高考总复习优化设计二轮用书数学(新高考)规范练5

规范练5(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2023浙江台州二模)已知数列{an},{bn}满足:a1+2b1=1,an+1=34an-bn2,2bn+1=32b(1)求证:数列{an+2bn}是等比数列;(2)若(从下列三个条件中任选一个),求数列{an}的前n项和Sn.

①a1-2b1=1;②b2=-18;③a2-2b2=12.(12分)(2023山东德州一模)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-2bcosA=b.(1)求证:A=2B;(2)若A的角平分线交BC于D,且c=2,求△ABD面积的取值范围.3.(12分)(2022新高考Ⅱ,20)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.4.(12分)(2023山东烟台、枣庄三模)已知函数f(x)=x2(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>1时,f(x)+k(1+lnx)≤0,求实数k的取值范围.

规范练51.(1)证明因为an+1=34an-bn2,2bn+1=32b所以an+1+2bn+1=34an-bn2+32bn-an4所以an+1+2bn+1an+2bn=12.又因为a1+2b1=1,所以数列(2)解由(1)知an+2bn=12n-1,又因为an+1-2bn+1=34an-bn2-32bn+an4=an-2bn,所以数列{an-2bn}为常数列.若选条件①或③,均可得an-2bn=1,所以an=12n+12,所以Sn=n+22-12n.若选②,因为b2=-18,2bn+1=32bn-an4,所以32b1-14a1=-14.又因为a1+2b1=1,所以a1=1,b1=0,2.(1)证明因为c-2bcosA=b,由正弦定理得sinC-2sinBcosA=sinB,又A+B+C=π,所以sin(A+B)-2sinBcosA=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=sinB.因为△ABC为锐角三角形,所以A∈(0,π2),B∈(0,π2),A-B∈(-π又y=sinx在(-π2,π2)上单调递增,所以A-B=B,即(2)解由(1)可知,A=2B,所以在△ABD中,∠ABD=∠BAD,由正弦定理得ADsinB=ABsin(π-2B)=2sin2B,所以AD=BD=1cosB,所以S△又因为△ABC为锐角三角形,所以0<B<π2,0<A=2B<π2,0<π-3B<π2,解得π所以tanB∈(33,1),即△ABD面积的取值范围为(33,13.(1)证明连接OA,如图所示.∵PO是三棱锥P-ABC的高,∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,∠POA=∠POB=90°.又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB.取AB的中点D,连接OD,DE,则OD⊥AB.∵AB⊥AC,∴OD∥AC.又AC⊂平面PAC,OD⊄平面PAC,∴OD∥平面PAC.∵D,E分别是AB,PB的中点,∴DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,∴DE∥平面PAC.∵OD∩DE=D,∴平面ODE∥平面PAC.∵OE⊂平面ODE,∴OE∥平面PAC.(2)解过点D作DF∥OP,分别以DB,DO,DF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.∵PO=3,PA=5,∴OA=4.由(1)知OB=OA=4,又∠ABO=∠CBO=30°,∴OD=2,DB=23,∴P(0,2,3),B(23,0,0),A(-23,0,0),E3,1,32.在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∠CAB=90°,AB=2DB=43,∴AC=12,则C(设平面AEB的法向量为n1=(x,y,z),AB=(43,0,0),DP=(0,2,3),则AB·n1=0,DP·n设平面AEC的法向量为n2=(x,y,z),AC=(0,12,0),AE=AC·可取n2=(3,0,-6).设二面角C-AE-B的平面角为θ,则|cosθ|=|cos<n1,n2>|=n1sinθ=1-cos2θ=11134.解(1)f'(x)=-x令f'(x)>0,得0<x<2,此时f(x)在(0,2)上单调递增;令f'(x)<0,得x<0或x>2,此时f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减;综上,f(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-∞,0)和(2,+∞).(2)(方法一)当x>1时,1+lnx>0,所以k≤-x2ex(1+lnx).设g则g'(x)=-x-2xlnx+x2+x2lnxex(1+lnx)2,设h(x)=-x-2xlnx+x2+x2lnx,则h'(x)=(x-1)(3+2lnx),当x>1时,恒有3+所以h(x)>h(1)=0恒成立,即g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增.所以当x>1时,g(x)>g(1)=-1e所以k的取值范围为(-∞,-1e](方法二)由x>1可得xex≤-k(1+lnx)x,即为xex≤-ek(1+lnx)e1+lnx,因为x>1,所以lnx+1eln当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减.下证x-lnx>1在(1,+∞)上恒成立.令h(x)=x-lnx,x>1,h'(x)=1-1x=