初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习4.3 对数（教师版）

4.3对数【知识梳理】知识点一对数的有关概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．知识点三对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．知识点四对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点五换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．【基础自测】1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．e0＝1与ln1＝0B．＝eq\f(1,2)与log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)C．log39＝2与＝3D．log77＝1与71＝7【答案】C2．化简eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的结果为()A．6eq\r(2)B．12eq\r(2)C．log6eq\r(3)D.eq\f(1,2)【答案】C【详解】原式＝log6eq\r(12)－log62＝log6eq\f(\r(12),2)＝log6eq\r(3).3．eq\f(log29,log23)＝________.【答案】24．设，则x＝.【答案】135．若对数log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)【详解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1≠1，,2x－3>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,x≠2，,x>\f(3,2)，))得x>eq\f(3,2)且x≠2.【例题详解】一、指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)【分析】根据对数式与指数式的互化即可得解.【详解】(1)解：因为，所以；(2)解：因为，所以；(3)解：因为，所以；(4)解：因为，所以；(5)解：因为，所以；(6)解：因为，所以；(7)解：因为，所以；(8)解：因为，所以.跟踪训练1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）由对数的定义改写；（2）由对数的定义改写；（3）由对数的定义改写；（4）由对数的定义改写．【详解】（1）由对数定义得；（2）由对数定义得；（3）由对数定义得；（4）由对数定义得．二、利用对数式与指数式的关系求值例2求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根据对数的定义，进而进行指对数式的互化即可求得答案.【详解】(1)由题意，.(2)由题意，，而且，所以.(3)由题意，.(4)由题意，.跟踪训练2求下列各式中x的值：（1）logx3＝；（2）log64x＝－；（3）－lne2＝x；（4）；（5）log5[log3(log2x)]＝0.【答案】（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8.【分析】利用对数的概念及指数式对数式互化即得.【详解】（1）由logx3＝，得＝3，所以x＝9.（2）由log64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝.（3）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.（4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2，解得x＝1或x＝3，又因为x＝1时，x2－2＝－1<0，舍去；x＝3时，x2－2＝7>0，2x2－4x＋1＝7>0，符合题意．综上，x＝3.（5）由log5[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，故x＝23，即x＝8.三、利用对数性质及对数恒等式求值例3求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)(4).【详解】(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)(4)∵，∴2x+1=27，∴x=13跟踪训练3(1)求下列各式中的的值：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②．【分析】=1\*GB3①根据对数式与指数式互化公式进行求解即可；=2\*GB3②根据对数式与指数式互化公式，结合对数的定义进行求解即可.【详解】=1\*GB3①由，得，解得；=2\*GB3②由，得，，且，且，解得（舍去）．(2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为()A．9B．8C．7D．6【答案】A【详解】∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.四、对数运算性质的应用例4(1)__________【答案】【分析】根据对数运算性质解决即可.【详解】由题知，，故答案为：(2)______【答案】【分析】利用对数的性质进行计算.【详解】.故答案为：.(3)计算：_________.【答案】【分析】由对数和指数幂的运算性质计算即可.【详解】原式.故答案为：.(4)计算：=1\*GB3①=2\*GB3②【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②1【分析】=1\*GB3①根据对数的运算法则化简，即可求得答案;=2\*GB3②根据对数的运算法则结合完全平方公式化简，即可求得答案;【详解】=1\*GB3①;=2\*GB3②.跟踪训练4(1)（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据对数的运算逐项分析判断.【详解】对A：，A正确；对B：，B错误；对C：，C正确；对D：，D正确.故选：ACD.(2)__________【答案】1【分析】根据对数的运算法则性质化简即可得解.【详解】故答案为：1五、对数换底公式的应用例5(1)已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由得到，用换底公式把写出以18为底的对数，即可分解.【详解】由，，所以，，所以.故选：C.(2)已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值．【详解】解：若，可得，，则，故选：A．(3)_________.【答案】【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可.【详解】.故答案为：.跟踪训练5(1)已知,则＝（

）A．a+b B．2a-b C． D．【答案】C【分析】根据换底公式将写为,再用对数运算法则展开,将代入即可.【详解】解:因为,而.故选:C(2)已知（a为常数，且，），则________．（用a表示）【答案】【分析】先利用指数式和对数式互化得到所以，再利用换底公式得到，然后利用对数运算求解.【详解】因为，所以，则，所以，故答案为：六、对数的综合应用例6地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（

）倍．A．1000 B．100 C．2 D．【答案】B【分析】利用，求得，代入，从而求得结果.【详解】解：依题意，，则，即则,则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍.故选：B.跟踪训练6芙萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》为太昍中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（単位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，再根据指数与对数的关系计算可得.【详解】依题意可得，即，所以，所以.故选：A【课堂巩固】1．已知，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】指数式化为对数式，得出结果.【详解】因为，所以.故选：D2．lg8＋3lg5的值为()A．－3B．－1C．1D．3【答案】D【详解】lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3.3．已知函数，且，则（

）A．a＝1，b＝4 B．a＝2，b＝﹣2 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣4【答案】D【分析】由题得方程2a+b＝4，3a+b＝8，解方程即得解.【详解】解：∵，∴，，∴2a+b＝22＝4，3a+b＝23＝8，解得a＝4，b＝﹣4，故选：D．4．已知某品牌手机电池充满电量为毫安，每经过小时，电量消耗，若电池电量不超过毫安时充电最佳，那么该手机至少可以待机小时．（待机小时取整数，参考数据：，）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知小时后，该手机剩余的电量为毫安，解不等式可得结论.【详解】由题意可知，小时后，该手机剩余的电量为毫安，小时后，该手机剩余的电量为毫安，，以此类推可知，小时后，该手机剩余的电量为毫安，由，即，所以，，因此，该手机至少可以待机小时.故选：A.5．（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】AC【分析】根据逐项判断即可求解.【详解】依题意，由可得：对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：AC.6．若，则___________．【答案】/【分析】将对数式化为指数式来求得正确答案.【详解】由，则故答案为：7．计算：_________．【答案】1【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算即可.【详解】．故答案为：1．8．__________【答案】【分析】根据对数的运算性质计算即可.【详解】.故答案为：.9．若，，用a，b表示____________【答案】【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.【详解】因为，所以，.故答案为：.10．若_____．【答案】8【分析】根据对数的概念计算即可.【详解】∵，∴，∴，解得，故答案为：8.11．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.【详解】（1）因为，所以有：.（2）因为，所以有：.（3）因为，所以有：.（4）因为，所以有：.（5）因为，所以有：.（6）因为，所以有：.12．求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)125；(2)；(3)；(4)【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案.【详解】(1)解：因为，所以；(2)解：因为，所以，解得(3)解：因为，所以，所以；(4)解：因为，所以，所以.13．已知，，求的值.【答案】【分析】由指对互化得，，再根据指数幂的运算即可得到答案.【详解】，，，，.14．计算下列各式的值：(1)log535＋2－log5eq\f(1,50)－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64；(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．【详解】(1)原式＝log535＋log550－log514＋2＝log5eq\f(35×50,14)＋＝log553－1＝2.(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))2＋log62·log62＋log632))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.(3)(log43＋log83)(log32＋log92)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))＝eq\f(5lg3,6lg2)×eq\f(3lg2,2lg3)＝eq\f(5,4).【课时作业】1．设，则的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．9【答案】B【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.【详解】由，则，，.故选：B.2．下列运算中正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.【详解】对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；对于选项B，，故B选项错误；对于选项C，错误，正确的应该是，故C不正确；对于选项D，，故D正确．故选：D．3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得的变形式.【详解】，又，则故选：B4．声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：W/m2）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．106倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍【答案】B【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，根据题意得出，，计算求的值．【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，则，，则，所以，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍．故选：B．5．若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得，再代入的解析式即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以.故选：D.6．已知，，且，则ab的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.【详解】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，当且仅当即时取等号，即：，当且仅当时取等号，故的最小值为16.故选：C.7．已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意判断的单调性，根据函数单调性确定函数值大小.【详解】对任意，均有成立，所以在单调递减，又因为上的偶函数，所以在单调递增，，，即，故，即.故选：A8．我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（

）A．100 B．115 C．230 D．345【答案】B【分析】根据指数与对数的联系计算即可.【详解】由题意可得：，两边取常用对数可得，即．故选：B9．计算：______．【答案】【分析】根据指数和对数的运算公式进行求解.【详解】.故答案为：.10．__________.【答案】1【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.【详解】.故答案为：1.11．______．【答案】【分析】直接利用对数的换底公式求解即可.【详解】.故答案为：.12．=____________；【答案】【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果.【详解】原式．故答案为：.13．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据）【答案】【分析】根据题意解方程即可得解.【详解】由题意可知：，解得，所以.故答案为：.14．已知，求x的值．【答案】64【分析】利用指数和对数的形式转化求解.【详解】因为，所以，所以，则.15．计算:(1)；(2).【答案】(1)2；(2)4【分析】（1）利用对