高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全

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必修1数学知识点

第一章、集合与函数概念

?1.1.K集合

1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:

确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。

*3、常见集合:正整数集合:或，整数集合：，有理数集合：，实数集合:.

ZRNNQ,

4、集合的表示方法:列举法、描述法.

集合间的基本关系

1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的

元素，则称集合A是集合B的

A,B子集。记作.

A,Bx,Bx,A2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记

作:AB.

,3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:•并规定:空集合是任何集合的子

集.

n4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集.2

?1.1.3、集合间的基本运算

A:B1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A

与B的并集.记作:.

A:B2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A

与B的交集.记作:.3、全集、补集，CAxxUxU,且U

?1.2.K函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中

的任意一个数，在集合B中都xf

有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记

作：.,,,,fxy,fx,x,Af:A,B

2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域

相同，并且对应关系完全一致，

则称这两个函数相等.

?1.2.2、函数的表示法

1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.

?1.3.K单调性与最大(小)值

1、注意函数单调性证明的一般格式：

解：设，，且，则：，，，，=„x,x,a,bx,xfx,fxl21212

?1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果对于函数，，的定义域内任意一个x,都有，，，，，那么

就称函数，，为偶函数.fxf,x,fxfx

y偶函数图象关于轴对称.

,,X,,,,,,2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个，都有

f,x,,fx,那么就称函数fx为奇函数.

奇函数图象关于原点对称.

第二章、基本初等函数(?)

指数与指数塞的运算

nx,axann,1,n,Nl>一般地，如果，那么叫做的次方根。其中.，

nna,an2、当为奇数时，；

-1-

nna,a当为偶数时，.n

3、我们规定：

nmnm?a,a

*;,,a,0,m,n,N,m,1

In,?,,;a,n,Ona

4、运算性质：

rsr,s,aa,aa,0,r,s,Q

srrs?;,,,,a,aa,0,r,s,Q

rrr?.,,,,ab,aba,0,b,0,r,Q?2.1.2>指数函数及其性质

?2.2.1、对数与对数运算

xl>;a,N,logN,xa

logNaa,a2>.

3、logl,0,loga,1.aa

4、当时：a,0,a,1,M,0,N,0

,,logMN,logM,logN?;aaa

M,,?;log,logM,logN,,aaaN,,

n?.logM,nlogMaa

logbclogb,5>换底公式：alogac

,,,a,0,a,1,c,0,c,1,b,0

llogb,6、alogab

-2-

,,,a,0,a,1,b,0,b,1

?2・.2.2、对数函数及其性质

?3.1.1、方程的根与函数的零点

1、方程有实根，，fx,0

函数的图象与轴有交点，，xy,fx,

函数有零点.，，y,fx,

2、性质：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那

么，，，，，，，，，y,fxa,bfa,fb,0

函数，，在区间，，内有零点，即存在，，，使得，，，这个c也就是方

程，，的根.y,fxa,be,a,bfc,Ofx,0

?3.1.2、用二分法求方程的近似解

、掌握二分法.1

?3.2.1、几类不同增长的函数模型

?3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法:先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

必修2数学知识点1、空间几何体的结构

?常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、

球。？棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的

公共边都互相平行，由这些面所围成的多面

体叫做棱柱。

-3-

?棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样

的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点;把

在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，

平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

?圆柱侧面积;S,2,,r,l侧面

?圆锥侧面积：S,,,r,1侧面

?圆台侧面积：S,,,r,1,,,R,1侧面

?体积公式：

IV,S,hV,S,h;;锥体柱体3

1,,V,S,S,S,Sh下下台体上上3

?球的表面积和体积：

423S4RVR,,,,,,球球3

第二章:点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

2、公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该

点的公共直线。4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。

7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面

面位置关系:平行、相交。

9、线面平行：

?判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平

行。？性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线

与该直线平行。10、面面平行：

?判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

-4-

?性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

11、线面垂直：

?定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和

这个平面垂直。

?判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂

直。？性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直:

?定义:两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互

相垂直。？判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。？性

质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。第三

章:直线与方程

y,y211>倾斜角与斜率：k,tan,,x,x21

2、直线方程：

?点斜式：，，y,y,kx,xOO

?斜截式：y,kx,b

y,yx,xll?两点式:,y,yx,x2121

?一般式：Ax,By,C,0

3、对于直线：

有：1:y,kx,b,1:y,kx,blll222

,kk,12,1//1?;,12,bbl2,

?和相交,，kk;111212

,kk,12,?和重合;11,12b,bl2,

?.1,l,kk,,11212

4、对于直线：

l:Ax,By,C,0,llU有：l:Ax,By,C,02222

AB,AB,12211//1,?;,12BCBC,1221,

11,AB,AB?和相交；121221

-5-

,ABAB,1221?和重合;,11,12BC,BC1221,

?.1,1,AA,BB,0121212

5、两点间距离公式：

22,,,,PP,x,x,y,y122121

6、点到直线距离公式：

Ax,By,COOd,22A,B

第四章：圆与方程

1、圆的方程：

222?标准方程：，，，，x,a,y,b,r

22?一般方程:.x,y,Dx,Ey,F,02,两圆位置关系：d,0012

d,R,r?夕卜离：;

d,R,r?夕卜切:;

R,r,d,R,r?相交：；

d,R,r?内切：；

d,R,r?内含:.

3、空间中两点间距离公式：

222,,,,,,PP,x,x,y,y,z,z12212121

必修3数学知识点

第一章:算法

1、算法三种语言：

自然语言、流程图、程序语言；2、算法的三种基本结构：

顺序结构、选择结构、循环结构3、流程图中的图框：

起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；

4、循环结构中常见的两种结构：

当型循环结构、直到型循环结构5、基本算法语句：

?赋值语句：（有时也用“？”）？输入输出语句：“INPUT”“PRINT"？条

件语句：

If„Then

Else„

EndIf

-6-

?循环语句：“Do"语句

Do

，，

Until„

End

“While”语句

While„

，，

WEnd

?算法案例:辗转相除法一同余思想

第二章:统计

1、抽样方法：

?简单随机抽样（总体个数较少）

?系统抽样（总体个数较多）

?分层抽样（总体中差异明显）

n注意:在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会

（概率）均为。N

2、总体分布的估计：

?一表二图：

?频率分布表一一数据详实

?频率分布直方图一一分布直观

?频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势注:总体分布的密度曲线与横轴

围成的面积为1。？茎叶图：

?茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众

位数等。

?个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。

3、总体特征数的估计：

xxxx,,,?,123n?平均数：；x,n

取值为x,x,?,x的频率分别为p,p,?,p,则其平均数为xp,xp,?,xp;

12nl2nll22nn

注意:频率分布表计算平均数要取组中值。？方差与标准差:一组样本数据

x,x,?,x12n

2n12方差：；s,(x,x)i,n,il

2nls,(x,x)标准差:i,n,il

注:方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平;方

差与标准差反映数据的稳定水平。

?线性回归方程

?变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；？制作散点图，判断线性相关关

系

,y,bx,a?线性回归方程：(最小二乘法)

-7-

n,xynxy,,ii,i,1,b,,n22,xnx,,i,i,1,aybx,,,,

注意:线性回归直线经过定点。（x,y）

第三章:概率

1、随机事件及其概率：

?事件:试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；？必然事件、不可能

事件、随机事件的特点；

m?随机事件A的概率:;P(A),,O,P(A),In

2、古典概型：

?基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果；？古典概型的特点：

?所有的基本事件只有有限个；

?每个基本事件都是等可能发生。

?古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了

其中的m个基本事件，则事件

mA发生的概率。P(A),n

3、几何概型：

?几何概型的特点：

?所有的基本事件是无限个；

?每个基本事件都是等可能发生。

d的测度?几何概型概率计算公式:;P(A),D的测度

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：

?不能同时发生的两个事件称为互斥事件；

?如果事件A,A,?,A任意两个都是互斥事件，则称事件A,A,?,A彼此互斥。

12nl2n?如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B发生的概

率的和,

即:P(A,B),P(A),P(B)

A,A,?,A?如果事件彼此互斥,则有：12n

P(A,A,?,A),P(A),P(A),?,P(A)12nl2n

?对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。

A?事件的对立事件记作A

P(A),P(A),1,P(A),1,P(A)

?对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

必修4数学知识点第一章、三角函数

?1.1.K任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.

,2、与角终边相同的角的集合：

-8-

•2k,,k,Z

?1.1.2,弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

12、.,,r

,nR3、弧长公式:.1...R180

2nRl,4、扇形面积公式:.S,,1R3602

?L2.1、任意角的三角函数

1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：，，，Px,y

y,y,x,sin,,cos,,tan,.x

22r,x,y2、设点为角终边上任意一点，那么：(设)，，Ax,y,0000

xyyOOOsin,,cos,,,,.tan,,rrxO

sin,tan,3>,,在四个象限的符号和三角函数线的画法.cos,

4、诱导公式一：

,,,sin,2k,sin,,,

,,,太2（其中：）cos,2k,cos,,,

,,tan,,2k,,tan,.

5、特殊角0?〜30?〜45?〜60?〜

90?〜180?〜270?的三角函数值.

,,,,643

sin,

cos,

tan,

?1.2.2、同角三角函数的基本关系式

22sin,,cos,,11>平方关系：.

,sin,tan,2、商数关系：.cos,

?1.3、三角函数的诱导公式

1、诱导公式二：

,,,sin,,,sin,,,

,,,COS9，，，，cos,

,,tan,,,,tan,.

2、诱导公式三：

-9-

,,sin,,,sin,,,

,,COS,,COS,ff

,,tan,,,,tan,•

3、诱导公式四：

,,,sin,,sin,,,

cos,，，cos,

,,tan,,,,,tan,.

4、诱导公式五：

,,,,,sin,,cos,,,2,,

,,,cos,11sin,•,,2,,

5、诱导公式六：

>>>>>sin,，cos,,,2,,

，，，cosr，，，sin，♦，，2，，

?1.4.1、正弦、余弦函数的图象、记住正弦、余弦函数图象：1

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小

值、对称轴、对称中心、奇偶性、

单调性、周期性.

3、会用五点法作图.

?1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义:对于函数，如果存在一个

非零常数T,使得当取定义域内的每一个值时，都有，，xfx

,那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.，，，，，，

?1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象:

2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶

性、单调性、周期性.

?1.5、函数的图象，，y,Asin,x,,

1、能够讲出函数的图象和函数的图象之间的平移伸缩变换关系.，，

y,Asin,x,,,by,sinx

2、对于函数：

,2,1有:振幅A,周期，初相，相位，频率.T,,x,,,,

y,Asin,x,,,bA,0,,,0T2,,?L6、三角函数模型的简单应用

1、要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量

?2.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的

量叫做向量.

?2.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素:起点、方向、长

度.

AB2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作;长度为零的向量叫做

零向量;长度等于1ABAB

个单位的向量叫做单位向量.

、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,或共线向量,.规定:零向量与任

意向量平行.3

?2.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.？2.2.1、向量加法运算及其几

何意义

1、三角形法则和平行四边形法则.

a,ba,b2、?.

?2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.aa

?2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

,1、规定:实数,a与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记

作：，它的长度和方向规定如下：

，a,,a?,

,,O,,O,a,a?当aa时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.

,b,,ab2、平面向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，

使.，，aa,0

?2.3.1、平面向量基本定理

al、平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一

平面内任一向量，有且只e,el2

,,，有一对实数,使.a,,e,,el2n22

?2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示

-11-

1、.，，a,xi,yj,x,y

?2.3.3、平面向量的坐标运算1、设，则：，，，，a,x,y,b,x,yll22

?,,,a,b,x,x,y,yl212

?,,,a,b,x,x,y,yl212

?，，，,a,,x,,yll

?.a//b,xy,xyl2212>设，贝lj:,,,,Ax,y,Bx,yll22

,,,AB,x,x,y,y2121

?2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则，，，，，，

Ax,y,Bx,y,Cx,yll2233

x,xy,yl212?线段AB中点坐标为，，，，22

x,x,xy,y,yl23123??ABC的重心坐标为.，，，33?2.4.1、平面向量数量积

的物理背景及其含义

a,b,abcos,1>.

acos.2,在方向上的投影为:.ab

22a,a3>.

2a,a4>.

a,b,a,b,05、.

?2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设，贝U：,,,,

a,x,y,b,x,yll22

?a,b,xx,yyl212

22a,x,y?11

?a,b,xx,yy,01212

,,,,Ax,y,Bx,y2、设，贝lj:1122

-12-

22.,,,,AB,x,x,y,y2121?2.5.K平面几何中的向量方法？2.5.2、向量

在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换

?3.1.1、两角差的余弦公式

1、，，cos,,,,cos,cos,,sin,sin,2>记住15?的三角函数值:

,cos,tan,sin,

,6,26,22,31244

?3.1.2,两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、,,

cos,,,,cos,cos,,sin,sin,2、,,sin,,,,sin,cos,,cos,sin,3、

sin,,,,sin,cos,,cos,sin,

tan,,tan,,,4、tan,,,,.1,tan,tan,

tan,,tan,,,、tan,,,,.51,tan,tan,

?3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2,,2sin,cos,1、,

1变形：.sin,cos,,sin2,2

22cos2,,cos,,sin,2、

2,2cos,,1

2,1,2sin,,

lcos22,,变形1:,cos,,2

lcos22,,变形2:.sin,,2

,2tan,tan2,3>.21,tan,

?3.2、简单的三角恒等变换

1、注意正切化弦、平方降次.

必修5数学知识点

第一章:解三角形

1、正弦定理：

-13-

abc.,,,2RsinAsinBsinC

2、余弦定理：

222a,b,c,2bccosA,

222b,a,c,2accosB,

222c,a,b,2abcosC.

222b,c,acosA,,2bc

222a,c,bcosB,,2ac

222a,b,ccos.C,2ab

3、三角形面积公式：

111S,absinC,bcsinA,acsinB,ABC222第二章:数列

1、数列中与之间的关系：aSnn

S,当n,1时，，1a,,nSS,当nl时.，，nn,1,

2、等差数列：

?定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,

那么这个数列就叫做等差数列。

?通项公式:a,a,(n,1)dnl

?求和公式：

,,a,anl,,nn,InS,na,d,nl223、等比数列

?定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,

那么这个数列就叫做等比数列。

n,1?通项公式：a,aqnl

na,aqal,q,,llnS,,?求和公式：nl,ql,q第三章：不等式

当a,b,0时，a,b,2ab1、

,,当且仅当a,b时取等号

22当a,b,R时，a,b,2ab2、

，，当且仅当a,b时取等号

-14-

222a,ba,b,,3、变形：,ab,ab,,,22,,

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数学必修「5常用公式及结论必修1:一、集合1、含义与表示：（1）集合中元

素的特征:确定性，互异性，无序性（2）集合的分类;有限集，无限集（3）集合的表

示法:列举法，描述法，图示法

AB,xA,xB,2、集合间的关系:子集:对任意，都有，则称A是B的子集。记作

真子集:若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A,则A是B的真

子集，

AB,记作AB集合相等:若:，则ABBA,,,,,

3.元素与集合的关系:属于不属于：空集：，，，

AB:4、集合的运算:并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并

集，记为

AB:交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为

补集:在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，

记为CAU

nnn5（集合的子集个数共有2个;真子集有2-1个;非空子集有2-1个；

{,,,}aaa?12n

*N6.常用数集：自然数集:N正整数集：整数集:Z有理数集:Q实数集:R二、

函数的奇偶性

1、定义：奇函数<=>f(-X)=-f(X),偶函数<=〉f(-X)=f

(X)(注意定义域)2、性质：(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；

(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；

(3)如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；

(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数(

二、函数的单调性

1、定义:对于定义域为D的函数f(x),若任意的x,x?D,且x<x1212

?f(x)<f(x)<=>f(x)-f(x)<0<=>f(x)是增函数12

12

?f(x)>f(x)<=>f(x)-f(x)>0<=>f(x)是减函数12

12

2、复合函数的单调性：同增异减

2a,0三、二次函数y=ax+bx+c()的性质

22,,4acbb4ac,b,b,,x,,,,1、顶点坐标公式：，对称轴：，最大(小)

值：,,2a4a2a4a,,

2.二次函数的解析式的三种形式

22⑴一般式;(2)顶点式；fxaxbxcaO(0),,,,fxaxhkaO()(0),,,,

fxaxxxxaO00(0),,,,(3)两根式.12

四、指数与指数函数

-15-

1、嘉的运算法则：

mnm+nmnmnnnnmnm,n(l)a•a=a,(2),(3)(a)=a(4)(ab)=

a•ba,a,a

nnnn,llaa,,mnOn,mma,(5)(6)a=1(a?O)(7)(8)(9)a,a,a,,,nnmnabba,,

2、根式的性质

nn(l).()aa,

aa,0,,nnnn(2)当为奇数时,;当为偶数时，.aa,nnaa,,||,,,aa,0,

x4>指数函数y=a(a>0且a?l)的性质：

(1)定义域:R；值域：(0,+?)(2)图象过定点(0,1)

YY

a>10<a<lllX0X0

b5.指数式与对数式的互化：(0,1,0)aaN,,,.logNbaN,,,a

五、对数与对数函数

1对数的运算法则：

bblogaN(l)a=N<=>b=logN(2)log1=0(3)loga=1(4)loga二

b(5)a二Naaaa

M(6)log(MN)=logM+logN(7)log()=logM--logNaaaaaaN

logNbb(8)logN=blogN(9)换底公式：logN二aaalogab

nnloglogbb,(10)推论(，且,，且,,)・mn,0,a,0a,Im,In,IN,0maam

1(11)logN=(12)常用对数:1gN=logN(13)自然对数:InA=logA(其

中e=2.71828,,)alOelogaN

2、对数函数y二logx(a>0且a?l)的性质：a

(1)定义域：(0,+?);值域:R(2)图象过定点(1,0)

Ya>lY0<a<l

XX011

0

a六、塞函数y=x的图象：(1)根据a的取值画出函数在第一象限的简图.

0<a<la<0a>l

-16-

112,12例如：y=xy,,xy,x,xx

b七.图象平移:若将函数的图象右移、上移个单位，ay,f(x)

得到函数的图象；规律:左加右减，上加下减y,f(x,a),b

八.平均增长率的问题

x如果原来产值的基础数为N,平均增长率为，则对于时间的总产值，有.

pyxyNp,,(1)九、函数的零点：1.定义:对于，把使的X叫的零点。即

yfx,()fx()O,yfx,()

的图象与X轴相交时交点的横坐标。yfx,()

2.函数零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条

ab,yfx,(),,

曲线，并有，那么在区间内有零点，即存在，

ab,cab,,fafb()()0,,yfx,(),,,,

使得，这个C就是零点。fc()0,

3.二分法求函数零点的步骤：(给定精确度)，

ab,x,(1)确定区间,验证；(2)求的中点ab,ab,fafb()()0,,,,,,12

(3)计算?若,则就是零点;？若，则零点fxQfxOO,xfafxO()0,,1111

xax,,?若，则零点xxb,,;fxfb()()0,,,,,,01011

b(4)判断是否达到精确度，若ab,,,,则零点为或或ab,内任一值。

否，a,,

则重复(2)到(4)

y,y21必修2:一、直线与圆1、斜率的计算公式:k=tana=(a?90?,

x?x)12x,x212、直线的方程(1)斜截式y=kx+b,k存在；(2)点斜式y-

y=k(x-x),k存在；00

y,yx,xxyll,,1,(3)两点式();4)截距式()

xxyy,,,ab,,0,01212aby,yx,x2121

(5)一般式AxBycAB,,,0(,0不同时为)

3、两条直线的位置关系：

l:y=kx+b:Ax+By+C=011111111

ll:y=kx+b:Ax+By+C=02222222

ABC111,，重合k=k且b=b1212ABC222

ABC111,，平行k=k且b?b1212ABC222

垂直kk=-1AA+BB=0121212

22,,,,x,x,y,y4、两点间距离公式:设P(x,y)、P(x,y),则

|PP|=111222121212

Ax,By,COOd,5、点P(x,y)到直线l:Ax+By+C=0的距离：00

22A,B7、圆的方程

圆的方程圆心半径

222(0,0)x+y=rr标准方程222(a,b)(x-a)+(y-b)=

rr

-17-

DEI,,2222,,,一般方程D,E,4Fx+y+Dx+Ey+F=0,,222,,

8.点与圆的位置关系

22222daxby,,,,()()dr,，点与圆的位置关系有三种若,则点在

PPxy(,)(x,a),(y,b),rOOOO

dr,,dr,,圆外；点在圆上;点在圆内.PP

9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)

222直线与圆的位置关系有三种：Ax,By,C,O(x,a),(y,b),r

；；.d,r,相离,,,Od,r,相切,，，Od,r,相交,,,010.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0,0,半径分别为r,r,00,dl21212

；d,r,r,外离,4条公切线12

；d,r,r,外切,3条公切线12

；r,r,d,r,r,相交,2条公切线1212

；d,r,r,内切，1条公切线12

.0,d,r,r,内含，无公切线12

11.圆的切线方程

22⑴已知圆(xyDxEyF,,,,,0

?若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是(,)xy00

DxxEyy()(),,00.xxyyF,,,,,00022

DxxEyy()(),,00当圆外时，表示过两个切点的切点弦方程

((,)xyxxyyF,,,,,0000022

?过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注

意不yykxx,,,()00

要漏掉平行于y轴的切线(

?斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b,必有两条切线(ykxb,,

222(2)已知圆(xyr,,

2?过圆上的Pxy(,)点的切线方程为；xxyyr,,00000

2k?斜率为的圆的切线方程为ykxrk,,,1

二、立体几何（一）、线线平行判定定理:1、平行于同一条直线的两条直线互

相平行。2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，

经过这条直线的平面和这个平面相交，那

么这条直线和交线平行。

4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。（二）、

线面平行判定定理

1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平

行。2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平

行。（三）、面面平行判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平

行。（四）、线线垂直判定定理：

若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。（五）、

线面垂直判定定理

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于

这个平面。2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线

垂直于另一个平面。（六）、面面垂直判定定理

-18-

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（七）（证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.（八）（证明直线

与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

（九）（证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点;

（2）转化为线面平行；⑶转化为线面垂直.

（十）（证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；⑵转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理；（十

一）（证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线

垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行

平面；（十二）（证明平面与平面的垂直的思考途径P（1）转化为判断二面角是直二

面角；（2）转化为线面垂直.

三、空间几何体

（一）、正三棱锥的性质

1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a,则有AC0D

B

图形外接圆半径内切圆半径面积

A3332正三角形OA,aOD,aS,aO463

BD

2、正三棱锥的辅助线作法一般是：

作P0?底面ABC于0,则0为?ABC的中心，P0为棱锥的高，

取AB的中点D,连结PD、CD,则PD为三棱锥的斜高，CD为?ABC的AB边上的

高，且点0在CD上。？?POD和?POC都是直角三角形，且?POD=?POC=90?

（二）、正四棱锥的性质

1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a,则有

P图形外接圆半径内切圆半径面积

a22A0正方形OA=CS=aaOB=B202EBDA2、正四棱锥的辅助线

作法一般是：

作P0?底面ABCD于0,则0为正方形ABCD的中心，P0为棱锥的高，取AB的中

点E,连结PE、0E、0A,

则PE为四棱锥的斜高，点0在AC上。？?POE和?POA都是直角三角形，且?POE

=?POA=90?（三）、长方体

长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。

3特殊地，若正方体的棱长为a,则这个正方体的一条对角线长为a。

（四）、正方体与球

-19-

1、设正方体的棱长为a,它的外接球半径为R,它的内切球半径为R,则

a,2R3a,2R,1221

DCHA10B1

DC

AB（五）几何体的表面积体积计算公式

21、圆柱：表面积:2n+2nRh体积：nR?hR

2、圆锥：表面积：nR?+nRL体积：nR?h/3（L为母线长）

223、圆台:表面积:体积:V,nh（R?,Rr,r?）/3,,,rRrRL,,（）

4234、球:S=4nRV=nR（其中R为球的半径）球面球3

5、正方体：a,边长，S,6a?,V,a?

6、长方体a,长，b，宽，c，高S,2（ab+ac+bc）V,abc

7、棱柱:全面积=侧面积+2X底面积V,Sh

8、棱锥:全面积=侧面积+底面积V,Sh/3

19、棱台：全面积=侧面积+上底面积+下底面积Vssssh,,,,（）11223

四、三视图1.投影:把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。

把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向

是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。

2、光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图,这种投影图叫做几何体的

正视图（也叫主视图）；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图

叫做几何体的俯视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图,这种投影图

叫做几何体的侧视图（或左视图）

3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要

依据.画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线

和棱用虚线表示。

必修3:第一章算法初步

1、算法概念:在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决

的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有

限步之内完成.

2、构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不

-20-

可少的。

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法

输入、输出框

中任何需要输入、输出的位置。

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公

处理框式等分别写在不同的用以处理数据的处理框

内。

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框

“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。3、算法的三种基本逻辑结构：

顺序结构、条件结构、循环结构。（结构图请看教材）

4、（1）、辗转相除法:用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新

的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约

数。

（2）、更相减损术。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比

较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就

是所求的最大公约数。

（3）进位制？以卜为基数的k进制换算为十进制：

nn,110aaaaakakakak...,,,,?nnknn,,110（）110

?十进制换算为k进制：除以k取余，倒序排列

总体和样本:在统计学中，把研究对象的全体叫做总体（第二章统计1（

把每个研究对象叫做个体（把总体中个体的总数叫做总体容量（

*1工2/X…

为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我

们称它为样本（其中个体的个数称为样本容量（

2、简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排

队等，完全随机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同。（总

体个数较少）

3、简单随机抽样常用的方法：⑴抽签法;？随机数表法;？计算机模拟法;

4、系统抽样（等距抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按

照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。（总

体个数较多）

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

5、分层抽样:先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分

成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的办

法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。先以分层变量将

总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。（总体中差异明显）

6、总体分布的估计:？一表二图:?频率分布表一一数据详实

?频率分布直方图一一分布直观？频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势

注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为lo

?茎叶图:？茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中

位数、众位数等。？个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同

的数重复写。

7、用样本的数字特征估计总体的数字特征（s为标准差）

-21-

222xxx,,?,（）（）Oxxxxxx,,,,,,?12nnl2（1）>平均值：x（2）、,s,nn

，，，

8、两个变量的线性相关（1）、概念：（1）回归直线方程：yabx,,

n

，，xynxy,,,iii,lb,（2）回归系数：，aybx,,n22,,xnxi,il

（3）（应用直线回归时注意：回归分析前，最好先作出散点图；第三章概率

一、概念1、事件:试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；

(1)必然事件:在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

(2)不可能事件:在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;

(3)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事

件；2、古典概型:？基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果；

?古典概型的特点:基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生

?概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m

个基本事

mpAO,件，则事件A发生的概率n

3、几何概型:?特点:？所有的基本事件是无限个;？每个基本事件都是等可能发

生。

构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)？几何概型概率计算公式：。

4、若A?B=@,即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥；5、

若A?B为不可能事件，A?B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事

件，那么称事件A与

事件B互为对立事件；

二、概率的基本性质：1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此

O?P(A)?1;2)当事件A与B互斥时，满足加法公式:P(A?B)=P(A)+P(B);

3)若事件A与B为对立事件，则A?B为必然事件，所以P(A?B)=P(A)+

P(B)=1,于

是有P(A)=1—P(B);

4)互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试

验中不会同时发生，具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生;(2)

事件A不发生且事件B发生；⑶事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件

A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；(1)事件A发生B不发生；(2)事件

B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形。必修4一、三角函数与

三角恒等变换

1、三角函数的图象与性质

函数正弦函数余弦函数正切函数

-22-

图象

，定义域{x|x?+kn,k?Z}RR2值域[-1,1][-1,1]R周期性2112nn

奇偶性奇函数偶函数奇函数

增区间[-n+2kn,2kn]增区间，，增区间[-+2kn,+2kn]减区间

[2kn,n+2kn],,22+kn,+kn)(-单调性(k?Z),,322减区间[+2kn,+2kn]

(k?Z)22

,x=+kn(k?Z)对称轴x=kn(k?Z)无2

,，对称中心(kn,0)(k?Z)(+kn,0)(k?Z)(k,0)(k?Z)22

,sin22,tan,2、同角三角函数公式sina+cosa=1tanacota=1cos,

3、二倍角的三角函数公式

,2tan2222,tan2,sin2CL=2sinacosacos2a=2cosci-1=1-2sina二

cosa-sina21,tan,

Icos21cos2,,,,22cossin4>降幕公式,,,,222225、升幕公式l?sin2a=

(sina?cosa)1+cos2a=2cosa1-cos2a=2sina6、两角和差的三角函

数公式

sin(a?B)=sinacosB土cosasinBcos(a?B)二cosacosB干

sinasinB

,,tan,tan,,tan,,,,1,tan,tan,

7、两角和差正切公式的变形：

tana?tanB=tan(a?B)(1干tanatanB)

,,,,tan45:,tantan45:,tan,,1,tanl,tan==tan(+a)=tan(-a)

1,tan,1,tan45:tan,1,tan,1,tan45:tan,448>两角和差正弦公式的变形(合一变

形)

b22tan,,(其中)，，asin,,bcos,,a,bsin,,,a

11,,cos,,,cos,cos,,sin,,9>半角公式：2222

,,,,1,cossinl,costan,,,,21,cos,1,cos,sin,

10、三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限。”

sin(兀,a)=sina,cos(兀,a)=,cosa,tan(兀,a)二,tana；

-23-

sin(兀+a)=,sinacos(兀+a)=,cosatan(兀+a)=tanasin

(2兀,a)=,sinacos(2兀,a)=cosatan(2n,a)=,tanasin(,a)

二,sinacos(,a)=cosatan(,a)二,tana

,,,sin(,a)=cosacos(,a)=sinatan(,a)=cota222

,,,sin(+a)=cosacos(+a)=,sinatan(+a)=,cota222

n.三角函数的周期公式

2,函数，x?R及函数，x?R(A,3,为常数，且A?0,3,0)的周期;，T,yx,,

sin(),,yx,,cos(),,,

,，函数,(A,川，为常数，且A?0,3,0)的周期.xkkZ,,,,T,,yx,,tan(),,,2,

二、平面向量(一)、向量的有关概念

2a,a,al、向量的模计算公式：(1)向量法：||二；a

22x,y(2)坐标法：设二(x,y),则||=aa

2、单位向量的计算公式：

,,xy,,,(1)与向量=(x,y)同向的单位向量是；a2222,,xyxy,,,,

,,xy,,,,,(2)与向量=(x,y)反向的单位向量是；a2222,,xyxy,,,,3、平行

向量

规定:零向量与任一向量平行。设=(x,y),=(x,y),X为实数abll22

向量法：？(？)<=〉=入abbOab

xxl2,坐标法：a?b(b?O)烂〉xy-xy=0<=>(y?0,y?0)122112yyl2

4、垂直向量

ab规定:零向量与任一向量垂直。设=(x,y),=(x,y)1122

ababab向量法:？<=>？=0坐标法:？<=>xx+yy=012125.平面两点间的

距离公式,,,,,,,,,,,,22,,,,()Oxxyy||ABABAB,,d(,)xy(,)xy=(A,B).

2121AB,1122(二)、向量的加法

(1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连)，平行四边形法则(起点相同连对角)

abab(2)坐标法:设=(x,y),=(x,y),则+=(x+x,y+y)11221212(三)、向

量的减法

(1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量)

-24-

(2)坐标法:设=(x,y),=(x,y),则-=(x-x,y-y)ababll221212(3)、重

要结论：I+ababab