高中数学《排列与组合》教学设计（四课时）

《6.2排列与组合》教学设计

课题排列课时第一课时

学习1.掌握排列的意义，能够正确区分排列问题，能够运用所学排列知识，正确解决实际问题.

目标2通.过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.

重点排列的概念.

难点应用排列知识解决实际问题.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情景一：A,B,C,3个同学排成一行照相，有多少

种不同的排法？

答：①A、B、C②A、C、B③B、A、C

④B、C、A⑤C、A、B⑥C、B、A

共有6种排法.

学生思考问设置问题情

情景二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某题，引出本节境，激发学生

天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名新课内容.学习兴趣，并

同学参加下午的活动,有多少种不同的方法？引出本节新课.

答：①甲、乙②甲、丙③乙、甲④乙、丙

⑤丙、甲⑥丙、乙共有6种排法.

情境三：从a、b、c、d这四个字母中，取出3个

按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

答：解决这个问题，需分3个步骤：

第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1

个，有4种方法；

第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去

取，有3种方法；

第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母

中去取，有2种方法.

根据分步计数原理，共有4X3X2=24种不同的排

法.

思考：上面三个问题有什么共同特征？

答：上面三个问题都是研究从一些不同元素中取出

部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法.

讲授新课新知讲解：排列

一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素，

按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中

取出m个元素的一个排列.利用不同的情

境问题，探究

概念剖析：排列的概念，

1、元素不能重复，n个元素中不能重复，m个元培养学生探索

素中也不能重复.的精神.

2、“按一定顺序”，就是与位置有关，这是判断一学生根据不同

个问题是否是排列问题的关键.的情境问题，

3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素探究排列概

完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.念.

例题讲解：

例1某中学生足球预选赛每组有6支队，每支队

都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛一场，

那么每组共进行多少场比赛？

答：每组任意2支队之间进行一场比赛，可以看作

从该组6支队中选取2支，按主、客队的顺序组成加深学生对基

一个排列.先从6支队中选1支为主队，然后从剩础知识的掌

下的5支队中选1支为客队，按照分步乘法计数原握，并能够灵

理，每组进行的比赛场数为：活运用基础知

6X5=30.识解决具体问

例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、利用例题引导题.

丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同学生掌握并灵

的取法？活运用排列知

答：可以先从5盘菜中取1盘菜给同学甲，然后从识解决实际问

剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3题.

盘菜中取一盘给同学丙.按分步乘法计数原理，共

有5义4X3=60种不同的取法.

(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、

丙3名同学每人从中选择1种，共有多少种不同的

选法？

答：可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选

法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选

法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种

选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数

为：

5X5X5=125

课堂练习：

1.判断下列问题是否是排列问题？

(1)从2,3,5,7,11中任取两数相乘可得多少个不同

的积？

(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少个不同

的商？通过练习，巩

(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各固基础知识，

一人，共有多少种可能的选举结果？发散学生思

(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商维，培养学生

品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少通过课堂练思维的严谨性

种？习，检验学生和对数学的探

答：(1)乘法符合交换律与顺序无关，不是排列问对本节课知识索精神.

题.点的掌握程

(2)上、下互换结果不一样，与顺序有关，是排列度，同时加深

问题.学生对本节课

(3)请同学们记住“正”的就是“正”的，正副不知识点的掌握

同，是排列问题.及运用.

(4)“门”不同，先后也不一样，是排列问题.

2.从1,2,3,4这4个数中，每次取出3个排

成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

答：

・汇A2dx/点S

因此可写出所有的三位数：

123,124,132,134,142,143;213,214,

231,234,241,243；312,314,321,324,

341,342;412,413,421,423,431,432.所以

共可得到24个不同的三位数.

拓展提高：

3.写出A,B,C,D四名同学站成一排照相，A不

站在两端的所有可能站法.

BC

答.r,('D(：Hi)BACA

故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,

CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,

DCAB,共12种.

链接高考：

4.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将

甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两

人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法

种数为（C）

A.120B.240C.360D.480

答：解析：第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到

前排，有3利h第二步，前排3人形成了4个空，

任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形

成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成

6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘

法计数原理有3X4X5X6=360种方法.

课堂小结1.排列学生回顾本节让学生掌握本

2.排列的判断课知识点，教节课知识点，

师补充.并能够灵活运

用.

板书§6.2.1排列

一、新知导入三、例题讲解

二、新知讲解四、课堂练习

1.排列五、拓展提高

六、课堂总结

七、作业布置

《6.2排列与组合》教学设计

课题排列数课时第二课时

学习1.能用计数原理推导排列数公式.

目标2.掌握排列数概念及排列数公式并计算排列数，能够使用排列数公式解决实际排列问题.

重点排列数公式计算.

难点能用排列数公式解决简单的实际问题

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情景一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加

某天的一项活动,其中1名同学参加上午的

活动，1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方

法？

答：要解决该问题，可以分为两个步骤：

（1）从甲、乙、丙3名同学中选择1人参加上午

的活动，有3种方法；（2）从剩下的2名同学中

选择1人参加下午的活动，有2种方法；根据分学生思考问

步乘法计数原理，总共有3x2=6种不同的方题，引出本节

法新课内容.

设置问题情境，

情景二：从a、b、c、d这四个字母中，取出3个激发学生学习兴

按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？趣，并引出本节

答：要解决该问题，可以分为三个步骤：（1）从新课.

a、b、c、d四个字母中选出1个字母，排在第一

位，有4种选法；（2）从剩下的3个字母中选择1

个字母，排在第二位，有3种选法；（3）从剩下

的2个字母中选择1个字母，排在第三位，有2

种选法；根据分步乘法计数原理，总共有4x3x

2=24种不同的方法.

讲授新课新知讲解：排列数

我们把从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所

有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m

个元素的排列数，用符号4记表示.例如情景一中，

是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，

表示为思，通过前面导入算得:%=3X2=6.情景

二中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列

数，记为用,已经算出题=4X3X2=24.利用不同的情境

合作探究：从n个不同元素中取出m(mWn)个元素问题，探究排列

的排列数47是多少？数的概念及排列

(1)可以先从特殊的情况开始研究，如求排列数学生根据不同数，培养学生探

照的情境问题，索的精神.

；假设有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中探究排列数概

选取2个元素去填空，一个空位填上1个元素，念及排列数公

每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排式

列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的

种数就是排列数4套.第一步，填第1个位置的元

素，可以从n个不同元素中任取1个，有n种选

法；第二步，填第2个位置的元素，可以从剩下

的(n-1)个不同元素中任取1个，有(nT)种选

法；根据分步乘法计数原理，2个空位的填法总数

为解=n(n-1)；

(2)同理，求排列数4卷可以按照依次填3个空位

的方法来考虑，有/^=n(n-l)(n-2)；

(3)同理，求排列数47可以按照依次填m个空位

的方法来考虑;第一步：从n个不同元素中任选一

个填在第1位，有n种选法；第二步：从剩下的

(nT)个不同元素中任选一个填在第2位，有(n-

1)种选法；第三步：从剩下的(n-2)个不同元素中

任选一个填在第3位，有(n-2)种选法……第m

步：从剩下的[n-(m-l)]个不同元素中任选一个填

在第m位，有

[n-m+1]种选法；根据分步乘法计数原理，m个空

位的填法种数为：n(nT)(n-2)...[n-(m+l)]

新知讲解：排列数公式

知=n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n

个元素的一个全排列.此时，排列数公式中m=n,

即有4*=n(n-l)(n-2)x...x3x2x1

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作

n!,所以n个元素的全排列数公式可以写成

n\,规定:0!=1.因此,

4普=n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

n(n—l)(n—2)...(n—m+1)...x2x1

(n—m)x...x2x1

理_n!

_^n-m-(n-m)!

总结归纳：(1)排列数公式中连乘积的特点是：

第一个因数是n,后面每一个因数都比它前面一个

因数少1,最后一个因数是n-m+l,共有m个因

数相乘；(2)一般来说，在直接进行具体计算

时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列

数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘

形式较好；(3)排列数公式的第一个常用来计

算，第二个常用来证明.

例题讲解：

例1计算：⑴"(2)At⑶薯

(4)式x掰

答：⑴用=7x6x5=210

⑵用=7x6x5X4=840

⑶铝然7x6x5=21。

(4)A^xAl=6X5X4X3X2X

1=6!=720

例2用0~9这10个数字，可以组成多少个没有

重复数字的三位数？

答：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位

上，其他9个数字可以在任意数位上，因此0是

一个特殊元素.

解法一：由于三位数的百位上不能是0,所以可以

加深学生对基础

分两步完成：第一步：确定百位上的数字，可以

知识的掌握，并

从广9这9个数字中取1个，有福种取法；第二

能够灵活运用基

步：确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9

础知识解决具体

个数字中取2个，有属种取法；根据分步乘法计

利用例题引导问题

数原理，所求三位数的个数为：禺x四=9X9X

学生掌握并灵

8=648

活运用排列与

解法二：符合条件的三位数可以分三类：第一

排列数公式解

类：每一位数字都不是0的三位数，可以从广9

决实际问题

这9个数字中取出3个，有属种取法；第二类：

个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个

数字中取出2个放在十位和百位，有题种取法；

第三类：十位上的数字是。的三位数，可以从剩

下的9个数字中取出2个放在个位和百位，有花

种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的

个数为：4^+4；+4；=9x8x7+9x8+

9x8=648

解法三：从0~9这10个数字中选取3个的排列数

为&o,其中0在百位上的排列数为它们的差

就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的

个数，即所求三位数的个数为：屈0-禺=10x

9x8-9x8=648

知识拓展：

排队问题的解题策略(相邻、不相邻、定序等问

题)：

⑴对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将

相邻的元素视为一个整体进行排列.

⑵对于不相邻问题，可采用“插空法”解决即先

排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.

(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即

用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.

(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素

优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决.

课堂练习：

4.计算：(1)Al0(2)福(3)差篝通过课堂练

A1O~A1O

习，检验学生

答：(1)用0=10x9x8=720

对本节课知识

(2)711=8x7x6x5x4=6720

点的掌握程通过练习，巩固

(3)A9~A9_9x8x7x6x5-9x8x7x6

四0一雷。10x9x8x7x6x5-10x9x8x7x6

度，同时加深基础知识，发散

5-1_1

-10x5-10-10学生对本节课学生思维，培养

2.某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5知识点的掌握学生思维的严谨

及运用性和对数学的探

人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相邻的排法

索精神.

种数为(C)

A.24B.36C.48D.60

3.从5名同学中选出正、副组长各一名，有多

少种不同的选法(B)

A.24B.20C.10D.9

4.已知/氏=100及，贝！Jx=(C)

A.11B.12C.13D.14

拓展提高：

5.已知3制T=4制-2,贝|jn=(B)

A.5B.7C.10D.14

6.解不等式：<6A^2(且xWN且x23)

答：原不等式即,也就是

(9-x)!(11-x)!

11

(9—x)!、6*Qi_x)(10—x)(9—%)!

化简得：X2-21X+104<0,解得8<X<13,

因为3WxW9,所以x=9

7.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的

五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数

歹

(1)45312是这个数列的第几项？

解：先考虑大于45312的数，分为以下两类：第

一类5开头的五位数有：题=24;第二类5开头

的五位数有：45321一个;所以不大于45312的数

有：星一温一1=95个；即45312是该数列中第

95项.

(2)这个数列的第71项是多少？

解：1开头的五位数有展=24个；2开头的五位

数有&=24个；3开头的五位数有*=24个.共

有24x3=72个，所以第71项是3开头的五位

数中第二大的数，即35412.

8.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，

求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排

解：从7人中选5人排列，有心=7X6X5X4X

3=2520种.

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

解：分两步完成，先选3人站前排，有心种方

法，余下4人站后排，有题种方法，共有心X

题=5040种;

(3)全体排成一排，女生必须站在一起；

解：将女生看作一个整体与3名男生一起全排

歹U，有川种方法，再将女生全排列，有属种方

法，共有川x川=576种

(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站

最右边；

解：先排甲，有5种方法，其余6人有鹿种排列

方法，共有5X43=3600种

(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站

最右边.

解：7名学生全排列，只有另种方法，其中甲在最

左边时，有鹿种方法，乙在最右边时，有服种方

法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情

形，有福种方法，故共居一2飕+福=3720秘

链接高考：

9.若排列数P黑=6X5X4,贝ljm=3

解：由于喀=6X5X(6-m+l)=6X5X4,所以6

-m+l=4,解得m=3

课堂小结3.排列数学生回顾本节让学生掌握本节

4.排列数公式课知识点，教课知识点，并能

师补充.够灵活运用.

板书§6.2.2排列数

一、新知导入三、例题讲解

二、新知讲解四、课堂练习

L排列数五、拓展提高

2.排列数公式六、课堂总结

七、作业布置

《6.2排列与组合》教学设计

课题6.2.3组合课时第三课时

掌握组合的意义，能够正确区分排列与组合问题.

学习1.

能够运用所学组合知识，正确解决实际问题.

目标2.

重点组合的概念及组合问题的判断.

难点将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到组合的定义.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情景一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加

某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1

名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

答：从三名学生中选出两名学生，然后将选出的两

名学生按照一定的顺序（上午和下午）进行排列，

共有掰=6种方法

情景二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加学生思考问

某天一项活动，有多少种不同的选法？题，引出本节

答：甲乙、甲丙、乙丙新课内容.设置问题情

境，激发学生

合作探究：学习兴趣，并

上面两个问题有什么区别？引出本节新

答：(1)第一个问题是从已知的三个不同元素中每课.

次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列.不仅

要选出2个元素，而且要对所选出的元素进行按照

一定顺序排列.(2)第二个问题是从已知的3个不

同元素中取出2个元素，不需要按照一定顺序排

列.

讲授新课新知讲解：组合

一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素作

为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一

个组合.

要点归纳：

(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的,取出的

m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m

次不放回地取出.

(2)组合的特性:元素的无序性.取出的m个元素不讲

究顺序，即元素没有位置的要求.学生根据不同

思考：排列与组合有什么异同点？的情境问题，利用不同的情

答：相同点：两者都是从n个不同元素中任取m个通过对比思考境问题，通过

元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元探究组合问题对比探究组合

素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排的概念，培养

列才是相同的；两个组合只要元素相同，不论元素学生探索的精

的顺序如何，都是相同的.神.

思考：下列问题是排列问题还是组合问题？

校门口停放着9辆共享单车，其中黄色、红色和绿

色各有3辆，则

(1)从中选择3辆，有多少种不同的方法？

答：组合问题

(2)从中选择3辆给3位同学，有多少种不同

的方法？

答：排列问题

例题讲解：

例1平面内有A,B,C,D共4个点.

(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？

答：一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以

平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，

就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即

有向线段条数为：Aj=4x3=12

(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？

答：由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端

点相同，方向不同的两条有向线段作为一条线段，

就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条

数，共有:AB、AC、AD、BC、BD、CD六条.

例2五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏

文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、利用例题引导

木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、学生掌握并灵

木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若活运用组合知

从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的选识解决实际问

取方案共有多少种？题.

S

答：从5类元素中任选2类元素，它们相生的选取

加深学生对基

有：火土，土金，金水，水木，木火，共5种.

础知识的掌

例3从A、B、C、D、E这5名同学中选3人参加

握，并能够灵

演讲比赛，其中A同学必须参加，则有多少种不同

活运用基础知

的选法？

识解决具体问

答：由于A同学必须参加，所以需要再从B、C、D、

题.

E四名同学中选取2人，则可能的方法有：BC、BD、

BE、CD、CE、DE共六种方法.

课堂练习：

1.给出下列问题：

(1)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一

件工作，有多少种不同的选法？

(2)从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两

件不同的工作，有多少种不同的选法？

(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛，

共需赛多少场？

(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军，有多少种

不同的结果？

(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为

2枪连中，不同的结果有多少种？

(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰通过课堂练通过练习，巩

有3枪连中，不同的结果有多少种？习，检验学生固基础知识，

在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问对本节课知识发散学生思

题？点的掌握程维，培养学生

答：(2)(4)(6)是排列问题;度，同时加深思维的严谨性

(1)(3)(5)是组合问题学生对本节课和对数学的探

2.以下四个问题中，属于组合问题的是(C)知识点的掌握索精神.

A.从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列及运用.

B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C.在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出

2名幸运之星

D.从13位司机中任选出两位分别去往甲、乙两地

3.已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不

共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数

为(B)

A.3B.4C.12D.24

拓展提高：

4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加

运动会，如果要求至少有1名女生，那么不同的选

择方案种数为(A)

A.14B.24C.28D.48

答：由于至少有1名女生，所有包含两种方法：

(1)有1名女生：则在2名女生中选1名，有2

种方法，再在4名男生中选择3名同学，假设4名

男生分别为A、B、C、D,则有:ABC,ABD、ACD、

BCD4种方法，故共有2x4=8种方法；

(2)有2名女生：则在2名女生中选2名，有1种

方法，再在4名男生中选择2名同学，假设4名男

生分别为A、B、C、D,则有：AB、AC、AD、BC、

BD、CD共6种方法.所以共有8+6=14种方法.

课堂小结5.组合学生回顾本节让学生掌握本

6.组合问题的判断课知识点，教节课知识点，

师补充.并能够灵活运

用.

板书§6.2.3组合

一、新知导入三、例题讲解

二、新知讲解四、课堂练习

1.组合五、拓展提高

六、课堂总结

七、作业布置

《6.2排列与组合》教学设计

课题6.2.4组合数课时第四课时

掌握组合数概念及组合数公式并计算组合数.

学习1.

能够使用组合数公式解决实际组合问题.

目标2.

重点组合数公式计算.

难点使用组合数解决实际问题.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情景一：从a,b,c三个不同的元素中取出两个

元素的所有组合分别是：设置问题情

答：ab,ac,be3种学生思考问境，激发学生

情景二：已知4个元素a,b,c,d，写出每次取题，引出本节学习兴趣，并

出两个元素的所有组合：新课内容.引出本节新

答：ab,ac,ad,be,bd,cd6种课.

上面两个问题中，通过一一列举得到符合要求的组

合的个数，但是随着元素个数的增加，一一列举变

得越来越复杂甚至变得不可能。那么能否像排列数

一样，找到一个用来计算组合个数的公式，根据公

式方便的计算出组合的个数？

讲授新课新知讲解：组合数

从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同

组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素

的组合数，用符号C针表示.

问：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天

一项活动，有多少种不同的选法？

答：鹰

问：组合与组合数有什么区别？

答：组合是指“从n个不同元素中取出m(mWn)个

元素合成一组”，它不是一个数；

组合数是指“从n个不同元素中取出m（m〈n）个元

素的所有不同组合的个数”，它是一个正整数.

合作探究：组合数制与排列数之间有什么关系？

怎么利用排列数来求组合数？学生根据不同

（1）通过导入一：从a,b,c三个不同的元素的情境问题，

中取出两个元素的组合数为第=3探究组合数概

（2）从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组念及组合数公利用不同的情

合数盘.式.境问题，探究

分析：从4个元素中取出3个的排列数为圈，以”组合数的概念

相同元素”为标准，将这24个元素分组，一共有4及组合数，培

组，因此废=4.养学生探索的

组合制精神.

1二^I.abcbaccab

---------acbbcacba

ribd~\一＞abdbaddab

L-'adbbdadba

|acd|acdcaddac

adccdadca

1bed，hcdchddbc

1---------!bdcedbdeb

通过上图可以发现，求排列数就也可以分为以下两

个步骤：（1）从4个元素中取出3个元素作为一

组，共有盘种不同的取法；（2）将取出的3个元素

做全排列，共有房种不同的排法.根据分步乘法计数

原理，&=盘用，所以，盘=条

月3

同理，求从n个元素中取出m个元素的排列数可以

通过以下两个步骤得到：

（1）从n个元素中取出m个元素作为一组，共有

C留种不同的取法；（2）将取出的m个元素做全排

列，共有品种不同的排法；根据分步乘法计数原

理，

谓=优福，所以，蕾=奈

新知讲解：组合数公式

_"_n（n-l）（n-20..（n—m+l）

n-4黑一m!

其中，m,neN*,且mWn.因为制=（n二）!,，则

。铲=规定：C°=1

11m!（n-7n）!11

例题讲解：

例2计算：⑴%（2）4（3）啜

利用例题引导加深学生对基

⑷*

学生掌握并灵础知识的掌

答：（1）比。=尊=^^=120

人33!

活运用组合与握，并能够灵

（2）或。=下竺1不=誓竿!=120

107!（10-7）!7!X3!组合数公式解活运用基础知

⑶金=簿4io=1决实际问题识解决具体问

^10

题

（4）C°o=1

思考：（1）分别观察例1中（1）与（2）,（3）与

（4）的计算结果，有什么发现？

答：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与

（4）的计算结果相同.（1）与（2）都是从10个元

素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元

素，（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元

素个数10.（3）与（4）同理.

（2）例1中（1）与（2）分别用了不同形式的组合

数公式，对公式的选择有什么想法？

答：当所选元素个数较多时，选择第二种组合数公

式；当所选元素个数较少时，选用第一种组合数公

式.

组合数性质：

性质1：c$=CL

讦日月・Cn~m=_________=_____

"*n(n-m)![n-(n-7n)]!(n-7n)!m!

c*=---------

(n—m)!m!

所以，宽=CL

性质1说明：(1)等式两边下标相同，上标之和等

于下标；(2)该性质适用于当m>n/2时，计算C铲可

以转换为计算印-%使计算简单；(3)当

以=第时，则x=y或x+y=n.

思考：一次旅游，有10名游客和1名导游.(1)从

这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，则有多

少种不同的中奖情况？(2)从这10名游客与1名

导游中抽取3名幸运奖，且导游必须中奖，则有多

少种不同的中奖情况？(3)从这10名游客与1名

导游中抽取3名幸运奖，且导游一定没有中奖，则

有多少种不同的中奖情况？

答：(l)C；o=12O(2)Cl=36(3)Cl=36

通过上面的情况我们发现：

性质2：C慝1=+C铲一

证明：C铲+CL=(n；_+(mT)J(mF!

=_(n+l)!_=

m!(n+1-m)!n+1

例2在100件产品中，有98件合格品，2件次品.

从这100件产品中任意抽出3件.

(1)有多少种不同的抽法？

答：从100件产品中任意抽出3件，不需要考虑顺

序，因此是一个组合问题，所以从100件产品中任

意抽取3件的抽法种数为：%。吟=】。丁8=

161700

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少

种？

答：可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格

品中抽出2件，先从2件次品中抽出1件的抽法有

6种，再从98件合格品中抽出2