北京市延庆区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市延庆区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.等比数列，，，，的项数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，的项数为,故选：C2.由数字，，，构成的三位数有（）A.个 B.个 C.个 D.个〖答案〗A〖解析〗百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，故构成的三位数共有个，故选：A3.在等差数列中，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，故，故选：D4.在的展开式中二项式系数最大的项是（）A.第3项和第4项 B.第4项和第5项 C.第3项 D.第4项〖答案〗D〖解析〗二项式展开式中第项的二项式系数为所以题中二项式展开式第项的二项式系数为时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，.所以时二项式系数最大，即第四项的二次项系数最大，〖答案〗D正确.故选：D.5.随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数的数学期望是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗抛掷骰子所得点数的分布列为123456所以，故选：．6.盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，则，，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为.故选：D7.若，且，则实数值为（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗取，则，取，则，因此，解得或，故选：C8.设随机变量的分布列为则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分布列可得,所以.故选：B.9.设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.10.已知数列的通项公式.设，，若，则（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗由题意知，，则，由得，则，解得.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若，则_________．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗由，得，解得，所以.故〖答案〗为：2012.已知随机变量，则=_________，=_________．〖答案〗①②〖解析〗由题意可得，故〖答案〗为：；13.学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则=_________．〖答案〗〖解析〗由题意可得，的取值为，，，，.故〖答案〗为：.14.中国民族五声调式音阶各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有_________种．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商、角插入4个空中，共有种．故〖答案〗为：36.15.已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．〖答案〗①③④〖解析〗由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.故〖答案〗为：①③④.三、解答题，共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在的展开式中.（1）求第项的二项式系数；（2）求的系数；（3）求第项.解：（1）第项的二项式系数为.（2）展开式中的第项为,由已知，令，则，则,则的系数为.（3）因为,求第项，即时，,所以第项为.17.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）写出a值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1，解得a＝0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800＝450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.035，学生人数约为0.35×1200＝420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420＝870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40＝2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X123P∴E（X）＝1×+2×+3×＝.18.甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响.（1）如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率；（2）如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率；（3）如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论.解：（1）记“甲投篮1次，且命中”为事件A记“乙投篮1次，且命中”为事件B记“甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中”为事件C由已知，，由已知，法一：,,则甲、乙两人各投篮次，两人中至少有人投篮命中概率为法二：所以，答：甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率（2）记“甲投篮4次，且至多有2次投篮命中”为事件D因为甲每次投篮命中的概率为，记投篮命中次数为,则的取值范围是，，，所以，答：甲投篮4次，且至多有2次投篮命中的概率为（3）根据题意，乙投篮10次，命中的次数为Y，则Y～B（10，），故，若，解得由于为整数，故故乙投篮命中个球的概率最大.19.已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设，且，求.解：（1）当时，得.由已知①当时，,②①-②得.所以.所以数列为等比数列，且公比为因为，所以.设数列公差为，由得所以.综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：.（2）设，前项和（3）即，即，解得20.已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值.解：（1）直线与坐标轴的两个交点为，而，则，，所以椭圆的方程为.（2）设过点的直线为，由题意直线斜率存在，设方程，即，由，消去y得，整理得，由，得，设，则，，将代入得，直线的方程为，令得，则因此点是线段的中点，所以.21.已知数列：，，…，满足：①；②.记.（1）直接写出的所有可能值；（2）证明：的充要条件是；（3）若，求的所有可能值的和.解：（1）的所有可能值是，，，，1，3，5，7.（2）充分性：若，即.所以