（2020新教材）新人教B版高中数学必修第三册全册综合检测

全册综合检测

(时间：120分钟满分：150分)

一'单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.若tan(a—3")>0,sin(—a+n)<0,则a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：选C由已知得tana>(),sina<0,.,.a是第三象限角.

2.已知cos住+9)=—乎且191V则tan9=()

A--坐B坐

C.一5D.小

解析：选D由—乎得sin9=乎，

又1夕1书，所以>=.所以tan0=巾.

3.(2019•全国卷H)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则忸一加=()

A.^2B.2

C.5^2D.50

解析：选AVa-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

|a—b|=^/(—1)2+12=A/2.

4.函数/(x)=sin(2x+9的图像的对称轴方程可以为()

.n5n

A・》=适B・x=五

C.x=?D.x=T

解析：选A由2x+T=A7r+T他£Z),得工=#+强优£2).当左=0时，

J//工乙\.£t

5.函数y=^cos^x+^+sin^r+^cosQ+g)—sin(x+》)］在一个周期内的图像是

)

ABCD

解析：选Bj=cosyx+^j—sinyx+^J=cos^2x+^J=-sin2x,对照图像可知选B.

6.在Rt2\A3C中，ZC=90°,AC=4,则成•就等于()

A.-16B.-8

C.8D.16

解析：选DVAB-AC=|AB|-\AC|cosA,△ABC为直角三角形，AAB-7?=|AB

|-|7c卜错误!=|错误!|2=16.故选D.

.(nJ,若a・b=〃，贝！|tan(a+g)等

7.已知a=(cos2a,sina)9b=(l,2sin«-1),J,

于()

A,3B,7

C.^D.,

解析：选C由题意，得cos2“+sina(2sina—1)=/,整理得sin<z=,.又々£他71

则cosa=­1.

~.3

所以tan<z=一不

加

tan〃十।taq

则tan(a+g=1

=

.五7-

1-tanatanT

8C=2小，点尸为边8c所在直线上的一个动点,

8.已知在△43C中，AB=AC=29

则关于方•（前+衣）的值，正确的是（

）

A.为定值2B.最大值为4

C.最小值为1D.与P的位置有关

解析：选A如图，取6c中点O,由题意知|4。|=1.

故方・（■+就）=京・（2说）=2口方||方1cosNZMP=2|而产=2・

4

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9.已知a=（l,l）,b=（0,一2）,且Aa-b与a+b的夹角为120。，则左等于（）

A.—B.-2

C.-1一小D.1

解析：选AC"a-b尸也2+(«+2)2,|a+b|=^/l2+(-l)2=V2,

.,.(Ara—b)-(a+b)=(Zc,ft+2)-(l,—l)=k—k—2=-2,

(Aa—b)-(a+b)i

又ka-b与a+b的夹角为120°,Acos120°=--------------------,即一彳

|«a—b||a+b|2

yf2Xy]k2+（k+2）2t

化简并整理，得N+2々-2=0,解得

10.关于函数1Ax）=cos（2x—；）+cos（2x+g,下列命题中正确的是（）

A./（X）的最大值为限

B.八上）的最小正周期是7T

c./U）在区间居，明上是减函数

D.将函数y=gcos2x的图像向右平移/个单位长度后，与函数y=/（x）的图像重合

解析：选ABCD/（x）=cos（2x-W）+cos（2x+g=cos（2x-亨+sing-（2x+g]

2X-3+4)=V2

GT）=同学COS0T）一察加3一半=y[2cos（

cos（2x—D，函数知）的最大值为小，最小正周期为兀，故A、B正确；又当xG居，号]

时，2x—y^e[0,n],.,.函数人x）在国，岩上是减函数，故C正确；y=，icos129一给]

=f(x),故D正确.

11.在△ABC中，下列四个选项正确的是（）

A.AB-AC=BC

B.~AB+HC+~CA=0

C.若（K+就）•（就'—就）=0,则△A5C为等腰三角形

D.若就♦标>0,则△A5C为锐角三角形

解析：选BC•.•苗一就=苕=一京近，...A错误.笈+就+元？=就+

市=就一就=0,；.11正确.由（笈+就）•（就一就）=/一霜=0,得|成|=|就

|,.,.△ABC为等腰三角形，C正确.AC-^4B>0=>cos{AC,~AB）>0,即cos4>0,AA

为锐角，但不能确定从C的大小，二不能判定△A8C是否为锐角三角形，

.♦.D错误，故选BC.

12.在△A5C中，NC=120。，tanA+tanB=乎，下列各式正确的是()

A.A+B=2CB.tan(A+5)=一5

C.tanA=tanBD.cosB=y[3sinA

解析:选CDVZC=120°,ZA+ZB=60°,

即2(A+B)=C,

tan4+tanB

Atan(A+B)==小，A,B错.

1—tanAtanB

2E

VtanA+tanB=A/3(1—tanAtanB)=3,

AtanAtanB=^,①

2八

又tanA+tan5=§,②

/.tanA=tan3=芋.

**.cos6=q§sinA,

故C、D正确.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知向量a=(l,2),b=(x,l),若2〃>则实数x=«

解析：；a〃b,.,.l-2x=0./.x=1.

答案：I

14.函数｛x)=sin2x+巾cosx-gxw]。，部的最大值是.

解析：Ax)=l—Cos2x+,COS%一：=—(cosX—^^+1.・・3£0,,•*.COS[0,1],

・••当cosx=坐时，/(X)取得最大值，最大值为1.

答案：1

COSX

15.设.x)=cos(30o_x)'则八1°)+.八2°)+…+八59。)=.

cos(60。一x)cosx+cos(60。-x)巾§加(60。+冷

解析：/(*)+八60-x)=8s湍二产

cos(x-30°)-cos(30°-x)-cos(30°-x)

=小,

0

所以大1°)+1A2。)+…+式59。)=[f(l°)+f(59°)]+[f(2°)+f(58°)]+…+[f(29°)+f(31)]

+八30。)=莘.

答案：挈

16.在等腰梯形48CD中，已知43〃DC,AB=2,BC=1,N4BC=60°.点E和尸分

别在线段BC和OC上，且锭=/就，~DF=^DC,则1苴•方的值为_______.

3o

解析：取后T,同为一组基底，则京=转一京=；就一赤，~XF=~AB+^C+

CF=—BA+BC+,3/=-^BA+BC,/.AE-AF=错误!•错误!=错误!|错误ip-

25—>—>2—>_7251229

+工|2X彳+鼻=奇

JloBCJBC|=T1Z74-loT^X2XIXLJlo

答案端

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

17.(10分)如果向量在济=i一刃，~BC=i+mj,其中，i,j分别是x轴，y轴正方向上

的单位向量，试分别确定实数机的值，使

(1)4,B,C三点共线；

(2)AB±BC.

-->-->卜=1,

解：(1)利用5。可得，一。=42+a/),于是J得m=-2.

im=-2,

(2)由至上五？得下云=0,

；・(i-2JY(i+ny)=i2+mi-j-2i-j-2mj2=0,

2〃?=0,解得/n=l.

乙

18.(12分)(2018•浙江高考)已知角a的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重

合，它的终边过点w，一。

⑴求sin(a+7r)的值；

(2)若角“满足sin(〃+/0=^,求cos。的值.

解：(1)由角”的终边过点小一,，一3，

4

得sina=­£.

所以sin(a+n)=_sin以=g・

⑵由角a的终边过点一。

p3

得COSG=一《・

由sin(a+/?)=^,得cos(a+/?)=±||.

由p=(a+/f)—a,

得cos^=cos(a+/?)cosa+sin(a+)?)sina,

所以cos0=一捐或cos夕=居・

19.(12分)已知四边形45CO,方'=(6,1),~BC=(x,y),CD=(-2,-3).

(1)若同〃万:，求y=_Ax)的解析式；

(2)在(1)的条件下，若就，诟，求x,y的值以及四边形ABCQ的面积.

解：(1)京=一(方+同+苟)=(一*-4,2—30,

'：~BC.\X(2-J)-(-X-4)J=0,

整理得x+2y=0,

(2Y：~AC=~AB+^C=(x+6,y+1),

~BD=^C+~CD=(x-2,y-3),

又T就_L诟，/.ACBD=0,

即(x+6)(x-2)+(j+l)&-3)=0,

由(1)知x=-2y,将其代入上式，

整理得中一2y—3=0.解得yi=3,j2=-1.

当y=3时，x=-6,于是就=(一6,3),AC=(0,4),

由=(-8,0),|就|=4,|说|=8,

1---->---->1

:.S四边彩ABCD=^\AC||BZ)|=TX4X8=16.

当了=一1时，x=2,于是W?=(2,-1),AC=(8,0),

由=(0,-4),|就|=8,|而|=4,

Sb边杉ABCD="^\AC||BD|=~^X8X4=16.

20.（12分）已知函数"r）=sin（sx+神（”>0,0<“式兀）为偶函数，且其图像上相邻的一个

最高点和最低点之间的距离为历彳.

（1）求/（X）的解析式；

1呵2a-*l

（2）若tana+砧=5,求［就的值.

解：⑴设最高点为（孙1）,相邻的最低点为（必，-1）,则出一词=加＞0）,

AX2)2+(l+l)2=*\/44-7r2,亨+4=4+加2,:.T=2五=粉,

又切>0,，s=1.=sin(x+(/)).

TT

TAx)是偶函数，：.<p=kn+^kez).

••fix)=sin^x+^=cosx.

,一、..।1-sina.cosa-

(2)・tan=5,•e•4~~=5,

tanacosasina

sinacosa=~,

V2/(2a-^)-lV2cos(2a-^)-l

1-tana1-tana

也(cos2acos^+sin2asin^—1

sina

cosa

cos2a+sin2以一1

cosa-sina

cosa

(2sin以cosa-2sin2a)cosa2

-=2sinacosa=^.

cosa-sina

21.（12分）如图，矩形A8CQ的长AZ）=2巾，宽A5=LA,。两点

分别在x轴，y轴的正半轴上移动，B,C两点在第一象限.求。加的最

大值.

解：如图，过点8作8H_LOA,垂足为//.

设NOW={O<〃¥),

则2氏48=5一。，04=2巾cos。,

8“=sin住-0=cos0,AH=cos^j—^j=sin0,

所以5(2，5cos夕+sin09cos0),

0炉=(25cos〃+sinOA+cof”

=7+6cos20+2小sin2〃=7+4/sin(2〃+§.

由0<0<^,知3V2"+