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拓展拔高4极值点偏移问题【高考考情】极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样,导致函数图象不具有对称性.极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中,这类题往往对思维要求较高,过程较为烦琐,计算量较大,难度大.【研究对象】一般地,证明两数x1,x2之和(之积)的不等式问题,常涉及函数的极值点偏移.解决极值点偏移问题的关键是消元,有时待证的结论需要利用不等式转化变形.

视角一

极值点偏移问题之消参减元、比值代换[例1]已知函数f(x)=lnx-ax(x>0),a为常数,若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1≠x2).证明:x1x2>e2.

视角二

极值点偏移问题之消参减元、差值代换[例2]若函数f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2<-2lna.

思维升华差值换元法的解题策略(1)取差构元:记s=t2-t1,则t2=t1+s,利用该式消掉t2.(2)巧解消参:利用g(t1)=g(t2),构造方程,解之,利用s表示t1.(3)构造函数:依据消参之后所得不等式的形式,构造关于s的函数G(s).(4)转化求解:利用导数研究函数G(s)的单调性和最值,从而证得结论.

x(-∞,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)单调递增单调递减

所以F'(x)≥0,所以F(x)在[1,+∞)上单调递增,又因为F(1)=0,所以x>1时,F(x)>F(1)=0,即当x>1时,h(x)>h(2-x),则h(x1)>h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),因为x1>1,所以2-x1<1,所以x2,2-x1∈(-∞,1),因为h(x)在(-∞,1)上单调递增,所以x2>2-x1,所以x1+x2>2得证.思维升华对称构造法,主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式问题.其解题要点如下:(1)定函数极值点:利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值点x0;(2)构造函数:根据极值点构造对称函数F(x)=f(x)-f(2x0-x);(3)判断单调性:利用导数讨论F(x)的单调性;(4)比较大小:判断函数F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系;(5)转化:利用函数f(x)的单调性,将f(x)与f

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