新高考新教材适用2025版高考数学二轮复习专题六函数与导数考点突破练17导数的简单应用

考点突破练17导数的简洁应用一、单项选择题1.(2024·贵州黔东南一模)一个质点作直线运动,其位移s(单位:米)与时间t(单位:秒)满意关系式s=t2(4t-3)3,则当t=1时,该质点的瞬时速度为()A.5米/秒 B.8米/秒 C.14米/秒 D.16米/秒2.(2024·北京第三十五中学检测)函数y=lnxx的单调递增区间是(A.(-∞,e) B.(e,+∞) C.0,1e3.(2024·广西贵港模拟)已知曲线y=axex+lnx在点(1,ae)处的切线方程为y=3x+b,则()A.a=e,b=-2 B.a=e,b=2C.a=e-1,b=-2 D.a=e-1,b=24.(2024·江西上饶模拟)已知函数f(x)=asinx+2cosx在x∈-π3,-π4A.[0,+∞) B.[-2,2]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]∪[0,+∞)5.(2024·山西运城模拟)若函数f(x)=x3+x2-5x-2在区间(m,m+5)内有最小值,则实数m的取值范围是()A.(-4,1) B.(-4,0) C.[-3,1) D.(-3,1)6.(2024·河北保定检测)若函数f(x)=e2x4-axex有两个极值点,则实数aA.-∞,-1C.12,+7.(2024·福建漳州一模)将曲线C1:xy=2(x>0)上全部点的横坐标不变,纵坐标缩小为原来的12,得到曲线C2,则C2上到直线x+16y+2=0距离最短的点坐标为(A.8,14 BC.8,128.(2024·新高考Ⅰ·7)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则(A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b二、多项选择题9.(2024·湖南长郡中学高三检测)下列函数的图象在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是 ()A.y=2x-sinx B.y=x-2sinxC.y=(x-2)ex D.y=e10.(2024·江苏淮安模拟)函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是 ()A.3是f(x)的微小值点B.-1是f(x)的微小值点C.f(x)在区间(-∞,3)上单调递减D.曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率小于零11.(2024·重庆八中高三检测)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+mx(m∈R),若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切,则m的值为()A.1 B.-1 C.3 D.-312.(2024·福建三明模拟)已知函数f(x)=xlnx+a(1-x)+x在区间(1,+∞)内没有零点,则实数a的取值可以为()A.-1 B.2 C.3 D.4三、填空题13.(2024·河南洛阳模拟)已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为.

14.(2024·新高考Ⅱ·14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为,.

15.(2024·河北石家庄模拟)已知a>0,函数g(x)=x+1+ax-2在[2,+∞)上的最小值为1,则a=16.(2024·全国乙·理16)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的微小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是.

考点突破练17导数的简洁应用1.C解析由题得s'=2t(4t-3)3+12t2(4t-3)2,当t=1时,s'=14,故当t=1时,该质点的瞬时速度为14米/秒.2.D解析由题意得函数y=lnxx的定义域为(0,+∞),y'=1-lnxx2,∴当x∈(0,e)时,y'>0;当x∴y=lnxx3.C解析y'=aex+axex+1x,k=y'|x=1=ae+ae+1=2ae+1=3,∴ae=1,∴a=1e=e-1.将(1,1)代入y=3x+b得3+b=1,∴b=-4.C解析因为函数f(x)=asinx+2cosx在x∈-π3,-π4上是单调递增的,所以f'(x)=acosx-2sinx≥0在x∈-π3,-π4上恒成立,即a≥2tanx在x∈-π3,-π4上恒成立,由y=2tanx在-π2,5.C解析由题得,f'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1).令f'(x)>0,解得x<-53或x>1;令f'(x)<0,解得-53所以f(x)在区间-∞,-53内单调递增,在区间-53,1内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增,所以函数的微小值为f(1)若f(x)在区间(m,m+5)内有最小值,则微小值即最小值,所以m<1<m+5,解得-4<m<1,令f(x)=-5,可得x3+x2-5x+3=0,可得(x-1)2(x+3)=0,解得x=-3或1,由题得m≥-3,综上-3≤m<1,故m的取值范围是[-3,1),故选C.6.C解析f'(x)=e2x2-aex-axex=ex2(ex-2ax-2a),因为有两个极值点,故ex-2ax-2a=0有两个根,即y=ex和y=若a<0,明显只有1个交点,不合题意;明显a≠0;若a>0,设直线y=2a(x+1)和y=ex的图象相切于点(x0,ex则2a=ex0,2a(x故a的取值范围是12,+∞.7.B解析将xy=2(x>0)化为y=2x(x>0),则将曲线C1上全部点的横坐标不变,纵坐标缩小为原来的1得到曲线C2:2y=2x(x>0),即C2:y=1x(要使曲线C2上的点到直线x+16y+2=0的距离最短,只需曲线C2上在该点处的切线和直线x+16y+2=0平行,设曲线C2上该点为Pa,1a,因为y'=-1x2,且x+16y+2所以-1a2=-116,解得a=4或a=-4(舍),即该点坐标为8.C解析令a1=xex,b1=x1-x,c1=-则lna1-lnb1=lnxex-lnx1-x=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1令y1=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],则当x∈(0,0.1]时,y1'=1-11-x于是函数y1=x+ln(1-x)在区间(0,0.1]上单调递减.于是y1<0,∴lna1-lnb1<0,∴b1>a1.令y2=a1-c1=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],则y2'=xex+ex-11令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1,则当x∈(0,0.1]时,k'(x)=(1-x2-2x)ex>0,∴k(x)在区间(0,0.1]上单调递增.∴k(x)>k(0)=0.∴在区间(0,0.1]上,y2'>0,∴y2=xex+ln(1-x)在区间(0,0.1]上单调递增.∴y2>0,∴a1>c1.∴在区间(0,0.1]上,b1>a1>c1.故当x=0.1时,有b>a>c.9.BC解析若y=2x-sinx,则y'=2-cosx,当x=0时,y'=1>0,故选项A不符合题意;若y=x-2sinx,则y'=1-2cosx,当x=0时,y'=-1<0,故选项B符合题意;若y=(x-2)ex,则y'=(x-1)ex,当x=0时,y'=-1<0,故选项C符合题意;若y=ex-1x+1,则y'=xex+110.AD解析由函数y=f(x)的导函数的图象可知,当x∈(-3,3)时,f'(x)<0,f(x)是单调递减的,当x>3时,f'(x)>0,f(x)是单调递增的,所以3是f(x)的微小值点,因此A正确;由函数y=f(x)的导函数的图象可知,当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,f(x)是单调递减的,当x∈(-1,3)时,f'(x)<0,f(x)是单调递减的,所以-1不是f(x)的微小值点,因此B不正确;由函数y=f(x)的导函数的图象可知,当x∈(-3,3)时,f'(x)<0,f(x)是单调递减的,当x<-3时,f'(x)>0,f(x)是单调递增的,所以C不正确;由函数y=f(x)的导函数的图象可知,f'(2)<0,所以D正确.11.BC解析易知f(1)=0,f'(x)=1x,从而得到f'(1)=1,函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1设直线y=x-1与g(x)=x2+mx(m∈R)的图象相切于点P(x0,y0),从而可得g'(x0)=1,g(x0)=x0-1.又g'(x)=2x+m,因此有2得x02=故选BC.12.ABC解析f(x)=xlnx+a(1-x)+x=xlnx+ax-a+1,设g(x)=lnx+ax-a+1,则在(1,+∞)上,y=f(x)与y=g(x)有相同的零点.故函数f(x)在区间(1,+∞)内没有零点,即g(x)在区间(1,+∞)内没有零点,g'(x)=1x当a≤1时,g'(x)=x-ax2>0在区间(1,+∞)上恒成立,则g(x)在区间(1,所以g(x)>g(1)=1>0,明显g(x)在区间(1,+∞)内没有零点.当a>1时,令g'(x)>0,得x>a,令g'(x)<0,得1<x<a,所以g(x)在区间(1,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.所以g(x)≥g(a)=lna+2-a,设h(a)=lna+2-a(a>1),则h'(a)=1a-1=1-aa所以h(a)在(1,+∞)上单调递减,且g(3)=ln3-1>0,g(4)=ln4-2<0,所以存在a0∈(3,4),使得h(a0)=0,要使得g(x)在区间(1,+∞)内没有零点,则g(a)=lna+2-a>0,所以1<a<a0∈(3,4).综上所述,满意条件的a的范围是a<a0∈(3,4).由选项可知,选项ABC可使得g(x)在区间(1,+∞)内没有零点,满意题意.13.13解析由f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0),得f'(x)=3kx2+6(k-1)x因为f(x)的单调递减区间是(0,4),所以f'(x)<0的解集为(0,4),所以x=4是方程3kx2+6(k-1)x=0的一个根,所以12k+6(k-1)=0,解得k=13,阅历证,k=1314.y=xey=-xe解析当x>0时,y=lnx,点(x1,lnx1)(x1>0)上的切线为y-lnx1=1x1(若该切线经过原点,则lnx1-1=0,解得x1=e,此时切线方程为y=xe当x<0时,y=ln(-x),点(x2,ln(-x2))(x2<0)上的切线为y-ln(-x2)=1x2(x-x2若该切线经过原点,则ln(-x2)-1=0,解得x2=-e,此时切线方程为y=-xe15.1解析由题意得g'(x)=1-1+a当1+a≤2,即0<a≤3时,在x∈[2,+∞)上g'(x)≥0,分析易知g(x)在[2,+∞故g(t)min=g(2)=1+a2=1,解得当1+a>2,即a>3时,当2≤x<1+a时,g'(x)<0,g(当x>1+a时,g'(x)>0,g(x故g(x)min=g(1+a)=21+a-2=1,解得a=54,不满意a>3,舍去,综上,16.1e,1解析依题意,f'(x)=2axlna-2ex,x1,x2为方程f'(x)=0的两根,x1令g(x)=axlna-ex,则g'(x)=ax(lna)2-e.若a>1,则g'(x)在R上单调递增,此时由x1,x2为方程f'(x)=0的两根,可知存在x0∈(x1,x2),使g'(x)=0,所以g(x)在区间(-∞,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增.又g(x1)=0,g(x2)=0,所以f(x)在区间(-∞,x1)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,在区间(x2,+∞)内单调递增,所以x1为f(x)的极大值点,x2为f(x)的微小值点,不符合题意,舍去.若