2025年高考数学一轮复习-第五章-第二节 平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第五章-第二节平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示-课时作业(原卷版）[A组基础保分练]1.下列各组向量中，可以作为一组基底的是（）A.e1＝（0，0），e2＝（1，2）B.e1＝（2，－3），e2＝1C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）D.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）2.（2024·安徽合肥）设向量a＝（－3，4），向量b与向量a方向相反，且｜b｜＝10，则向量b的坐标为（）A.－65，85B.C.65,−85D.（3.如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE的中点.若AB＝a，AC＝b，则AO＝（）A.12a＋12bB.12aC.14a＋12bD.14a4.（2024·北京）已知向量a＝（－2，1），b＝（m，3）.若a∥b，则m＝（）A.6B.－6C.－32D.5.（2024·北京）已知向量a＝sinθ，cosθ，b＝3，4，若a∥b，则tan2A.247B.C.－2425D.－6.（多选）已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，3），则下列向量与2a＋b平行的是（）A.2，23B.（1，C.（1，－2）D.－7.（多选）已知向量OA＝（1，－3），OB＝（2，－1），OC＝（m＋1，m－2）.若点A，B，C能构成三角形，则实数m的值可以是（）A.－2B.1C.1D.－18.已知a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2bλ1，λ2∈R.若c与b9.已知向量a＝（x，2），b＝（－2，1）.若a与2a－b共线，则｜b｜｜10.（2024·湖北荆门检测）在△AOB中，AC＝15AB，D为OB的中点.若DC＝λOA＋μOB，则λμ的值为11.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，O为△ABC的外心.若AO＝xAB＋yAC，x，y∈R，则2x＋3y＝.[B组能力提升练]12.已知四边形ABCD的三个顶点为A（0，2），B（－1，－2），C（3，1），且BC＝2AD，则顶点D的坐标为（）A.2，72C.（3，2）D.（1，3）13.如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，CD＝xOA＋yBC，则x＋y的值为（）A.－33B.－C.23D.－14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA＝m，DC＝n，AF＝23AE，则DE＝（A.613m＋413nB.413mC.613m＋913nD.913m15.（多选）（2024·广东珠海）在△ABC中，D为AC上一点且满足AD＝13DC，若P为BD上一点，且满足AP＝λAB＋μAC（λ，μ为正实数），则下列结论正确的是（A.λμ的最小值为16B.λμ的最大值为1C.1λ＋14D.1λ＋1416.（多选）（2024·重庆）已知正八边形ABCDEFGH，其中OA＝2，则（）A.2OB＋OE＋OG＝B.OA·OD＝－22C.AH＋EHD.AH＋GH＝4＋17.已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2）.若ma＋nb＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n的值为.18.在直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且ADDB＝2.若CD＝xCA＋yCB，则xy＝19.如图，扇形的半径为1，且OA⊥OB，点C在弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，则2x＋y的最小值是.2025年高考数学一轮复习-第五章-第二节平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示-课时作业(解析版）[A组基础保分练]1.下列各组向量中，可以作为一组基底的是（）A.e1＝（0，0），e2＝（1，2）B.e1＝（2，－3），e2＝1C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）D.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）答案：D解析：由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底.而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底.2.（2024·安徽合肥）设向量a＝（－3，4），向量b与向量a方向相反，且｜b｜＝10，则向量b的坐标为（）A.－65，85B.C.65,−85D.（答案：D解析：法一：因为a与b的方向相反，所以可设b＝（3t，－4t）（t＞0），又｜b｜＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2（舍去），所以b＝（6，－8）.法二：由两向量方向相反，排除A，B，又｜b｜＝10，排除C.3.如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE的中点.若AB＝a，AC＝b，则AO＝（）A.12a＋12bB.12aC.14a＋12bD.14a答案：B解析：∵在△ABC中，BE是AC边上的中线，∴AE＝12AC.∵O是∴AO＝12（AB＋AE），∴AO＝12AB又∵AB＝a，AC＝b，∴AO＝12a＋144.（2024·北京）已知向量a＝（－2，1），b＝（m，3）.若a∥b，则m＝（）A.6B.－6C.－32D.答案：B解析：由题设m－2＝31⇒5.（2024·北京）已知向量a＝sinθ，cosθ，b＝3，4，若a∥b，则tan2A.247B.C.－2425D.－答案：A解析：由题意知，a∥b，a＝（sinθ，cosθ），b＝（3，4），所以4sinθ＝3cosθ，得tanθ＝34所以tan2θ＝2tanθ1－tan26.（多选）已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，3），则下列向量与2a＋b平行的是（）A.2，23B.（1，C.（1，－2）D.－答案：AD解析：因为a＝（2，－1），b＝（－1，3），所以2a＋b＝（3，1），故若向量（x，y）满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行.检验易知A，D符合题意.7.（多选）已知向量OA＝（1，－3），OB＝（2，－1），OC＝（m＋1，m－2）.若点A，B，C能构成三角形，则实数m的值可以是（）A.－2B.1C.1D.－1答案：ABD解析：若A，B，C三点不共线即可构成三角形.因为AB＝OB－OA＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），AC＝OC－OA＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1）.假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1，所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形.8.已知a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2bλ1，λ2∈R.若c与b答案：0解析：因为a，b不共线，所以a，b可以作为一个基底，又c与b共线，所以c＝λ2b，所以λ1＝0.9.已知向量a＝（x，2），b＝（－2，1）.若a与2a－b共线，则｜b｜｜答案：1解析：由a＝（x，2），b＝（－2，1），得2a－b＝（2x＋2，3），因为a与2a－b共线，所以3x－2（2x＋2）＝0，解得x＝－4，所以a＝2b，｜b｜｜10.（2024·湖北荆门检测）在△AOB中，AC＝15AB，D为OB的中点.若DC＝λOA＋μOB，则λμ的值为答案：－6解析：因为AC＝15AB，所以AC＝15（OB－因为D为OB的中点，所以OD＝12所以DC＝DO＋OC＝－12OB＋（OA＋＝－12OB＋OA＋15（OB＝45OA－310OB，所以λ＝45故λμ的值为－62511.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，O为△ABC的外心.若AO＝xAB＋yAC，x，y∈R，则2x＋3y＝.答案：5解析：如图所示，过O作三角形三边的垂线，垂足分别为D，E，F，且D，E，F为所在边的中点，过O分别作AB，AC的平行线NO，MO.由题意知cos60°＝AB2＋AC2－则△ABC的外接圆半径r＝BC2sin60°＝21因为OD⊥AB，所以OD＝AO2－AD又因为∠DMO＝60°，所以DM＝23，MO＝4则AM＝13，AN＝MO＝4由题意可知AO＝xAB＋yAC＝AM＋AN，所以x＝AMAB＝16，y＝ANAC所以2x＋3y＝53[B组能力提升练]12.已知四边形ABCD的三个顶点为A（0，2），B（－1，－2），C（3，1），且BC＝2AD，则顶点D的坐标为（）A.2，72C.（3，2）D.（1，3）答案：A解析：设顶点D的坐标为（x，y），∵BC＝（4，3），AD＝（x，y－2），且BC＝2AD，∴2x=413.如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，CD＝xOA＋yBC，则x＋y的值为（）A.－33B.－C.23D.－答案：A解析：以O为原点，OB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，不妨设圆O的半径为1，因为∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，则A（－1，0），B（1，0），D（0，1），C12,−32，所以CD＝－12，1+32，BC＝－所以－12，1+32＝x（－1，即－解得x＝3+33，y＝14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA＝m，DC＝n，AF＝23AE，则DE＝（A.613m＋413nB.413mC.613m＋913nD.913m答案：B解析：由题意得DE＝23FB＝23AB－AF＝23AB－所以139DE＝23AB－49AD，即DE＝613DC＋15.（多选）（2024·广东珠海）在△ABC中，D为AC上一点且满足AD＝13DC，若P为BD上一点，且满足AP＝λAB＋μAC（λ，μ为正实数），则下列结论正确的是（A.λμ的最小值为16B.λμ的最大值为1C.1λ＋14D.1λ＋14答案：BD解析：因为D为AC上一点且满足AD＝13所以AC＝4AD.因为AP＝λAB＋μAC，所以AP＝λAB＋4μAD.因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1，由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2λ·4μ＝4λμ，解得λμ当且仅当λ＝4μ＝12时取等号，故λμ的最大值为116，故A错误，B正确；1λ＋14μ＝1λ＋14μ（λ＋4μ）＝2＋λ当且仅当λ＝4μ＝12故1λ＋14μ的最小值为4，故C错误，16.（多选）（2024·重庆）已知正八边形ABCDEFGH，其中OA＝2，则（）A.2OB＋OE＋OG＝B.OA·OD＝－22C.AH＋EHD.AH＋GH＝4＋答案：ABC解析：分别以HD，BF所在的直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，易知∠AOH＝∠HOG＝∠AOB＝∠EOF＝∠FOG＝∠DOE＝∠COB＝∠COD＝360°8＝45°.作AM⊥HD，垂足为M，则OM＝因为OA＝2，所以OM＝AM＝2，所以A（－2，－2），同理可得其余各点坐标，B（0，－2），E（2，2），G（－2，2），D（2，0），H（－2，0），2OB＋OE＋OG＝（0，－22）＋（2，2）＋（－2，2）＝0，故AOA·OD＝－2×2＋（－2）×0＝－22，故B正确；AH＝（－2＋2，2），EH＝（－2－2，－2），AH＋EH＝（－4，0），所以AH＋EH＝(−4）AH＝（－2＋2，2），GH＝（－2＋2，－2），AH＋GH＝（－4＋22，0），AH＋GH＝(−4+22）2＋0217.已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2）.若ma＋nb＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n的值为.答案：－3解析：由向量a＝（2，1），b＝（1，－2），得ma＋nb＝（2m＋n，m－2n）＝（9，－8），则2m＋n=9，m－218.在直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且ADDB＝2.若CD＝xCA＋yCB，则xy＝答案：2解析：以A为原点，分别以AB，AC的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系（图略），则A（0，0），B（2，0），C（0，2），D43，0，则CD＝43,−2，CA＝（0，－2），CB＝（2，－2），由CD＝xCA＋yCB＝x（0，－2）＋y（2，－2）＝（2y，－2得2y＝则xy＝2919.如图，扇形的半径为1，且OA⊥OB，点C在弧