高中数学人教A版 习题课时提升作业 二

课时提升作业二

基本不等式

圆25分钟练/

分值：60分

一、选择题（每小题6分，共18分）

1.（2016•泰安高二检测）若关于x的方程9x+（4+a>3x+4=0有解,则实数a的取

值范围是（）

A.（-°°,-8]U[0,+oo）

C.[-8,4）

【解析】选D.由方程9x+（4+a”x+4=0有解，

即a+4=-（3“+*=-4,所以a<-8.

2.下列不等式的证明过程正确的是（）

A.若a,b£R,贝哈+?之2、统=2

ab7ab

B.若x>0,贝!Jcosx+-^-32cosx­­=2

■COSX7cosx

C若x<0则x+*2J)o|=4

D•若流，且ab<0,则代=-[(U)+(Y*2jT)(Y)=-2

【解析】选D.AZB,C中在应用基本不等式时忽视了前提"正数"，故均错误.

3.(2015•福建高考)若直线：+*=l(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于

aD

()

A.2B.3C.4D.5

【解题指南】利用基本不等式及"1"的代换求解.

【解析】选C.因为直线过点Q,l),所以宗=1,所以a+b=(a+b)C+扣

1+1+P+沪2+口+巳因为a>0,b>0,所以2+-+^>2+2电分=4,当且仅当

ababab7ab

"a=b=2"时等号成立.

二、填空题(每小题6分，共12分)

4.(2016•佛山高二检测)已知x+3y-2=0则3*+27丫+1的最小值是.

【解析】3x+27y+l=3x+33y+l>2V3x-33y+l=7.

答案：7

5.若正数a,b满足ab=a+b+3厕ab的取值范围是.

【解析】令ViB=t(t>0),由ab=a+b+322ViE+3厕1222t+3,所以t>3或t<-

1(舍去)，所以施之3启八9,当a=b=3时取等号.

答案:[9,+8)

【误区警示】解答本题过程中易忽视a,b£(o,+8)而求出abe(-oo,i]u

[9,+8)的错误.

三、解答题(每小题10分共30分)

6.求函数丫=*2+5^15仅20)的最小值

Xi4

【解析】原式变形得：

(

y(=x+2-)2+=x+x2)++92+——9+1-,

Jx+2x+2

因为X20,所以x+2>0,

所以x+2+-^->6,

所以y27,当且仅当x=l时等号成立.

所以y=四守(x±0)的最小值为7.

X十N

7.(2016银川高二检测)如图，已知小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将

小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上，点D在AN上，且对角线

MN过点C.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32m，AN的长应在什么范围内？

⑵M,N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小?若存在，求出这个最小

面积及相应的AM,AN的长度;若不存在，说明理由.

【解析】Q)设AM=x,AN=y(x>3,y>2),矩形AMPN的面积为S,则S=xy.

因为ANDCdNAM,所以旦3,所以x=%所以S=*>2).

yxy—zy—z

由泠32得2<y4或y>8,所以AN的长度应在(2,1)或(8,+8)内.

(2)当y>2时,S=,=3(y-2+忘+4)23x(2J(y-2)•意+4)=3x

(4+4)=24,当且仅当y-2=^-,gpy=4时，等号成立，解得x=6.所以存在M,N点

y-/

当AM=6,AN=4时，矩形AMPN面积最小为24.

8.已知x,y都是正实数.

求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)>8x3y3.

【证明】因为x,y都是正实数，

22

所以x+y>2A/xy>0,x+y>2xy>0,

33

x3+y3>2jxy>0.

三式相乘得(x+y)(x2+y2)(x3+y3)N8x3y3.

(gg颤)20分钟练/

分值：40分

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2016•聊城高二检测)已知a>0,b>0,贝内+注+2痴的最小值为()

aD

A.2B.2V2C.4D.5

【解析】选1+%2痴之2U-+2Vab>4.

ab7ab

2.对于xw(0片)，不等式点+悬16恒成立则p的取值范围为()

A.(-oo,-9]B.(-9,9]

C.(-oo,9]D.[9,+oo)

【解题指南】可令t=sin2x,将原不等式转化为关于t的不等式恒成立问题求解.

【解析】选D.令t=siMx厕cos2x=l-t.

又x«0,5所以

不等式点+急“6可化为P>(16-1)(l-t),

令y=(16-

=17-Q+16t)<17-2J；16t=9,

当且仅当316t,即t：4时取等号，

因此原不等式恒成立，只需p>9.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.若a>0,b>0,a+b=1,Pli]—1)(a—1)的最小值是

【解析】因为

(»1)售

_(l-a)(l+a)(l-b)(l+b)_(l+a)(l+b)

=?—=——

1+a+b+ab-2

21

由a>O,b>O,a+b=l得abw（亭）=

=4,

所以*4,所以6-1)(*1)出

答案：9

4.已知x>0,y>0且满足x+y=6,则使不等式工恒成立的实数m的取值范

xy

围为.

【解题指南】由已知条件先求得工+2的最小值，只要m小于等于其最小值即可.

xy

【解析】因为x>o,y>o,鸿二等e+}

=他。+什9李。+6)4

当且仅当《，又x+y=6得x,,y二手寸取等号•所以m的取值范围是(-⑻非

答案：(一8,|

三、解答题(每小题10分，共20分)

222

5.设a,b,c均为正数，且a+b+c=l.证明a:一b+上+

bca

2R22

【证明】因为Ja+b22aA'+c22b,J+aN2c,

bca

H-----F—+a+b+c>2(a+b+c),

所以^•+^-+：2a+b+c=l.

当且仅当a=b=c=g时取等号.

6.已知a,b,x,yeR+,x,y为变量,a,b为常数，且a+b=10,1+^=l;x+y的最小值为

18,求a,b.

【解析】因为x+y=(x+y)C+£)

=a+b+y+^>a+b+2Vab=(Va+Vb)2,

当且仅当詈争寸取等号.又(X+y)min=(仿+VB)2=18,

gpa+b+2Vab=18,①

又a+b=10,②

由①②可得忆澜:透

【拓展延伸】基本不等式的应用技巧

判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点，常见的方法有：

Q)拆项、添项、配凑

此法常用在求分式型函数的最值中，

如函数f(x)=巴筌竺

_(X+1)2+5(X+1)+4

-x+1'

可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.

(2)常值代换

这种方法常用于"已知ax+by二m(a,b,x,y均为正数),求工+工的最小值"和"已知