋eq\r(3))i，因此|z－3＋eq\r(3)i|＝eq\r(－42＋b＋\r(3)2)≥4，当且仅当b＝－eq\r(3)时，等号成立，故|z－3＋eq\r(3)i|的最小值为4.思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可以把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．跟踪训练3(1)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)答案C解析∵z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，∴eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(－3，－4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(7,1)，∴eq\o(OZ1,\s\up6(→))·eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝－21－4＝－25，∴cos∠Z1OZ2＝eq\f(\o(OZ1,\s\up6(→))·\o(OZ2,\s\up6(→)),|\o(OZ1,\s\up6(→))||\o(OZ2,\s\up6(→))|)＝eq\f(－25,5×5\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，又∠Z1OZ2∈[0，π]，∴∠Z1OZ2＝eq\f(3π,4).(2)(2023·太原模拟)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为()A．1B.eq\r(5)－1C.eq\r(5)＋1D．3答案B解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝eq\r(x－22＋y2)＝1，所以(x－2)2＋y2＝1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图，又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝eq\r(x2＋y－12)，所以|z－i|表示圆C上的动点到定点A(0,1)的距离，所以|z－i|min＝CA－1＝eq\r(5)－1.课时精练一、单项选择题1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则()A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3答案B解析因为a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，所以a＝－1，b＝3.2．(2023·西安模拟)已知i是虚数单位，复数z满足z－i＝eq\f(3＋i,1＋i)，则复数z的共轭复数为()A．2B．－2C．2iD．－2i答案A解析因为z－i＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，所以z＝2，所以复数z的共轭复数为2.3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(2＋ai)i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数eq\x\to(z)＋ai在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析∵z＝(2＋ai)i＝－a＋2i，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，∴－a＝2，解得a＝－2，∴z＝2＋2i，∴eq\x\to(z)＝2－2i，即eq\x\to(z)＋ai＝2－4i，∴复数eq\x\to(z)＋ai在复平面内对应的点是(2，－4)，位于第四象限．4．(2024·梅州模拟)已知复数z1＝a＋i，a∈R，z2＝1－2i，且z1·eq\x\to(z)2为纯虚数，则|z1|等于()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D.eq\r(6)答案C解析复数z1＝a＋i，z2＝1－2i，则z1·eq\x\to(z)2＝(a＋i)(1＋2i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＝0，,2a＋1≠0，))解得a＝2，即z1＝2＋i，所以|z1|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).5．已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n等于()A．0B．1C．2D．4答案D解析由1－i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则1＋i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2，即m＝2，n＝2，则m＋n＝4.6．(2023·齐齐哈尔模拟)已知复数z1与z＝3＋i在复平面内对应的点关于实轴对称，则eq\f(z1,2＋i)等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案B解析因为复数z1与z＝3＋i在复平面内对应的点关于实轴对称，所以z1＝3－i，所以eq\f(z1,2＋i)＝eq\f(3－i,2＋i)＝eq\f(3－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(5－5i,5)＝1－i.7．(2024·沧州模拟)设复数z满足|z－1＋i|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4答案D解析复数z满足z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x－1＋(y＋1)i|＝2，∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4.8．(2023·贵阳模拟)欧拉公式exi＝cosx＋isinx由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是()A．对应的点位于第二象限B．为纯虚数C.eq\f(eπi,\r(3)＋i)的模为eq\f(1,2)D．的共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i答案D解析对于A，＝coseq\f(2π,3)＋isineq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，对应的点位于第二象限，故A正确；对于B，＝coseq\f(π,2)＋isineq\f(π,2)＝i，为纯虚数，故B正确；对于C，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(eπi,\r(3)＋i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosπ＋isinπ,\r(3)＋i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1,\r(3)＋i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(i,4)))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(1,2)，故C正确；对于D，＝coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，所以的共轭复数为eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i，故D错误．二、多项选择题9．(2023·衡阳模拟)已知i为虚数单位，则下列结论中正确的是()A．i＋i2＋i3＋i4＝0B．3＋i>1＋iC．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2D．复数－2－i的虚部为－1答案AD解析对于A，由虚数的运算性质，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正确；对于B，虚数不能比较大小，故B不正确；对于C，当z＝i时，|z|2＝1，z2＝－1，此时|z|2≠z2，故C不正确；对于D，根据复数的概念，可得复数－2－i的虚部为－1，故D正确．10．已知复数z1，z2，eq\x\to(z)1为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是()A．z1＋eq\x\to(z)1为实数B．|eq\x\to(z)1|＝|z1|C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2D．|z2eq\x\to(z)1|＝|z2z1|答案ABD解析设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)1＝x－yi，对于A，z1＋eq\x\to(z)1＝2x∈R，故A正确；对于B，|z1|＝eq\r(x2＋y2)，|eq\x\to(z)1|＝eq\r(x2＋y2)，∴|eq\x\to(z)1|＝|z1|，故B正确；对于C，当z1＝3＋4i，z2＝5时，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故C错误；对于D，z2eq\x\to(z)1＝(a＋bi)(x－yi)＝(ax＋by)＋(bx－ay)i，|z2eq\x\to(z)1|＝eq\r(ax＋by2＋bx－ay2)＝eq\r(x2＋y2a2＋b2)，z2z1＝(a＋bi)(x＋yi)＝(ax－by)＋(bx＋ay)i，|z2z1|＝eq\r(ax－by2＋bx＋ay2)＝eq\r(x2＋y2a2＋b2)，∴|z2eq\x\to(z)1|＝|z2z1|，故D正确．三、填空题11．(2024·天津模拟)已知i是虚数单位，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4＋2i,1－i)))的值为________．答案eq\r(10)解析因为eq\f(4＋2i,1－i)＝eq\f(4＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2＋6i,2)＝1＋3i，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4＋2i,1－i)))＝|1＋3i|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).12．写出一个同时满足①②的复数z＝________.①z3＝eq\x\to(z)；②z∉R.答案i(或－i)解析因为z∉R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)，则(bi)3＝－b3i＝－bi，解得b＝±1，即z＝±i符合．13．(2023·潍坊模拟)在复平面内，复数z与eq\f(2,1－i)对应的点关于虚轴对称，则z＝________.答案－1＋i解析由题意得eq\f(2,1－i)＝1＋i，∵复数z与eq\f(2,1－i)对应的点关于虚轴对称，∴z＝－1＋i.14．(2023·成都检测)已知|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最大值为________．答案2eq\r(2)＋1解析设z＝x＋yi，其中x，y∈R，由|z|＝1，可得x2＋y2＝1，根据复数z的几何意义可得复数z表示以原点O为圆心，1为半径的单位圆，则|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝eq\r(x－22＋y－22)，可得|z－2－2i|表示单位圆上的点到点P(2,2)的距离，因为PO＝2eq\r(2)，所以|z－2－2i|的最大值为PO＋r＝2eq\r(2)＋1.15．已知复数z1，z2和z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为()A．2eq\r(3)B．3C.eq\r(3)D．1答案B解析根据题意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此时|z|＝3，所以|z|max＝3.16．在复平面内，已知点A(－1,0)，B(0,3)，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，且满足|z1|＝|z2|＝2，Z1Z2＝4，则eq\o(AZ1,\s\up6(→))·eq\o(BZ2,\s\up6(→))的最大值为__________．答案2eq\r(10)－4解析因为复