高中数学教学讲义：指数函数与对数函数

高中数学教学讲义：指数函数与对数函数

1.指数

LLn次方根与分数指数幕

情境导入课程标准

公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉

1.通过对有理数指数累

斯学派，该学派中的一个成员希帕索斯考虑—m

aRa>0,且a黄1,m,n为整数，

了一个问题：

且n>0)含义的认识，了解指数暴

边长为1的正方形其对角线长度是多少

的拓展过程。

呢?他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表

2.掌握有理数指数累的运算性

示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数或的诞

质。

生。

自主预习,'明新知

l.n次方根

如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>l,且n€N*。

可用下表表示：

n为

n为偶数

奇数

a£Ra>0a=0a<0

x=不存

x=0

在

2.根式

(1)式子曾叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。

(2)性质：当n>l,nCN*时,

(T)(Va)n=a；

cnr-(a,n为奇数，

5［同,n为偶数。

3.分数指数累的意义(a>0,m,nCN*,n>l)

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正分数指m___

a"n=Va^

数累

负分数指ii

aFF

数累

0的分数0的正分数指数累等于0,0的负分数指数落

指数塞没有意义

4,有理数指数幕的运算性质(a>0,b>0,r,sGQ)

(l)aras=ar+s；(2)(ar)s=ars；(3)(ab)r二arbr。

等微思考

1.正数a的n次方根一定有两个吗？

提示：不一定。当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反

数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数。

m____

2.等式前=府成立的条件是什么？

提示：教材要求a>0,实际应用时，只要府有意义即可，如：(-

8_-------------8

8

2)3=V(-2)=23O

合作探究,‘攻重难

类

n次方根的概念

型一

【例1】(1)(多选)J(a-b)2+［(a-b)5的值可能是(AC)

A.0B,2(b-a)

C.2(a-b)D.a-b

解析若a?b,则原式二a・b+a・b=2(a・b),若avb,贝ij原式二b-a+a・b=O。

(2)化简：-a)2+1(l-a)3=a-1。

解析由(—a—1)2知a-lzO,a>l0故原式=a-l+|l-a|+l-a=a-l。

(3)若J(x-5)(x2-25)=(5_X)V^T^,则x的取值范围是［-5,5］。

解析因为J(x—5)(x2-25)=J(X-5)2(x+5)=(5-X)A/TT5,所以

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+cB2'所以-54X45。所以实数X的取值范围是-54X45。

一3三U,

反思感悟

根式化简与求值的思路及注意点

(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质

进行化简。(2)注意点：①正确区分(%)n与他两式。②运算时注意变式、整

体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进

行讨论。

【变式训练】下列说法：

①VZ^=3；

②16的4次方根是±2；

③V^=±5；

④J(x+y)2=|x+y/

⑤若x<2,则.(X—2)8+(/x-夜)3=2-&。

其中正确的是②④⑤o(填序号)

解析V1而=-3,①错误；16的4次方根有两个，为±2,②正确；

“625=5,③错误；J(x+y)2是非负数,所以J(x+y)2=|x+y|,④正确；由题

意知x-2<0,^/(x-2)8+(Vx—V2)3=|x-21+x-V2=2-x+x-V2=2-V2,⑤正确。

根式与分数指数幕的互化

【例2】把下列根式化成分数指数基的形式，其中a>0,b>0o

(1)府；(2)壶；(3)有；(4)代牙。

[1]Va^=as0

⑶洛野

(4)^/(—a)6=Va^=a2=a3。

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反思感悟

m

指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当awO时，a不有时有意义，有

1____1

时无意义，如但(-1)5就不是实数了。为了保证在辞取任何实数

m

时，aa都有意义，所以规定a>0。当被开方数中有负数时，暴指数不能随意约

分。

【变式训练】把下列根式化成分数指数嘉。

⑴(2)V^(a>o)；

(3)b3•府；(4)3r—.

Jx(标)2

解：

⑴球=2套。

(2)>/aVa=jr•a2=-Ja^=(az)2=a4o

(3)b3-Vb2=b3-bt=bT0

1_1ii--

(4),=-^^=~3(X第xlx5o

33

XX5

类

有理数指数累的运算

型三

【例3】计算下列各式:

⑴(2|)0+2-2x(23<0,010.5；

1/7\0_4_

(2)0.0643-^--j+[(-2)3]3+16-0.75；

ab1)3

^~1(a>0,b>0)o

O.「2(a3b-3”

解：

⑴原式=1+3削岛户展舄唱

(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=2-1+工+工=4。

216816

13

hlx42-4223A4

原式二----・

i(3J)100a2-a2b2-b2=—25aObO=—250

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反思感悟

有理数指数塞运算的解题通法

（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算。（2）先乘除后加减，

负指数毒化成正指数幕的倒数。（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先

化成分数，底数是带分数，先化成假分数。（4）若是根式，应化为分数指数幕，

并尽可能用累的形式表示，运用指数基的运算性质来解答。（5）运算结果不能同

时含有根式和分数指数累，也不能既有分母又含有负指数幕，形式力求统一。

1111

【变式训练】（1）化简（a3b5）5+（a5bl］（a>0,b>0）的结果为（A）

oh

A.aB.bC.-D.-

ba

31

解析原式=翌=2。

a2b4

核心素养达成明易错•误区警示

两重根号的根式

化简

［典例］计算：V5-2V6+V5+2V6o

【分析】将5-2遍和5+2遍配成平方形式。

(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b2+2ab；

(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2abo

【解】M^=J(V3-V2)2+J(V3+V2)2=IV3-V21+1V3+V21=V3-

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V2+V3+V2=2V3o

反思感悟

对于形如Jm±2VH（m>0,n>0）的双重根式，当满足a>b>0,a+b=m,

ab=n时，WVm±2Vn=VaiVb»

【变式训练】⑴求值：V4-V15+V4+V15o

解：

(2)求值：,5+2遍+J7-4存-4怎

解：

75+276+77-473-76-4A/2=J(V3+V2)2+J(V3-2)2-

J(2-V2)2=V3+V2+2-V3-(2-V2)=2V2o

当堂检测,'提素养

1.已知J（a—b）2=a・b,则（B）

A.a>bB.a>b

C.a<bD.a<b

2.（多选）下列各式中有意义的是（AC）

A-V（-4）2nB，V（-4）2n+1

C.Va^D.Va^（aGR）

3,化简（方而）4-（退序）49>0）的结果是（C）

A.al6B.a8C.a4D.a2

4.若黄二3+（a-4）0有意义，则实数a的取值范围是［2,4）U（4,+oo）。

解析由a-2“，且a-4黄0,得a“，且a"。

5・计算（1+3（1+套）（1+41+3的值。

解:

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原式=（1-』）（均）（1+表）S+专）（1+者）

八"T

_（1-今）（1+为（i+书（i+专）

_（"金（1+,）（1+表）

一:-I

课时达标检测(二十五)n次方根与分数指数嘉

-------------基础达标-------------

一、单项选择题

1.下列各等式中成立的是(a>0)(B)

A.al=V^B.al=V^

2______1

C.as=±Va2D.a-2=-Va

解析因为a?="\/系，a3=Va2,aW=J丞，a_5=石，所以成立的是a5=J示。

2.下列各式正确的是(D)

A.VZ5=V(Z5)2

B.J(3—n)2=3-IT

C.Va"=|a|(n>l,nGN*)

D.(V^)n=a(n>l,nGN*)

解析V^5=-V5,，(一57=耨,A错误；J(3-n)2=|3-n|=TT-3,B错误;

当a<0,n为奇数时，C错误。故选D。

3.若xy黄0,那么等式J^p=-xy4成立的条件是(C)

A.x>0,y>0B,x>0,y<0

C.x<0,y>0D.x<0,y<0

(x2y3>0,(X<0

解析因为xyHO,所以XHO,y*Oo由《-xy>0,得|'

(y>0口>。。

2

4.已知a>0,将不一表示成分数指数暴，其结果是(C)

Ja-Va2

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1573

A.a2B.a6C.a6D.a2

221_57

解析,-a---=a2-r(a*a3)2=a2-6=a6o故选C。

Ja-Va2

5.把aR根号外的a移到根号内等于(D)

A.V^B.~VsC.V—8D."V—a

解析由题知a<0,所以a巨-卜(-沪户,故选D。

3

6.(3-2x)F中x的取值范围是(C)

A.(-8,+00)B.(-8,1)U(|,+8)

C(-8?)D,g,+oo)

解析(3-2x)V=」-y=而，=『，要使该式有意义，需3-2x>0,BPx<|o

(3-2x)4J(3-2X)32

二、多项选择题

7,下列根式与分数指数幕互化中正确的是(BC)

A.J(—2)2=2B.7V?=25

C.Vm2+n2=(m2+n2)3D.(')=a^b5

8.当a,beR时，下列各式恒成立的是(BC)

A.(Va-Vb)4=a-bB.(Va+b)4=a+b

C.Va^-Vb^=|a|-|b|D.，(a+b)，=a+b

解析对于A,可令a=16,b=81,y/a=2,Vb=3,式子左边为(2-3)4=l,

右边为16-81=-65,右边H左边，不成立；对于B,由n次方根的定义，可知

(Va)n=a,则(Va+b)4=a+b恒成立,故B对；对于C,由n次方根的性质知,

当n为偶数时，V亚=|a|,可知於至孤私|a|-|b|恒成立，故C对；

V(a+b)4=|a+b|,故D不成立，故选BC。

三、填空题

9.化简：-a)2+?(l-a)3=al。

解析由(—a—1)2矢口a-1-0,a>lo故原式=a-l+|l-a|+l-a=a-l。

10.若(际辽)4有意义，则实数a的取值范围是a>-l,若(VKTI)4=-a-

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1,则实数a的值为-1o

解析要使(vm)4有意义，须满足a+CO,即a〉l；又

(Va+l)4=a+l,而已知为(〃a+l)4=-a-l,所以有a+l=-a-l,解得a=-l。

11.己知弓+6=1,则o

解析由畀b=l,得[岁=32a+b*4=3京+b=3。

四、解答题

12.计算或化简：

_2

(1)(-33+(O,OO2)4-1O(V5-2)-1+(V2-V3)O；

5

⑵Jaly/a^-J(a-)4.(a4)13o

解：

_2_1_2

⑴原式=(-l)-f(3|尸+(高广-卷+1=停厂+5。。豆。(遥+2)+1=扣。花-

10V5-20+l=--o

9

331111151311

(2)原式=®迫可[@5尸(a刁13]?=(a0声®T初=(a-4)5=a-2。

-------------素养提升-------------

13,已知集合A={-a,Va^,4),B=枭2b,J@LA=B,则a+b=

3o

解析由集合中元素的互异性，可知-aw后，aHO,所以a>0,所以A={-

a,a,4},B={-a,1,2b},又八=8,所以a=l,4=2b,即a=l,b=2,所以

a+b=3o

14.设f(x)=《^,若Ovavl,试求f(a)+f(l-a)的值，并进一步求

f(焉)+(rh)+f(高)+••,+，(焉)的值。

解：

4

因为f(a)+fri-a)=^-+^—-=—+V!-=—+—=1-

1J1

J4a+24一+24a+2±+24a+24a+2

所以f(—)+)+)+)=ff(—)+f(—)]

ki001/li001/li001/ki001/li001/ki001/