2025版新教材高考数学全程一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式学生用书

第四节基本不等式【课标标准】1.驾驭基本不等式ab≤a+b2必备学问·夯实双基学问梳理1.基本不等式：ab≤a+b(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．2．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤________(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号).(2)a＋b≥________(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号).3．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)假如积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值__________．(简记：积定和最小).(2)假如和x＋y是定值S，那么当且仅当______时，xy有最大值________．(简记：和定积最大).[常用结论]1.ba＋ab≥2(ab>0)，当且仅当a＝2．应用基本不等式求最值要留意“一正、二定、三相等”，忽视某个条件，就会出错．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式a2＋b2≥2ab与a+b2(2)函数y＝x＋1x(3)x>0且y>0是xy(4)函数y＝sinx＋4sinx，x∈2．(教材改编)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A．13B．C．34D．3．(教材改编)若用总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.4．(易错)若函数f(x)＝x＋1xA．1＋2B．1＋3C．3D．45．(易错)y＝2＋x＋5x关键实力·题型突破题型一利用基本不等式求最值角度一拼凑法求最值例1(1)(多选)下列说法正确的是()A．x＋1xB．x2+2C．x2D．2－3x－4x的最大值是2－4(2)设0＜x＜32题后师说拼凑法求最值的策略巩固训练1[2024·辽宁沈阳三十一中月考]下列函数中，最小值为4的是()A．y＝x＋4B．y＝x＋1x+2C．y＝cos2x＋4D．y＝x2＋2x＋4角度二常值代换法求最值例2[2024·河南信阳模拟]设a>0，b>0，且a＋b＝1，则aba+4bA．110B．19C．2题后师说常数代换法求最值的一般步骤巩固训练2(1)[2024·辽宁鞍山模拟]已知正实数a、b满意a＋b＝2，则4bA．72B．9(2)a>0，b>0，a＋b＝4ab，则a＋b的最小值为________.角度三消元法求最值例3[2024·安徽合肥八中模拟]已知x>0，y>0，满意x2＋2xy－1＝0，则3x＋2y的最小值是()A．2B．3C．23D．22题后师说当已知条件是含有两个变量的等式时，可以采纳把其中一个量用另一个量表示，代入所求代数式中再结合基本不等式求解．巩固训练3已知正实数a，b满意ab－b＋1＝0，则1a题型二利用基本不等式证明不等式例4[2024·安徽寿县一中模拟]已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2.(1)求a2＋b＋c的取值范围；(2)求证：1a题后师说利用基本不等式证明不等式，先视察题中是否有符合基本不等式的条件．若有，则可以干脆利用基本不等式证明；若没有，则对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到运用基本不等式的条件．巩固训练4[2024·江西金溪一中模拟]已知正实数m，n满意m2＋n2＝4m2n2.证明：(1)mn≥12(2)1m题型三基本不等式的实际应用例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度肯定，池的四周墙壁建立单价为每米400元，中间一条隔壁建立单价为每米100元，池底建立单价每平方米60元(池壁厚忽视不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)假如受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．题后师说利用基本不等式解实际应用问题的技巧巩固训练5[2024·江西吉安模拟]春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车平安，在某高速马路上的某时间段内车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小时)、平均车长l(单位：米)之间满意的函数关系y＝184vv2+20v+1280l(1)求该车型的平均车长l；(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？1.[2024·全国乙卷]下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4B．y＝|sinx|＋4C．y＝2x＋22－xD．y＝lnx＋42．[2024·新高考Ⅱ卷](多选)若x，y满意x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥13．[2024·新高考Ⅰ卷](多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥1B．2a－b>1C．log2a＋log2b≥－2D．a第四节基本不等式必备学问·夯实双基学问梳理1．(2)a＝b(3)a+b2．(1)a+b223．(1)x＝y2P(2)x＝y14S夯实双基1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x1-x≤3x+1-x22故选B.答案：B3．解析：设矩形的一边长为xm，矩形场地的面积为ym2，则矩形另一边长为12×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤x+10-x22＝25(m2)，当且仅当x＝10－x答案：254．解析：f(x)＝x＋1x-2＝x－2＋1x-2＋2≥2x-答案：C5．解析：∵x<0，∴－x>0，∴y＝2＋x＋5x＝2－-又－x－5x≥2-x·∴y＝2＋x＋5x＝2－-x-当且仅当－x＝－5x，且x<0，即x＝－5答案：2－25关键实力·题型突破例1解析：(1)对于A，由基本不等式可知，当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1x，即对于B，x2+2x2+2对于C，x2+5x2+4＝x2+4+1x2因为y＝t＋1t在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时，y取得最小值5对于D，2－3x+4x在故选AB.(2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x+3-2x当且仅当“2x＝3－2x，即x＝34∵34∈0∴函数y＝4x(3－2x)0<x<32答案：(1)AB(2)9巩固训练1解析：对于A：当x<0时y＝x＋4x对于B：由x＋2>0，则y＝(x＋2)＋1x+2＋2≥2x+2·1对于C：由题意0<t＝cos2x≤1，而y＝t＋4t在(0，1]上递减，故t对于D：由y＝(x＋1)2＋3≥3，当x＝－1时最小值为3，不满意．故选B.答案：B例2解析：∵a＋b＝1，aba+4b＝14a+1b＝4a+1b(当且仅当a＝23，b＝1∴aba+4b故选B.答案：B巩固训练2解析：(1)4b+1a＝124b+1a(a＋故选B.(2)∵a>0，b>0，a＋b＝4ab，∴同除以ab得1a∴a＋b＝(a＋b)·141≥12+＝1＝1.当且仅当ba＝ab即a＝b＝答案：(1)B(2)1例3解析：由x2＋2xy－1＝0，得y＝1-x22x，而x>0，y因此3x＋2y＝3x＋1-x2x＝2x＋1x≥22x·1x＝22，当且仅当2所以3x＋2y的最小值为22.故选D.答案：D巩固训练3解析：∵正实数a，b满意ab－b＋1＝0，∴a＝b-1b>0∴1a＋4b＝bb＝b-1+1b-1＋4b＝5＋1b-1＋4(b当且仅当b＝32，a＝13时取等号，故1a答案：9例4解析：(1)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝2，则b＋c＝2－a，a2＋b＋c＝a2＋2－a＝a-122＋故74≤a2＋b＋c<2-122＋74＝4，故a2＋(2)证明：∵a>0，b>0，c>0，1a+4b+9c＝12(a≥1214+2ba·4a即a＝13，b＝23，c＝1时等号成立．故巩固训练4证明：(1)由m2＋n2＝4m2n2，得1m又1m2+1n2≥2mn，所以mn(2)1m4+1n4＝1m当且仅当m＝n＝22故1m例5解析：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为200x米，总造价为f(x)元，则f(x)＝400×2x+2×200x＋100×200x＋60×200＝800×x+225x＋12000≥1600x·225x(2)记g(x)＝x＋225x(0<x≤14.5)，明显g(x)是减函数，所以当x＝14.5时，g(x)有最小值，相应总造价f(x巩固训练5解析：(1)由题意：当v＝100时，y＝1，∴1＝184×100100∴该车型的平均车长为5米．(2)由(1)知，函数的表达式为y＝184vv2+20v+6400∵v>0，∴y＝184vv2+20v+6400＝184当且仅当v＝6400v，即v故当汽车的平均速度为80千米/小时时车流量y达到最大值．真题展台——知道高考考什么？1．解析：对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0<|sinx|≤1，y＝|sinx|＋4sinx≥24＝4，当且仅当|sin对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y＝2x＋22－x＝2x＋42x≥24＝4，当且仅当2x＝2，即对于D，y＝lnx＋4lnx，函数定义域为(0，1)∪1，+∞，而lnx∈R故选C.答案：C2．解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－y2)2＋(32y)2＝1.令x-y2=cosθ，32y=sinθ，则x=33sinθ+cosθ，y=233sinθ.所以x＋y＝3sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π6)∈[－2，2