2022-2023学年福建省宁德某中学高三（上）第一次月考数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年福建省宁德高级中学高三（上）第一次月考数学

试卷

1.已知集合4={%|1V%V3},集合8={%|log2(x+1)42},则4U8=()

A.{%|1<%<3}B.{x\x<3}

C.{%|-1<%<3}D.{x|l-<x<3]

2.函数f(x)=In%+/-6,则f(%)的零点所在区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.94)D.(4,5)

3.若函数f(x)在x=l处的导数为2,则;0空嗯加=()

A.2B.1C.1D.6

4.已知函数〃吟=或：：广；14若《(|))=-6,则实数a=()

I4।U.X,XW乙,0

A.—5B.5C.—6D.6

6.当某种药物的浓度大于lOOmg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过

1000mg/L（安全水平）.从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减，若治疗时

首次服用后的药物浓度约为600mg/L,当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂

量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（参考数据:lg2x0.301,lg3x0.477,

lg86«1.935.）（）

A.4小时B.6小时C.8小时D.12小时

7.已知a=0.5°-4,b=logo,50.4,c=%畔，则（）

】Og27”

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

X>1

8.已知函数/(%)=kIn%',若函数y=[/(%)]24-1与y=(4a-2)/(%)的图象恰

lx3-3x4-4,x<1

有5个不同公共点，则实数。的取值范围是()

A.《，第B.(1,韵C,(1,1]D.

9.下列函数中，与函数y=x+2是同一个函数的是()

A.y=(Vx+2)2B.y=Vx^+2C.y=y+2D.y=t+2

10.若函数、=〃一(8+1)9>0且£1工1)的图象过第一、三、四象限，则必有()

A.0<a<1B.a>1C.b>0D.b<0

11.关于函数f(x)=|ln|2—x||,下列描述正确的有()

A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增

B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称

C.若X,*%2，但/Q1)=f(.x2)*则*1+*2=4

D.函数f(x)有且仅有两个零点

12.下列说法正确的有()

A.若x<则2x+2J1的最大值是—1

B.若x,y,z都是正数，且x+y+z=2,则士+--的最小值是3

C.若%>0,y>0,x+2y+2xy=8,贝阮+2y的最小值是2

D.若实数x,y满足xy>0,则京+岛的最大值是4一2企

13.若/。)=会为奇函数，则。=____.

ex+l

14.已知幕函数/'(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(neZ)在(0,+8)上是减函数，则n的值为.

15.函数一3x-％2的单调增区间是.

16.设(x)的定义域为R,且满足/(3-2%)=f(2x-l),/(-x)+/(%)=2,若f(l)=2,则

/⑴+”2)+f(3)+…+”2023)=.

17.已知全集U=R,集合A={x\2<x<5],B={x|x2—2ax+(a2—1)<0}.

(1)当a=2时,求(C/)n(QB);

(2)若xe4是xGB的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

18.已知函数/(x)=a/+ex+d(a40)是R上的奇函数，当x=2时，取得极值-16.

(1)求f(x)的单调区间和极大值；

(2)证明：对任意看,x2G[-1,1].不等式|/(右)一/(无2)1式22恒成立.

19.已知一个袋子里装有颜色不同的6个小球，其中红球2个，黄球4个，现从中随机取球,

每次只取一球.

(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球三次，至少两次取得红球”的概率；

(2)若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有红球或取球次数达到四次就终止取球，记取

球结束时一共

取球X次，求随机变量X的分布列与期望.

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAABCD,AD//BC,AB=BC=PA=1,AD=2,

CD=鱼，点E在棱PC上.

(1)求证：CD1AE；

(2)若E为PC中点，求P。与平面所成角的正弦值.

21.第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查，某地区

通过在市民中随机抽取了300户进行询查，在选择自主填报或入户登记的户数与户主年龄段

(45岁以上和45岁及以下)分布如下2X2列联表所示：现统计得出样本中自主填报的人数占

样本总数的50%,45岁以上(含45岁)的样本占样本总数的白，45岁以下且入户登记的样本有

120户.

入户登记自主填报合计

户主45岁及以上

户主45岁以下120

合计

(1)将题中列联表补充完整：通过计算判断，有没有99%的把握认为户主选择自主填报与年龄

段有关系？

(2)根据(1)中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6

户，若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁以下”的户

数为f，求f的分布列和数学期望.

附表及公式:

P(K2>ko)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

九(ad-bc)2

其中内=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

22.已知函数/(x)=上一Q(X+2).

(1)当％W(—2,+8)时,f(%)NO恒成立,求a的取值范围.

3

TrJ(X+1)+VX+1

(2)证明：_3-----.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={x|l<x<3},集合B={x|log2(x+1)<2}={x|-1<x<3},

则4UB={久|一1<xW3}.

故选：D.

求出集合A,集合B,利用并集定义能求出4UB.

本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：函数/'(X)=Inx+M-6,定义域为(0,+8),

y=Inx在(0,+8)上单调递增，y=x2-6在(0,+8)上单调递增，

:.f(x)=Inx+x2—6在(0,+8)上单调递增，

/(2)=ln2-2<0,/(3)=ln3+3>0,

故选：B.

根据函数的零点判定定理，判断选项即可得出答案.

本题考查函数零点判定定理的应用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由题意可知/''(1)=2,

0/(1+AZ)-A1)=二0&+字纲=7⑴=；X2=1.

2AX2Ax2，、J2

故选：B.

依题意/'(I)=2,再利用导数的定义求解即可.

本题主要考查了导数的定义，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，函数IQ)=工

797

则居)=3X/1=3,则/(/6))=f(3)=9+3a,

若/(/(勺)=一6，即9+3a=-6,解可得a=-5,

故选：A.

根据题意，由函数的解析式可得/(/(|))的表达式，由此可得关于a的方程，解可得答案.

本题考查分段函数的求值，涉及函数解析式的计算，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：函数/(x)=/log?分的定义域为(一2,2),

22

f(r)=xlog2|^=-xlog2|^=-/(x).

可得〃x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项8、C；

当#=1时，/(I)=log23>0,可排除选项4

故选：D.

首先判断f(x)的奇偶性，可得f(x)的图象的对称性，再计算”1),由排除法可得结论.

本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：设〃小时后药物浓度为y=600x(1-0.14)"-1,

若n小时后药物浓度小于100mg/L,则需再服药，

1

<-

由题意可得，600x(1-0.14)n-1<100,即0.86“T6

所以(n—l)lg0.86<—lg6,即-1>瑞=一姿氤0.301+0.477_0.778

1.935-2=0.06511.969,

故n>12.969,

所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，

则服用药物的间隔时间12小时最合适.

故选：D.

若〃小时后药物浓度小于100mg/L,则需再服药，由题意可得，600x(1-0.14)n-1<100,再

结合对数函数的公式，即可求解.

本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：因为。=陪・普=黑•黑=1,

lg64lg961g221g3

又0<0.50-4<0,5°=1,

所以0<a<1,

因为logos。，>logo.50・5=1，

所以b>1,

所以b>c>a.

故选：B.

由指数函数和对数函数的性质，即可得出答案.

本题考查对数式与指数式的大小关系，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：当％>1时,/(%)==欣2L若1V%Ve时,/'(%)<0,%>e时,/'(%)>0,

em%elnx

当工=C时，/(x)min=1，

则当x>l时，/(x)>/(e)=1,当％W1时，/(x)=x3-3x4-4,//(x)=3x2-3,%=-1时有

极大值/(一1)=6,/(1)=2,大致图象如图所示，

函数y=[/(%)]2+1与y=(4a-2)f(x)的图象恰有5个不同公共点，

即函数+1-(4a-2)/(%)=0有5个不同的根，

令t=/(%),即产—(4a—2)t+1=0(*),

(1)在区间(一8,1)和[2,6)上各有一个实数根，令函数〃(t)=t2-(4a-2)£+1,

仅(1)=1+2-4Q+1V0

则〃2)=4+2(2-4a)+lW0,解得旨a<春

(以6)=36+6(2-4a)+1>0

(2)方程(*)在(1,2)和(6,+8)各有一根时，

仅⑴=l+2-4a+l>0(a<l

则(“(2)=4+2(2—4a)+1<0,即<。>耳，无解.

(〃(6)=36+6(2-4a)+1<0L,>竺

I24

(3)方程(*)的一个根为6时，可得a=,，验证另一根为上，不满足，

(4)方程(*)的一个根为1时，可得a=l,可知不满足.

综上所述：实数”的取值范围是或第，

故选：A.

求导得-0)的单调性画出大致图象，函数y=[/(x)]2+1与y=(4a-2)f(x)的图象恰有5个不同

公共点，[/(切2+1一(4。-2)/(%)=0有5个不同的根,t=f(x),即产一(4a-2)t+l=0,

ti=6,t2=l时有5个不同的解，从而可得实数。的取值范围.

本题考查函数的零点与方程的根的关系，属中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：函数y=x+2的定义域为R,

对于A,y=(VF不2)2的定义域为［-2,+8),与函数y=%+2的定义域不同，故不是同一函数；

对于B,y=+2=%+2的定义域为R,与函数y=x+2的定义域相同，对应法则也相同，

故是同一函数；

对于C,y=?+2=x+2的定义域为{x|x#0},与函数y=x+2的定义域不同，故不是同一函

数；

对于。，y=t+2与函数y=%+2的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数.

故选：BD.

判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样即可.

本题主要考查两个函数是否为同一函数的判断，属于基础题型.

10.【答案】BC

【解析】解：「函数丫=。*一3+1)((1>0,(1片1)的图象在第一、三、四象限，

.•.根据图象的性质可得：a>l,a°-b-1<0,

即a>1,b>0,

故选：BC.

根据图象的性质可得：a>l,a°-b~l<0,即可求解.

本题考查了指数函数的性质，图象的运用，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数图象变换，其中根据对折变换原则，画出函数

f(x)=|ln|2—x||的图象,是解答的关键，属于中档题.

画出函数/(x)=|ln|2-x||的图象，逐一分析题目中四个描述的真假，可得答案.

【解答】

解:函数/"(x)=|ln|2-x||的图象如下图所示:

函数/(%)在区间(1,2)上单调递增，4正确；

函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，8正确；

根据图象，由“1/%2，但/(%1)=则+%2不一定等于%C错误;

函数/'(X)有且仅有两个零点，力正确.

故选：ABD.

12.【答案】ABD

【解析】解：若x<贝!]2x+^-=2%-1+-^+1<-2+1=-1,当且仅当2工-1=

22x-l2x-l2x-l

即x=0时取等号，A正确；

x,y,z都是正数，且x+y+z=2,则士+=7=+二-)。+1+y+z)=<[5+丝萼+

/x+1y+z3、x+ly+z八」'3L%+1

号Y-L1]N口15+4)=3,

当且仅当"普=号且％+y+z=2,即％=1,y+z=l时取等号，3正确；

x+ly-rz

因为x>0,y>0,x+2y+2xy=8,

所以x+2y=8—xx2y>8—当且仅当x=2y且%+2y+2xy=8.即x=2,y=1时

取等号，

解得x+2yN4,C错误；

因为xy>0,

令，=今+2,则降企，当且仅当今=2时取等号,

2yx2yx

所以2t+322V2+3,

-11

所以°〈五百S刃承'

京+哥=向+怠=(:滤)=1+W(L4-2A/2],。正确.

故选：ABD.

由已知结合基本不等式及函数性质分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了基本不等式及函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题.

13.【答案】1

【解析】解：根据题意，若/。)=学言为奇函数，

，ex4-l

则/(x)+/(-x)=0,即捺工+=e,J：方叱=1-a=0,必有a=1,

故答案为：1.

根据题意，由奇函数的定义可得/'(x)+/(-%)=0,即+-e一:：丁。-=1=3

解可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：基函数/'(%)=(n2+2n-2)xn2-3n(neZ)中，

令层+2n-2=1,

解得n=—3或n=1；

又/(x)在(0,+8)上是减函数，

所以M—3n<0,

解得0<n<3；

所以〃的值为1.

故答案为：1.

根据基函数的定义和性质，列方程和不等式求出〃的值.

本题考查了幕函数的定义与性质的应用问题，是基础题.

15.【答案】［一4,一刍

【解析】解：函数/(%)=V4-3%-%2,

由4一3%—％22o可得，-44x41,

设t=4-3x—/,则函数在［一4,一方上单调递增，在［|,1］上单调递减.

因为函数y=正在定义域上为增函数，

所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递增区间是［-4,-1］.

故答案为：［-4,一|］.

先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f(x)的单调递增区间.

本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确

定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的

依据是“同增异减”，属于基础题.

16.【答案】2023

【解析】解：vf(3-2x)=f(2x-1),

•••/(*)关于直线X=芋=1对称,则f(-*)=f(x+2),/(x)=/(2-x),

X/(-x)+f(x)=2,则/。+2)+/(2—x)=2,可得f(%)+f[2-(x-2)]=2,即/(x)+/(4-

x)=2,

所以f(一x)=f(4-x),则f(x)=/(x+4),

所以/(x)的最小正周期为4,

又/(-X)+/(%)=2,/(-%)=f(x+2),

则f(x)+f(x+2)=2,f(x+1)+f(x+3)=2,

所以f(x)+f(x+l)+〃x+2)+f(x+3)=4,

所以f(0)+/(l)+f(2)+f(3)+f(4)+……+f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2023)=4x

506=2024,

又f⑴=2,

则/(0)=1,

所以f(1)+/(2)+f(3)+…+f(2023)=2023.

故答案为：2023.

根据题意可得f(x)的周期为4,且f(x)+f(x+l)+f(x+2)+f(x+3)=4,由此容易得到答案.

本题考查抽象函数的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)4={x\2<x<5),

B={x\x2—2ax+(a2—1)<0}={x|a-1<x<a+1}.

当a=2时，B=(1,3),

则C"={x\x>5或x<2},CyB={x\x>3或%<1},

则(CMn(QB)={x\x>5或x<1).

(2)若xG4是xeB的必要不充分条件，

则则其，等号不能同时成立，解得3WaW4,

即实数。的取值范围是[3,4].

【解析】(1)根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可.

(2)若工€4是x€8的必要不充分条件，则B曙4根据条件转化为真子集关系进行求解即可.

本题主要考查集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与集

合关系转化为真子集关系是解决本题的关键，是基础题.

18.【答案】解：(1)由奇函数的定义，可知/(—%)=-/。)，XER,

,・,函数f(x)=ax3+ex+d(aH0)是R上的奇函数，

:.a(-x)3+c(一久)+d=-ax3—ex-d,,•・d=0,二/(%)=ax3+ex,

由条件/⑴=—2为/(x)的极值，可得偿?=°”，

1/⑷=-16

即存解得a=l,c=-12,

(8Q+2c=-16

:./(%)=%3—12%,/'(%)=3x2—12=3(%+2)(%—2),

令/'(%)=0,则与=—2,亚=2,

列表如下：

X(-00,-2)-2(-2,2)2(2,+co)

/(X)+0-0+

f(x)T极大值1极小值T

由表知，函数f(%)的单调递减区间是(-2,2),单调递增区间是(-8,-2)和(2,+8),

“X)族大德="-2)=16.

(2)证明：由(1)知，fix')=x3-3x的单调递减区间为(一2,2),

••・/(x)在［-1,1］是减函数，且/(x)在［-1,1］上的最大值M=/(-I)=11,

/Q)在［-1,1］上的最小值m=/(I)=-11,

•••对任意的,x2e［-1,1］恒有If6)-/(#2)l<M-m=11-(-11)=22.

【解析】(1)根据函数的奇偶性求解d的值，进而根据函数的极值得到关于a,c的方程组，解方

程组得到a,c的值，从而得到函数的解析式，对函数求导，根据导函数的符号得到函数单调性

和极大值.

(2)根据(1)中的结论得到函数在闭区间上的单调性，从而得到函数在闭区间上的最大值和最小值,

作差并取绝对值证明结论.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等恒成立问题，考查了转化思想和方程思想，

属中档题.

19.【答案】解：(1)连续取球三次，记取得红球的次数为。则随机变量f服从二项分布8(33,

则P(f>2)=C湖*|+c符尸=7.

(2)很明显随机变量X的所有可能取值为2,3,4,

211

八241,4212

P(X=3)=-x-x-+-x-x^=—,

124

P(X=4)=l----=-.

所以随机变量X的分布列为:

X234

P124

15155

所以随机变量的期望为E(X)=2x2+3x卷+4'9=||.

【解析】(1)由题意可知，该事件符合二项分布，利用二项分布公式计算可得答案；

(2)根据离散型随机变量分布列以及期望的定义解题，根据题意，求得相应的概率值，然后确定分

布列和数学期望即可.

本题主要考查二项分布概率公式，离散型随机变量及其分布列，概率统计的实际应用等知识，属

于中等题.

20.【答案】(1)证明：取的中点F,连接CF,则4F=BC,

5L.AD//BC,

二四边形A8CF为平行四边形，CF=48=1,

又4D=2,CD=V2,

CF2+FD2=1+1=CD2,•••CF1AD,

AC=y/Af2+FC2=V2,AC2+CD2=AD2,：.AC1CD,

-PA_L平面ABCD,又u平面ABCD,:.CD1PA,

又ACCP力=A,AC,PAu平面PAC,

CD_L平面PAC,

又4Eu平面PAC,•••CD1AE；

(2)解：由(1)知，AB//CF,.-.ABLAD,

因为PAJ■平面ABC。，•••PALAD,PALAB,

故以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴，)，轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),Z)(0,2,0),P(0,0,l),C(l,l,0),后弓［［)，

所以同=(0,2,-1),荏=弓［,；),而=(0,2,0),

设平面AED的法向量为元=(x,y,z),

则［亚弓=0=©x+；y+Tz=。，令“I,则z=_i,y=°,

''AD-n=0(2y=0

所以元=

设PD与平面AED所成角为。，

底画_1_VTo

则sin。=|cos<n,PD>|=

|n|-|PD|―理••恬~To-

所以PO与平面AE£＞所成角的正弦值为哥.

【解析】(1)取AO的中点F,连接CF,证明A8CF为平行四边形，求得CF的值，再根据勾股定

理可得AC1CD,结合条件得CD_L平面PAC,从而证得CO1AE；

(2)以A为坐标原点，以AB,AD,AP,所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

计算平面AE。的法向量，再根据线面角的空间向量法求解公式，代入计算，即可得到结果.

本题考查了空间中的垂直关系以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由于自主填报的人数占样本总数的50%,

故自主填报的人数为300x50%=150人，

由表可得户主45岁及以上入户登记的人数有30人,

又因为45岁以上(含45岁)的样本占样本总数的2,

则45岁以上(含45岁)的人数有300x2=80人，

列联表如下:

入户登记自主填报合计

户主45岁及以上305080

户主45岁以下120100220

合计150150300

300x(30x100-50x120)2

观测值

K2=-150x150x80x220-«