2025版新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念课时作业新人教B版必修第三册

8.1.1向量数量积的概念必备学问基础练进阶训练第一层1．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝()A．－6B．6C．－6eq\r(3)D．6eq\r(3)2．在△ABC中，a＝5，b＝4，∠C＝45°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．10eq\r(2)B．20eq\r(2)C．－10eq\r(2)D．－20eq\r(2)3．已知e1，e2是两个相互平行的单位向量，则下列推断中正确的是()A．e1·e2＝1B．e1·e2＝－1C．e1·e2＝±1D．|e1·e2|<14．在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8，则△ABC的形态为()A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3eq\r(3)，则a与b的夹角为________．6．已知|a|＝2，b2＝3，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为150°，分别求a·b.关键实力综合练进阶训练其次层7.如图，AB是圆C的一条弦，仅由下列一个条件就可以得出eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2的是()A．圆C半径为2B．圆C半径为1C．圆C的弦AB长为2D．圆C的弦AB长为18．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)＝()A．0B．aC．bD．c9．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，则下列结论错误的是()A．eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0B．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2C．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|10．(多选)下列结论错误的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0B．0·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0C．若a与b共线，则a·b＝|a||b|D．(a·b)·c＝a·(b·c)11．(多选)关于菱形ABCD的说法中，正确的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))B．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))⊥(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝0D．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))12．如图，△ABC的三边长均为1，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，求a·b＋b·c＋c·a的值．13．已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为________，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________．14．(数学运算命题)在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影的数量；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影的数量．核心素养升级练进阶训练第三层15.如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4，E为腰BC上的动点．求eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围．8．1.1向量数量积的概念必备学问基础练1．答案：A解析：因为|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝120°，所以a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6.故选A.2．答案：C解析：∵||＝a＝5，||＝b＝4，C＝45°，∴·＝－||||cos45°＝－5×4×eq\f(\r(2),2)＝－10eq\r(2)﹒故选C.3．答案：C解析：∵e1∥e2，|e1|＝1，|e2|＝1，∴〈e1，e2〉＝0或π，∴e1·e2＝±1，故选C.4．答案：D解析：由题意，得4×4×cosA＝8，即cosA＝eq\f(1,2).又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).又||＝||，∴△ABC为等边三角形，故选D.5．答案：eq\f(π,6)解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3\r(3),2×3)＝eq\f(\r(3),2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).6．解析：因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝eq\r(3).(1)当a∥b时，a·b＝|a||b|cos0°＝2×eq\r(3)×1＝2eq\r(3)或a·b＝|a||b|cos180°＝2×eq\r(3)×(－1)＝－2eq\r(3).(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos90°＝2×eq\r(3)×0＝0.(3)当a与b的夹角为150°时，a·b＝|a||b|cos150°＝2×eq\r(3)×(－eq\f(\r(3),2))＝－3.关键实力综合练7．答案：C解析：如图所示，过点C作OC⊥AB于点O，则O是AB的中点，所以·＝(＋)·＝·＝eq\f(1,2)2＝2，所以||＝2.故选C.8．答案：B解析：∵b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝1×eq\r(2)×cos45°＝1，∴a·(b·c)＝a，故选B.9．答案：C解析：在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，S△ABC＝1，则eq\f(1,2)AC2＝1，得AC＝eq\r(2)，得AB＝2，所以·＝0，选项A正确．·＝||||cos45°＝2，选项B正确．·＝||||cos135°＝－2，选项C不正确．向量在上投影的数量为||，即||cosB＝||，选项D正确，故选C.10．答案：BCD解析：∵＝－，∴＋＝－＋＝0，∴A正确；∵数量积是一个实数，不是向量，∴B错误；∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴C错误；当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴D错误．故选BCD.11．答案：ABC解析：因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD，所以∥，A正确；因为对角线AC与BD相互垂直，且＋＝，＋＝，所以⊥，即(＋)⊥(＋)，B正确；因为－＝，－＝，又因为⊥，即·＝0，所以(－)·(－)＝0，C正确；易知〈，〉＝180°－〈，〉，且||＝||＝||＝||，所以·＝－·，D错误．12．解析：延长BC至C′，使＝a，如图，易得〈a，b〉＝〈，〉＝120°，则a·b＝|a|·|b|cos120°＝－eq\f(1,2)，同理，b·c＝c·a＝－eq\f(1,2).故a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(3,2).13．答案：11解析：如图所示，依据平面对量的数量积的定义可得·＝·＝||||·cosθ.由图可知，||cosθ＝||，因此·＝||2＝1.·＝||||cosα＝||cosα，而||cosα就是向量在上的投影的数量，故当在上的投影的数量最大，即投影的数量为||时，·取得最大值，所以·的最大值为1.14．解析：∵||＝5，||＝4，||＝3，∴||2＝||2＋||2，∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).(1)·＝－·＝－5×4×eq\f(4,5)＝－16.(2)在方向上的投影的数量为||·cos〈，〉＝3×eq\f(3,5)＝eq\f(9,5).(3)在方向上的投影