高中数学新教材第八章立体几何初步知识点+典型例题+变式训练教师版

第八章立体几何初步知识+典型例题+练习题+答案

一、基本立体图形

1棱柱的结构特征

一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互侧相平

行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱

2.棱锥的结构特征

一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何

体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧

面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正

多边形的中心。

正四面体：四个面都是全等三角形的三棱锥。正四面体是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四

面体。空间四边形是三棱锥。

3.圆柱的结构特征

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.旋转轴

叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面

叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

4.圆锥的结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体

叫做圆锥.

5.棱台于圆台的结构特征

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分，这样的几何体叫做棱台在

棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点.

6.球的结构

以半圆的直径所在直线为旋转轴.半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.简称球.半圆的圆

心叫做球的球心.半圆的半径叫做球的半径.半圆的直径叫做球的直径.

二、直观图

定义:直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何图获得的图形，画立体图形的直观图，实

际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。

因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。

在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形

画法：斜二测画法和正等测画法.

1、斜二测画法规则

（1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点0,画直观图时，把它们画成对

应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O',且Nx'O'y'=45°（或135°）,它们确定的平面表示水平

面

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x,轴与了轴的线段

⑶已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观

图中长度为原来的一半

OC—&q

乙、»直观图一73平面图

3、典型例题

例1.已知下“斜二测”画法下，^ABC的直观图是一个边长为4的正三角形，则aABC的面积为

A.V6B.8娓C.16屈D.46

【答案】B

【解析】“斜二测”画法下，直观图的面积是原来的面积的变，故B正确.

4

4、变式训练：如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底

均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（A）.

A.2+V2B.匕也C.竺叵D.1+V2

22

三、棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它

们的各个面的面积的和

L棱柱、棱锥、棱台的体积

棱柱：柱体的底面面积为S,高为h,则丫=511

棱锥：椎体的底面面积为S,高为h,则丫=j511

3

棱台：台体的上、下底面面积分别为S',S,高为h,则V=：（S'+厌+S）〃

2.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积

表面积

（1）圆柱表面积：S圆柱：2乃r（r+/）（r是底面半径，1是母线长）

（2）圆锥表面积：％锥="「（r+/）（r是底面半径，1是母线长）

（3）圆台表面积：S圆台=%（/+/+//+〃）（/,「分别是上、下底面半径，/是母线长）

（4）球的表面积：S球=4成2,

3.体积

（1）圆柱体积：％柱="%（r是底面半径，h是高）

（2）圆锥体积：/锥=:»/〃（r是底面半径，h是高）

（3）圆台体积：1台=；7〃（/2+/r+/）（//分别是上、下底面半径，/i是高）

4

（4）球的体积：匕求=§乃，

%体=^^^%体=3（5'+闻+5）〃^^%体=：5//

4、典型例题

例:L.在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为V3的圆柱，求圆柱的表面积.

【答案】解：设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表

面积为S,

底面半径为2母线长为4的圆锥的高为V16^4=2V3,

则圆柱的上底面为中截面，可得r=1,

•••2s底.=2",S侧=2A/3n,S=（2+2取）n

例2.如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm和

10cm,侧面积为780cm2,求其体积

【答案】解：取必当的中点4，AB的中点E,上、

心。1。，则EiE为斜高，四边形EOOiEi为直角梯形，

网=4xgx(10+20)xEE]=780,

...EEi=13cm,在直角梯形EOOiEi中,

1一1

O1E1==5cm,OE=-AB=10cm,

01。=V132-(10-5)2=12cm,

故该四棱台的体积为V=|x12x(102+202+10x20)=2800cm2

5、变式训练

1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是(C)

A.16〃B.204C.24%D.327r

2.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为与兀R'.

~24.

3.底面半径为1,母线长为2的圆锥的体积为

A.2lB.6兀C.—D.叵

33

【答案】D

【解析】底面半径为1，母线长为2的圆锥的高为：

底面半径为I,母线长为2的圆锥的体积为：口12小班=叵.

33

4.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54万，则该圆柱的侧面积为.

【答案】36万

【解析】设圆柱的底面半径为因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为

因为该圆柱的体积为54%,4户h=2冗，=54万,解得r=3,

所以，该圆柱的侧面积为21rx2r=36冗.

5.已知圆锥的轴截面是等边三角形，该圆锥的体积为正乃，则该圆锥的侧面积等于.

3

【答案】21

【解析】设圆锥的底面半径为r，则母线长/=2r,高为h=6r.

%雕•曲升=日万，得厂=1.，该圆锥的侧面积S=乃〃=2乃，=21.

四.平面

1.三个基本事实

(1)过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。(不共线的三点确定一个平面)

(2)如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

(3)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2.三个推论

（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面

（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面

3.基本事实4平行的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行

等角定理：空间中如果一个角的两边对应平行，则这两个角相等或互补

五、空间点、直线、平面之间的位置关系

1.空间中直线与直线的位置关系

（1）异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

（2）空间中两条直线的位置关系

相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点

平行直线：在同一平面内，没有公共点

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

2.空间中直线与平面的位置关系

（1）直线在平面内一一有无数个公共点

（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点

（3）直线与平面平行一一没有公共点

3.空间中平面与平面的位置关系

（1）两个平面平行一一没有公共点（2）两个平面相交一一有一条公共直线

六、立体几何点线面的位置关系

典型例题：已知"2,"是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（D）

A.若加〃则/B.若aJ_y，4_Ly,则a〃4

C.若mila,mH/3,驰aH/3D.若/〃_La,〃_La,则zn〃"

变式练习：

1.设a,人为两条直线,a,，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（D）

A.若a,h与a所成的角相等，则a〃/?B.韦a〃a、b//（3,a///3,则a〃力

C.若aua,buB，a//b,则a〃£D.若a_La,b工0,a10,则a_L〃

2.设a、B、7为平面，n>/为直线，则加_L4的一个充分条件是（D）

（A）a±p,ar\ft-I,mVI(B)acy=m,a工y,。工y

（C）aVy,PVy,m\-a(D)rt±a,n±p,mVa

3.设团、〃是不同的直线，a、。、产是不同的平面,有以下四个命题:

①若四〃〃7,则夕〃/②若a工。,mHa，则掰_L/?

③若切±%加///?,则a_L4④若m//n,»ua,则mHa

其中真命题的序号是（D）

A.①④B.②③C.②④D.①③

4.对于平面a和直线〃?,〃，下列命题中假命题的个数是（D）

①若w±a,加_L〃，则〃〃a;②若mila,〃〃a,则加〃〃；

③若加〃a,〃ua,则加〃〃；④若阳〃〃，〃〃a,则加〃a

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.知0、匕是两条不重合的直线，a、3、y是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题:

①若a_La,al.p,则a〃照）若a_Ly，夕则a〃尸

③若a〃夕，aC，a,bC.fi,则a〃Z;④若a〃夕，aC\y-a,°Cy=b,则a〃b

其中正确命题的序号有.［答案］①④

七、平行专题

1、线线平行的判断：

（1）三角形中位线定理;

（2）构造平行四边形，其对边平行；

（3）对应线段成比例，两直线平行；

（4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）

（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条

直线和交线平行；（线面平行的性质）

（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质）

（7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质）

（8）同位角、内错角相等或者同旁内角互补，两直线平行。

2、线面平行的判断：

（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

3、面面平行的判断：

（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。

4、典型例题

例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体ABC。-A4G。中，E是A4的中点，求证：ACII

Di

平面

证明：连接AC交3。于。，连接E。,

为AA的中点，。为AC的中点

，EO为三角形AAC的中位线AEO//A.C

又EO在平面BDE内，AC在平面BDE外

/.AC〃平面也汨。

例2、（证明是平行四边形）已知正方体ABC。-4旦GA，。是底A3CO对角线的交点.求证:

G。〃面ABtDt；

证明：（1）连结AG，设4GC8Q=O|,连结AQ

•••ABCD-A4GA是正方体・,.AACC1是平行四边形

，A1Q〃4C且AG=AC

又。1，。分别是4G，AC的中点，.,.01Q〃八。且=A。

AOC0I是平行四边形

.•.CQ〃Aq,Aau面ABQ,面AAA.•.J0〃面A4。

例3、（线面平行的性质）如图，四面体力一比》被一平面所

截，截面夕郎是一个矩形.

求证：切〃平面EFGH.

（1）证明：•.•截面瓯方是一个矩形,

二EF//GH,又必匕平面BCD.

:.EF〃面BCD,而牙t面第9,

面ACDCy面BCD^CD.

...EF//CD,：.切〃平面EFGH.

例4、（面面平行的性质）学考练86页右下角要点2迁移应用

例5、（线面垂直的性质）学考练92页要点1典型例题和迁移应用

5、变式训练

1.如图，在正方体—中，E、F、G分别是

AB.AD.G"的中点.求证：平面QEF〃平面BOG.

证明：:E、F分别是AB、A。的中点，EE〃3。

又Eb.平面BDG,8Du平面BDGEF//平面BDG

'：D,G=EB:.四边形QGBE为平行四边形，D、E〃GB

又£）也0平面BDG,G8u平面BDG；."E〃平面=.平面〃平面

BDG

2.如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，3C//平面皿＞,BC=-AD,E是PD的中点.

2

(1)求证：BC/ZADt

（2）若M是线段CE上一动点，则线段4）上是否存在点N,

使MN//平面P4B?说明理由.

【解析】证明：（1）在四棱锥P-ABC£）中，8C//平面BAD,BCu平面ABCD,

平面MC0C平面:.BCHAD,

（2）线段4）存在点N,使得MN//平面理由如下:

取AZ）中点N,连接CV,EV.-.-E,N分别为PD,A£＞的中点，〃孙,

•.•ENC平面B4B，F4u平面r.EN//平面B48,

乂CE//平面R4B,CE^\EN=E,二平面CEN//平面FAB，

•.•M是CE上的动点，MNu平面CEN，.•.MN//平面R4B,

线段AD存在点N,使得MN//平面PAB.

八、垂直专题

1、线线垂直的判定方法：

（1）等腰三角形三线合一

（2）菱形的对角线互相垂直

（3）线线、线面垂直相互转化

（4）直径所对的圆周角为直角

（5）勾股定理的逆定理（有边长，结合余弦定理）

（6）证明所成角为直角

（7）三垂线定理

（8）一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

2、线面垂直的判断：

（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）（面面垂直的性质）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于

另一个平面。

3、面面垂直的判断：

（1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

（2）两个平面所成角是直二面角

4、典型例题

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC^AC,AD^BD,E是AB

的中点。求证：（1）A8_L平面CDE;（2）平面COEJ•平面ABC。

证明：BC=ACAD=BD

(1)^CE±AB同理，[=>DE±AB

AE=BEAE=BE

又：CEcDE=E：.平面CDE

（2）由（1）有AB_L平面COE

又•:ABq平面ABC,，平面CDE_L平面ABC

例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P-ASC。的底面是菱

形.PB=PD,E为Q4的中点.（I）求证：PC〃平面BDE；（H）求证：平面平

面BDE.

证明：略

例3、（线线、线面垂直相互转化）已知AABC中/478=9（）。,&4「面43。,4）_15。,求证：AD1.

面SBC.

证明：VZACB=900BC1AC

又&41•面ABC.-..&41BCBC1B|\S4C

£)

BC±AD又5°,^，50仆80=0./1£)，面53。

例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知Q4垂直于圆。在平面，AB是圆。的直

径，。是圆。的圆周上异于A、B的任意一点，且B4=AC,点E是线段PC的中点.求证:

AE_L平面PBC.

证明：•••/%_!_口0所在平面，8c是口0的弦，3C_LPA.

又•••A8是口。的直径，NACB是直径所对的圆周角，

BC1AC.

B

'：PAQAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC.

图2c

BC_L平面PAC,AEu平面PAC,AAEA.BC.

•••PA=AC,点E是线段PC的中点.I.A£_LPC.

■:PC[}BC=C,PCu平面PBC,8Cu平面PBC.

AE_L平面PBC.

例5、(勾股定理的逆定理).如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,S.PA=PD=2,AD=2BC=20

B4_LCE>,点E在PC上，且PE=2EC.p

(1)求证：平面曰£>_L平面PC£>；

(2)求证：直线PA〃平面/

【解析】证明：(1)因为E4=0D=2,40=20,所以R42+P£>2=A£>2,///、/

A

所以Q4J_PZ)；又上4J_CZ),且尸。

P£>u平面PC。，COu平面PCD,所以E41.平面PC£),乂R4u平面心。，所以平面％O_L平面PCD；

(2)连接AC,交.BD于点、F,连接EF,在四边形49CZ)中，AD//BC,4)=28。，

由A4D/SACBF,得丝=竺=2,又PE=2EC,即四=2=丝，所以A4〃£F,

BCFCECFC

又直线EFu平面BDE,直线PA仁平面比底，所以直线尸A//平面8DE.

例6、(证明所成角为直角)在如图所示的几何体中，四边形/颇是等腰梯形，/8〃①，/DAB

=60°,AELBD,CB=CD=CF.求证：劭上平面4%

证明因为四边形A8CO是等腰梯形，AB//CD,ND4B=60°,

F

所以NAOC=N3CD=120°./A

■X*****'I\

又CB=CD,所以NCD8=30°,；\

因此NAOB=90°,即

又AELBD,且AECAO=A,AE,ADU平面AEO,

所以平面AED

例7、(三垂线定理)证明：在正方体ABCD-AiBiQDi中,AiCJ■平面BJD

证明：连结AC

•••BD'AC，AC为AiC在平面AC上的射影

BD1A】C

>nA。>平面8G。

同理可证

5、变式训练p

1.在正四棱锥中，E,尸分别为棱小,PC的中点./\\

(1)求证：EF//平面ABCD；E

(2)求证：EF工平面PBD./y4----V-

【解析】证明：(1)因为£，尸分别为棱B4，PC的中点，所以防〃AC,/，

AB

又因为EF仁平面ABCD,ACu平面ABCD,所以£F//平面ABCD.

(2)连结AC,BD交于点O,连结PO.因为P-ABCD为正四棱锥，所以尸OJ•平面ABCE>.

又ACu平面ABC。，所以POJ_AC.又因为8/)，AC,EF//AC,所以防，PO,

在正方形ABCD中AC_LBQ,EF//AC,EFYBD.又PO,BDu平面PBD,「。「|8。=。，

所以EF_L平面.

2.如图，在四棱锥尸-钻8中，底面ABCD为正方形，R41.底面MCD,PA^AD,M,N分别是四,

PC的中点

P

(1)求证：MN//平面皿>；IjV\

(2)求证：MN_L平面PCD；/|%\

【解析】(1)证明：取PD的中点Q,连接AQ、NQ,

•；N、。分别为PC、尸£)的中点，.•.NQ//CZ),HNQ=-CD,

•.•底面ABC。是正方形，且M为他的中点，.•.4W//Cr>,AM=-CD,

2

AM//NQ,且AW=NQ,四边形AMNQ是平行四边形，MNHAQ,

又4。u面PCD,MN9面PCD,.〔M7V//面R4O.

(2)证明：•.•底面ABC。是正方形，.•.CDJ_AD,

面A8C£>,COu面A8C£>,:.PALCD,

又仞、孙u面/^，4。口24=4,.•.8_1面^4£),

•/AQu面PAD,CD_LAQ,

-,-PA=AD,。是P£)的中点，AQrPD,

乂CD、PDu面PCD,C£>nPO=。，面PCE),

而AQ"MN,；.MN上面PCD.

3.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AC=BC=CCt=2a,NACB=：,点、D为

8C中点，连接AC、4G交于点E，点F为QG中点.

(1)求证：所//平面ABC；

(2)求证：平面ACS_L平面ACQ.

【解析】解：(D证明：•.•直三棱柱ABC-AB|£，.•・四边形ACGA为平行四边形，

.•.E为AG的中点,丁尸为。G的中点，.•.所//AD,

乂a平面ABC,AOu平面ABC,r.£F//平面ABC.

(2)•.•四边形ACGA为平行四边形，AC=CG，.•.平行四边形ACGA为菱形，即ACLAG.

TT

•.•三棱柱48C-A8G为直三棱柱，二匕。，平面MC，•rBCu平面ABC,.•.GC_LBC,ZACB=-,

:.BCLAC,vBC±C,C,GCp|AC=C,CtC,ACu平面ACGA，r.BCJ"平面ACG4.

•••AGu平面ACGA，.1.BC±ACI,•.•/\C±ACI,«Cp4lC=C,BC,^Cu平面AC8,A£J.平

面ACB,A6u平面ACtD，，平面AQDL平面A.CB.

4.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面即C_L平面ABCD,四边形MC£>为矩形，ED上EC,点、F,G

分别是EC,/山的中点，求证：

E

(1)直线尸G//平面ADE;

(2)平面4>E_L平面E8C.

【解析】证明：(1)取小中点〃，连接FH,AH,I7/\

在AE0C中，H,F分别为£>E,EC中点，//\

1」G」

则切〃£>C，h.FH=-DC,

2

又四边形ABC。为矩形，G为/记中点，AG//DC.且AG=」£)C，

2

:.FH//AG,且尸"=AG,故四边形AGE”为平行四边形，

从而又面面口

R37/AH,FGU4)E,AHu4DE,E

直线尸G//面ADE.

(2)•.•矩形ABCD,.•.BC_L£)C,又平面EDCJjHiABCZ),A./I\c

面£DCC面AB8=DC,8Cu面A8CD,r.8CJ_面DEC,/Z//\/

乂EDu面DEC,则££>_1_8。，又EDLEC,BCP\EC=C,/，/，

4GB

.•回上面所。，

又E3u面ADE,二平面ADEJ_平面EBC.

九、线线、线面和面面的所成角问题

1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线，叫做异面直线,已知异面直线a,b,经

过空间任一点。作直线屋〃，〃〃与我们把屋与〃所成的锐角(或直角)叫做异面直线。与人

所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.

2、直线和平面所成的角：一条直线PA和一个平面a相交，但不和这个平面垂直，这条直线

叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂

线P0,过垂足。和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条

直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行，或在平面内，我们

说它们所成的角是°o.

3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。在二面角。一/一△的

棱/上任取一点0,以点。为垂足，在半平面a和B内分别作垂直于棱/的射线0A和0B,则

射线0A和0B构成的NA0B叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是

多少度。

常见角的取值范围：

①异面直线所成的角直线与平面所成的角0,|二面角的取值范围依次［0,扪

4、点到平面距离和线到面的距离：平行平面的直线到平面的距离转化为线上的点到平面的距

离，点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，

当然别忘了转化法与等体积法的应用.

5、典型例题

例1.如图，在三棱锥中,SB=SC=AB=：AC=BC=4,SA=2百，则异面直线S3与AC所成

角的余弦值是

【答案】A

【解析】如图所示，分别取AB、SA、8c的中点。、E、F,连接£见、

EF、FD、A尸和SF,则。E〃SB,DF//AC,所以NEDF即为异面直线

S3与AC所成角.由题可知，△A8C和ASBC均为正三角形，所以

AF=SF=2y/3=SA,即为等边二角形，因为E为AS的中点，所以

22

EF=ylSF-ES=J(26)2-(；X2G)2=3,

DE=-SB=2,DF=-AC=2,

22

DF2+DF2-FF2

在△£)£•尸中，由余弦定理知，cosNEDF=------------------------

2REEDF

8

例2、已知ABCO是矩形，PA_L平面ABC。，AB=2,B4=AD=4,

E为BC的中点.

(1)求证：。石_L平面B4E；(2)求直线£>P与平面E4E所成的角.

证明：在AADE中，AD2^AE2+DE2,AE±DE

：B4_L平面ABC。，£>Eu平面ABC。，，石又A4CAE=A,

£>E_L平面Q4E

(2)NOPE为。P与平面B4E所成的角

在Rt\PAD,PO=40,在Rt\DCE中，DE=2及，在RtADEP中,PD=2DE,NDPE=30°

例3、如图，在四棱锥P-ABC。中，底面438是ND46=60°且边长为a的菱形，侧面R4。

是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD.

(1)若G为AO的中点，求证：平面PAD；

(2)求证：AD±PB；

(3)求二面角A-8C-P的大小.

证明：(1)AABD为等边三角形且G为AD的中点，，BGJ_A£>

又平面PAD±平面ABCD,BG_L平面PAD

(2)Q4。是等边三角形且G为A。的中点，.•.AO_LPG

且ADL3G,PGcBG=G,ADJ_平面PBG,PBu平面P8G,:.AD工PB

(3)由A£>_LM,AD//BC,BC上PB又BG上AD,AD//BC,BG±BC

NPBG为二面角A—3C—P的平面角在向AP3G中，PG=BG,NPBG=45°

例4.如图，在直三棱柱ABC-AgG中，AC=BC=CC]=2a,

接％C、Ng交于点E，点/为。G中点.

(1)求证：EF//平面4BC;

(2)求证：平面4c81平面/CQ;

(3)求点C到平面/CQ的距离.

【解析】解：(1)证明：•直三棱柱4BC-/4G，.•・四边形力CG4AB

为平行四边形,

£为/a的中点，•••F为£>G的中点，EFI/AD，

又♦.■即《平面/3C，/£>u平面Z3C，EF/1ABC.

(2)•.•四边形/CG4为平行四边形，/C=CG，.••平行四边形ZCCM为菱形，即4clzG.

•.•三棱柱ZBC-4AG为直三棱柱，.•.GC_L平面Z3C，「BCu平面/3C，.\GC18C，

AACB=y,BCLAC,■：BC1C,C,CtC^\AC=C,CyC,/Cu平面ZCCM，

ACC,A,.•••/Gu平面ZCG4，BC1AC,>vA,C1AC,>8Cn4C=C，

BC，%Cu平面4C8，.'.AC,l¥ifiA,CB-•J/GU平面4CQ,r.平面ZCQ_L平面4cB.

(3)连接。E,设点C到平面4Go的距离为方,

•••C\C，平面ABC，CA，COu平面ABC，

.­.C,C1CA,C)C1CD,GC为三棱锥G-/C。高,

在直角△G。中，/C=CG=2a，:.AC[=2历a.

在直角△GCD中，CD=a，CG=2a，:.CDX=45a

在直角A/4CZ)中，CD=a，AC=2a,AD=45a,

在等腰△ACtD中，DA=DC,=y[5a,AC,=2也q，

DE=也a，SDAC)—\[6a,%«•£>=^C-AC,D'

:xC£Fe=；*hxSf=华》£a,.♦.点C到平面/CQ的距离为好

33<6cr33

6、变式训练

1.四棱锥P-ABCD中，底面ABC£＞为正方形，且上4_1平面M。£＞,PA=AB,则直线PB与直线AC所

成角的大小为

A.-B.-C.—D

643

【答案】C

【解析】连接8£),与AC交于O点，取尸£＞的中点E,连接OE,AE.

由中位线定理，可得0E〃P8,旦OE=，PB,即有NAQE即为直线P3

2

与直线AC所成角.由R4_L平面A8CD,i(iPA=AB=a,可得直角三角形中，PB=同,

OE=—a,在等腰直角三角形皿＞中，AE=-PD=—a,在正方形A8CD中，AO=-AC=—a,

22222

则AAOE为等边三角形，可得ZAOE=工.

3

2.在长方体A88-A4G〃中，AB=BC=2,A4,=1,则直线8G与平面88QQ所成角的正弦值为

Vio「V15

D.-----

-T25

【答案】D

【解析】作G。，用乌丁点O,连接B。，易证G。，平面B8QQ,则/C/。就是就是直线BC|与平面

88QQ所成的角，求得CQ=应，fiC,=x/5,所以sin/=虫=巧=姬

BQV55

九

3.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA_L平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，ZABC=ZBAD=—,PA

2

=AB=BC=1,AD=2.则PB与平面PCD所成的角的正弦值为

【答案】B

6

【解析】延长AB、DC交于点E,连接PE,取PE中点Q,连BQ,作BFLDE

于点F,连接FQ,作BG1.FQ于点G,连PG,易证BG_L平面PCD(也就是平面PDE),则/BPG就是PB

I也

与平面PCD所成的角，求得BQ=-,BF=—,/.FQ=—,故BG=』」=旦，，sin/BPG=

22266

r

居

BG_6

4.如图，在正方体ABC。-A8CQ中，二面角R-8C-。的大小为

A.-B.-“*A^c，

64

A'rmd

【答案】B

【解析】在正方体ABS-AACQ中，平面OCCQ,:.BCLDC，:D\\lc

BC工D、C,

AB

71

：.NDCR是二面角Dt-BC-D的平面角，•：DDX±DC,DD}=DC,z.ZDCD,=-,

二面角D.-BC-D的大小为7.

5.已知正三棱柱ABC-48c中，AB=\则点A到平面BCC.B,的距离等于

41

A.1B.—c.；o.4

2

【答案】D

【解析】•.♦正三棱柱ABC-AB|G中，4?=1，「.AABC是边长为1的等边三角形，BBtJ_平面ABC,取3c

中点。，连结AD，则AD_LBC,ADYBBr=B,ADJL平面BCC,B一则点A到平面BCC,B,

的距离为：AD=』T32=£.

6.（选做）如图，在四棱锥尸一A8CZ）中，底面ABCD为正方形,布_L底面ABCD,PA^AD,M,N分别

忆

是AB,PC的中点.

（1）求证：MN〃平面PAD；

BC

(2)求证：MNJ_平面PCD；

(3)求二面角B—PC—D的大小.

【解析】(1)证明：取的中点Q,连接A。、NQ,

•:N、。分别为PC、PD沟中点、，：.NQUCD,且NQ=；CD,

•.,底面Z8CO是正方形，旦〃为力8的中点，4M〃C。，AM=-CD,

2

：.AM//NQ,且M=AQ,.•.四边形4A力Q是平行四边形，

又Z0U面PC。，MN«面PCD，:.MN〃面PAD.

（2）证明：•.•底面/8CO是正方形，.♦.CO_L4。，

VPA1面ABCD，COu面ABCD，PALCD，

又工。、P4u面P4D，AD^\PA=A，.'.CDlfflPAD

•.♦/。<=面五月0，ACD1AQ,

•;PA=AD，0是PZ）的中点，AQ1PD,

又CD、PDu面PCD，CD[\PD=D，.•./。_1_面尸0），

而4Q//MN,MN上面PCD.

（3）解：过8作8，_LPC于〃，连接

设P/=AD=a,

P/_L面Z8CO，底面/8CO是正方形，

PB=PD=yfla>

XvCB=CD=a,PC=PC,\PBC=\PDC,

•：BHVPC,DHLPC，

/.NBHD是二面角8-PC-。的平面角，

由（2）知，（7。_1面2,4£»，「POu面P4D，:.CDA.PD，

4皿*ar+rm„„，小PDLCDPD.CD叵a1"

由等面积法可知，BH=HD=------=,=-4^=—a，

PC^PD2+CD2&3

在AB。“中，由余弦定理知，cosZ.BHD=bh2+dh2-bd2

,/BHD=12。。，

HBHVDH

2x

故二面角B-PC-。的大小为120。.

7.（选做）四棱锥P-ABCZ）中，Q4_L平面ABC£＞,四边形ABC。为菱形，ZADC=60°,PA=AD=2,

£为4）的中点.

（1）求证：平面PCE_L平面皿＞；

（2）求PC与平面皿＞所成的角的正切值；

（3）求二面角A-叨一。的正弦值.

【解析】解：（I）证明：•.•四边形ABC”为菱形，，94=£）。,

­.•zTAZX?=60°..•.A4ZX■为等边三角形，:.CA=CD

在AADC中，E是中点，.-.CE±AD,

平面AB8,CEu平面AB8,:.CEYPA,

-.■PA^\AD=A,Blu平面始£）,ADu平面皿）,

，EC_L平面巩£）,

CEu平面PCE.平面PCE_L平面PAD.

（2）解：•.•£€，平面E4£）,.•.斜线PC在平面内的射影为PE,

即ZCPE是PCG平面PAD所成角的平面角，

•••A4_L平面舫cr＞，4)u平面ABC。，.-.PA±