新教材2024-2025学年高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点直线与空间向量分层作业新人教B版选择性必修第一册

第一章1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量A级必备学问基础练1.[探究点一(角度1)]已知l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ等于()A.1 B.2 C.3 D.42.[探究点二]空间中异面直线a与b所成角的取值范围是()A.[0,π] B.(0,π) C.0,π23.[探究点一·2024陕西宝鸡高二期末]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是()A.异面但不垂直 B.平行C.异面垂直 D.垂直且相交4.[探究点一·2024湖北丹江口高二阶段练习](多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1,C重合的随意一点,则能作为直线AA1的方向向量的是()A.AA1 B.C1E C.5.[探究点二]如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值.B级关键实力提升练6.(多选题)已知空间中四点A(1,1,0),B(0,1,2),C(0,3,2),D(-1,3,4).下列说法中,正确的有()A.AB⊥BC B.ABC.A,B,C三点共线 D.A,B,C,D四点共面7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.0 C.55 D8.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角是.

9.如图是正四面体的平面绽开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个结论中,正确结论的序号是.

10.如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA.C级学科素养创新练11.如图,已知▱ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.

1.2.1空间中的点、直线与空间向量1.B由l1∥l2,得v1∥v2,得1λ=24=2.C依据异面直线所成角定义,空间中异面直线a与b所成角的取值范围是0,3.B设正方体的棱长为1.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0).设PQ=(a,b,c取PQ=(1,1,-1).∵BD1=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-∴PQ∥BD1,∴PQ故选B.4.ABD因为C1E∥AA1∥故选ABD.5.解以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,2,0),A1(3,1,3),O1(0,1,3),所以A1B=(-3,1,-3),O1A=(3,-1,设所求的角为α,则cosα=|A即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为176.ABD易知AB=(-1,0,2),BC=(0,2,0),AD=(-2,2,4),CD=(-1,0,2),AC=(-1,2,2).因为AB·BC=0,所以因为AB=CD≠AC,所以因为AB≠λAC,所以A,B,C三点不共线,故选项C错误;易知当AC=λAB+μAD时,A,B,C,D共面,即(-1,2,2)=λ(-1,0,2)+μ(-2,2,4),所以(-1,2,2)=(-λ-2μ,2μ,2λ+4μ),所以-解得λ所以AC=-AB+AD,所以A,B,C,D故选ABD.7.B∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=1,∴在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos60°=4+1-2×2×1×12=∴AC=3,∴BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC.以C为原点,CB为x轴,CA为y轴,CC1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,3,0),B(1,0,0),B1(1,0,1),C1(0,0,1),∴AB1=(1,-3,1),BC1∴cos<AB1,B∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为0.故选B.8.π3∵AB·CD=(AC+CD+DB)·∴cos<AB,CD>=AB·CD|AB||9.②③④还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE与MN为垂直.10.证明如图,连接OP,OQ,PQ,取O为坐标原点,过点O作OD⊥OA,以OA,OD,OC所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).则A(1,0,0),C(0,0,1),B(-12,∵P为AC中点,∴P(12,0,12∴AB=(-32,32,0),又由已知,可得AQ=13AB=(-1∴PQ=OQ-OP=(0,36∵PQ·OA=0,∴PQ⊥OA,即11.解因为∠ACD=90°,所以AC·CD=0,同理AC·因为AB与CD的夹角为60°,所以BA与CD因为BD=所以|BD|2=|BA|2+|AC|2+|CD|2+2BA·AC+2B