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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设为虚数单位,为复数,若为实数,则()A. B. C. D.2.已知,,则()A. B. C.3 D.43.若平面向量,满足,则的最大值为()A. B. C. D.4.已知集合,,则()A. B.C. D.5.已知集合A,则集合()A. B. C. D.6.如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为()A.2 B. C.6 D.87.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.48.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()A. B. C. D.9.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为()A.1 B. C. D.10.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则()A. B.0 C.1 D.311.公元前世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了米,此时乌龟便领先他米,当阿基里斯跑完下一个米时,乌龟先他米,当阿基里斯跑完下-个米时,乌龟先他米....所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为()A.米 B.米C.米 D.米12.曲线在点处的切线方程为,则()A. B. C.4 D.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,若,则的范围为________.14.已知,,,且,则的最小值为___________.15.如图,在梯形中,∥,分别是的中点,若,则的值为___________.16.函数(为自然对数的底数,),若函数恰有个零点,则实数的取值范围为__________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线l的极坐标方程为,圆C的参数方程为(为参数).(1)请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程;(2)求直线l被圆截得的弦长.18.(12分)已知矩阵,.求矩阵;求矩阵的特征值.19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.20.(12分)已知函数.(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间;(2)已知,若,,,求的面积.21.(12分)已知函数,,若存在实数使成立,求实数的取值范围.22.(10分)在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如:该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置.记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为.(1)分别求、、的值;(2)求的表达式.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
可设,将化简,得到,由复数为实数,可得,解方程即可求解【详解】设,则.由题意有,所以.故选:B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算,由复数的类型求解对应参数,属于基础题2、A【解析】
根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.3、C【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达,利用向量数量积的性质,化简为三角函数最值.【详解】由题意可得:,,,故选:C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.4、C【解析】
求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.5、A【解析】
化简集合,,按交集定义,即可求解.【详解】集合,,则.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.6、A【解析】
先由三视图确定该四棱锥的底面形状,以及四棱锥的高,再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知,该四棱锥为斜着放置的四棱锥,四棱锥的底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,四棱锥的高为2,所以该四棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图,由几何体的三视图先还原几何体,再由体积公式即可求解,属于常考题型.7、A【解析】
根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、A【解析】
根据是中点这一条件,将棱锥的高转化为球心到平面的距离,即可用勾股定理求解.【详解】解:设点到平面的距离为,因为是中点,所以到平面的距离为,三棱锥的体积,解得,作平面,垂足为的外心,所以,且,所以在中,,此为球的半径,.故选:A.【点睛】本题考查球的表面积,考查点到平面的距离,属于中档题.9、A【解析】
设,因为,得到,利用直线的斜率公式,得到,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,抛物线的焦点坐标为,设,因为,即线段的中点,所以,所以直线的斜率,当且仅当,即时等号成立,所以直线的斜率的最大值为1.故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用,直线的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.10、C【解析】
先根据奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【详解】因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数,,用替换,得,化简得,即令,所以,故选C。【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。11、D【解析】
根据题意,是一个等比数列模型,设,由,解得,再求和.【详解】根据题意,这是一个等比数列模型,设,所以,解得,所以.故选:D【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用,还考查了建模解模的能力,属于中档题.12、B【解析】
求函数导数,利用切线斜率求出,根据切线过点求出即可.【详解】因为,所以,故,解得,又切线过点,所以,解得,所以,故选:B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
借助正切的和角公式可求得,即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由,借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.【详解】,所以,.因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.14、【解析】
由,先将变形为,运用基本不等式可得最小值,再求的最小值,运用函数单调性即可得到所求值.【详解】解:因为,,,且,所以因为,所以,当且仅当时,取等号,所以令,则,令,则,所以函数在上单调递增,所以所以则所求最小值为故答案为:【点睛】此题考查基本不等式的运用:求最值,注意变形和满足的条件:一正二定三相等,考查利用单调性求最值,考查化简和运算能力,属于中档题.15、【解析】
建系,设设,由可得,进一步得到的坐标,再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以A为坐标原点,AD为x轴建立如图所示的直角坐标系,设,则,所以,,由,得,即,又,所以,故,,所以.故答案为:2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积,考查学生的运算求解能力,是一道中档题.16、【解析】
令,则,恰有四个解.由判断函数增减性,求出最小值,列出相应不等式求解得出的取值范围.【详解】解:令,则,恰有四个解.有两个解,由,可得在上单调递减,在上单调递增,则,可得.设的负根为,由题意知,,,,则,.故答案为:.【点睛】本题考查导数在函数当中的应用,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).x2+y2=1.(2)16【解析】
(1)直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.(2)圆心到直线的距离为,故弦长为得到答案.【详解】(1),即,即,即.,故.(2)圆心到直线的距离为,故弦长为.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程,圆的弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.18、;,.【解析】
由题意,可得,利用矩阵的知识求解即可.矩阵的特征多项式为,令,求出矩阵的特征值.【详解】设矩阵,则,所以,解得,,,,所以矩阵;矩阵的特征多项式为,令,解得,,即矩阵的两个特征值为,.【点睛】本题考查矩阵的知识点,属于常考题.19、(Ⅰ)(为参数);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)设点,,则,代入化简得到答案.(Ⅱ)分别计算,的极坐标方程为,,取代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)设点,,,故,故的参数方程为:(为参数).(Ⅱ),故,极坐标方程为:;,故,极坐标方程为:.,故,,故.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.20、(1)最小正周期为,单调递增区间为;(2).【解析】
(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期,解不等式可求得该函数的单调递增区间;(2)由求得,由得出或,分两种情况讨论,结合余弦定理解三角形,进行利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1),所以,函数的最小正周期为,由得,因此,函数的单调递增区间为;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①当时,即,则由,,得,则,此时,的面积为;②当时,则,即,则由,解得,,.综上,的面积为.【点睛】本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解,同时也考查了三角形面积的计算,涉及余弦定理解三角形的应用,考查计算能力,属于中等题.21、【解析】试题分析:先将问题“存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.试题解析:存在实数使成立,等价于的最大值大于,因为,由柯西不等式:,所以,当且仅当时取“”,故常数的取值范围是.考点:柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.22、(1),,,(2)【解析】
(1)根据机器人的进行规律可确定、、的值;(2)首先根据机器人行进规则知机器人沿轴行进步,必须沿轴负方向行进相同的步数,而余下的每一步行进方向都有两个选择(向上或向下)
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