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2025年高考数学一轮复习-第五章-第二节平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.下列各组向量中,可以作为一组基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(2,-3),e2=1C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(-1,2),e2=(5,7)2.(2024·安徽合肥)设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为()A.-65,85B.C.65,−85D.(3.如图,在△ABC中,BE是边AC的中线,O是BE的中点.若AB=a,AC=b,则AO=()A.12a+12bB.12aC.14a+12bD.14a4.(2024·北京)已知向量a=(-2,1),b=(m,3).若a∥b,则m=()A.6B.-6C.-32D.5.(2024·北京)已知向量a=sinθ,cosθ,b=3,4,若a∥b,则tan2A.247B.C.-2425D.-6.(多选)已知向量a=(2,-1),b=(-1,3),则下列向量与2a+b平行的是()A.2,23B.(1,C.(1,-2)D.-7.(多选)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2).若点A,B,C能构成三角形,则实数m的值可以是()A.-2B.1C.1D.-18.已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2bλ1,λ2∈R.若c与b9.已知向量a=(x,2),b=(-2,1).若a与2a-b共线,则|b||10.(2024·湖北荆门检测)在△AOB中,AC=15AB,D为OB的中点.若DC=λOA+μOB,则λμ的值为11.在△ABC中,AB=2,AC=3,A=60°,O为△ABC的外心.若AO=xAB+yAC,x,y∈R,则2x+3y=.[B组能力提升练]12.已知四边形ABCD的三个顶点为A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为()A.2,72C.(3,2)D.(1,3)13.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,CD=xOA+yBC,则x+y的值为()A.-33B.-C.23D.-14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,若DA=m,DC=n,AF=23AE,则DE=(A.613m+413nB.413mC.613m+913nD.913m15.(多选)(2024·广东珠海)在△ABC中,D为AC上一点且满足AD=13DC,若P为BD上一点,且满足AP=λAB+μAC(λ,μ为正实数),则下列结论正确的是(A.λμ的最小值为16B.λμ的最大值为1C.1λ+14D.1λ+1416.(多选)(2024·重庆)已知正八边形ABCDEFGH,其中OA=2,则()A.2OB+OE+OG=B.OA·OD=-22C.AH+EHD.AH+GH=4+17.已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.18.在直角△ABC中,AB=AC=2,D为AB边上的点,且ADDB=2.若CD=xCA+yCB,则xy=19.如图,扇形的半径为1,且OA⊥OB,点C在弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,则2x+y的最小值是.2025年高考数学一轮复习-第五章-第二节平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.下列各组向量中,可以作为一组基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(2,-3),e2=1C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(-1,2),e2=(5,7)答案:D解析:由于选项A,B,C中的向量e1,e2都共线,故不能作为基底.而选项D中的向量e1,e2不共线,故可作为基底.2.(2024·安徽合肥)设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为()A.-65,85B.C.65,−85D.(答案:D解析:法一:因为a与b的方向相反,所以可设b=(3t,-4t)(t>0),又|b|=10,则9t2+16t2=100,解得t=2或t=-2(舍去),所以b=(6,-8).法二:由两向量方向相反,排除A,B,又|b|=10,排除C.3.如图,在△ABC中,BE是边AC的中线,O是BE的中点.若AB=a,AC=b,则AO=()A.12a+12bB.12aC.14a+12bD.14a答案:B解析:∵在△ABC中,BE是AC边上的中线,∴AE=12AC.∵O是∴AO=12(AB+AE),∴AO=12AB又∵AB=a,AC=b,∴AO=12a+144.(2024·北京)已知向量a=(-2,1),b=(m,3).若a∥b,则m=()A.6B.-6C.-32D.答案:B解析:由题设m-2=31⇒5.(2024·北京)已知向量a=sinθ,cosθ,b=3,4,若a∥b,则tan2A.247B.C.-2425D.-答案:A解析:由题意知,a∥b,a=(sinθ,cosθ),b=(3,4),所以4sinθ=3cosθ,得tanθ=34所以tan2θ=2tanθ1-tan26.(多选)已知向量a=(2,-1),b=(-1,3),则下列向量与2a+b平行的是()A.2,23B.(1,C.(1,-2)D.-答案:AD解析:因为a=(2,-1),b=(-1,3),所以2a+b=(3,1),故若向量(x,y)满足3y-x=0,则该向量与2a+b平行.检验易知A,D符合题意.7.(多选)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2).若点A,B,C能构成三角形,则实数m的值可以是()A.-2B.1C.1D.-1答案:ABD解析:若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1,所以只要m≠1,A,B,C三点即可构成三角形.8.已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2bλ1,λ2∈R.若c与b答案:0解析:因为a,b不共线,所以a,b可以作为一个基底,又c与b共线,所以c=λ2b,所以λ1=0.9.已知向量a=(x,2),b=(-2,1).若a与2a-b共线,则|b||答案:1解析:由a=(x,2),b=(-2,1),得2a-b=(2x+2,3),因为a与2a-b共线,所以3x-2(2x+2)=0,解得x=-4,所以a=2b,|b||10.(2024·湖北荆门检测)在△AOB中,AC=15AB,D为OB的中点.若DC=λOA+μOB,则λμ的值为答案:-6解析:因为AC=15AB,所以AC=15(OB-因为D为OB的中点,所以OD=12所以DC=DO+OC=-12OB+(OA+=-12OB+OA+15(OB=45OA-310OB,所以λ=45故λμ的值为-62511.在△ABC中,AB=2,AC=3,A=60°,O为△ABC的外心.若AO=xAB+yAC,x,y∈R,则2x+3y=.答案:5解析:如图所示,过O作三角形三边的垂线,垂足分别为D,E,F,且D,E,F为所在边的中点,过O分别作AB,AC的平行线NO,MO.由题意知cos60°=AB2+AC2-则△ABC的外接圆半径r=BC2sin60°=21因为OD⊥AB,所以OD=AO2-AD又因为∠DMO=60°,所以DM=23,MO=4则AM=13,AN=MO=4由题意可知AO=xAB+yAC=AM+AN,所以x=AMAB=16,y=ANAC所以2x+3y=53[B组能力提升练]12.已知四边形ABCD的三个顶点为A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为()A.2,72C.(3,2)D.(1,3)答案:A解析:设顶点D的坐标为(x,y),∵BC=(4,3),AD=(x,y-2),且BC=2AD,∴2x=413.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,CD=xOA+yBC,则x+y的值为()A.-33B.-C.23D.-答案:A解析:以O为原点,OB所在直线为x轴,过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示,不妨设圆O的半径为1,因为∠CBA=60°,∠ABD=45°,则A(-1,0),B(1,0),D(0,1),C12,−32,所以CD=-12,1+32,BC=-所以-12,1+32=x(-1,即-解得x=3+33,y=14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,若DA=m,DC=n,AF=23AE,则DE=(A.613m+413nB.413mC.613m+913nD.913m答案:B解析:由题意得DE=23FB=23AB-AF=23AB-所以139DE=23AB-49AD,即DE=613DC+15.(多选)(2024·广东珠海)在△ABC中,D为AC上一点且满足AD=13DC,若P为BD上一点,且满足AP=λAB+μAC(λ,μ为正实数),则下列结论正确的是(A.λμ的最小值为16B.λμ的最大值为1C.1λ+14D.1λ+14答案:BD解析:因为D为AC上一点且满足AD=13所以AC=4AD.因为AP=λAB+μAC,所以AP=λAB+4μAD.因为P为BD上一点,所以B,P,D三点共线,则有λ+4μ=1,由基本不等式可得1=λ+4μ≥2λ·4μ=4λμ,解得λμ当且仅当λ=4μ=12时取等号,故λμ的最大值为116,故A错误,B正确;1λ+14μ=1λ+14μ(λ+4μ)=2+λ当且仅当λ=4μ=12故1λ+14μ的最小值为4,故C错误,16.(多选)(2024·重庆)已知正八边形ABCDEFGH,其中OA=2,则()A.2OB+OE+OG=B.OA·OD=-22C.AH+EHD.AH+GH=4+答案:ABC解析:分别以HD,BF所在的直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,易知∠AOH=∠HOG=∠AOB=∠EOF=∠FOG=∠DOE=∠COB=∠COD=360°8=45°.作AM⊥HD,垂足为M,则OM=因为OA=2,所以OM=AM=2,所以A(-2,-2),同理可得其余各点坐标,B(0,-2),E(2,2),G(-2,2),D(2,0),H(-2,0),2OB+OE+OG=(0,-22)+(2,2)+(-2,2)=0,故AOA·OD=-2×2+(-2)×0=-22,故B正确;AH=(-2+2,2),EH=(-2-2,-2),AH+EH=(-4,0),所以AH+EH=(−4)AH=(-2+2,2),GH=(-2+2,-2),AH+GH=(-4+22,0),AH+GH=(−4+22)2+0217.已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.答案:-3解析:由向量a=(2,1),b=(1,-2),得ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),则2m+n=9,m-218.在直角△ABC中,AB=AC=2,D为AB边上的点,且ADDB=2.若CD=xCA+yCB,则xy=答案:2解析:以A为原点,分别以AB,AC的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),C(0,2),D43,0,则CD=43,−2,CA=(0,-2),CB=(2,-2),由CD=xCA+yCB=x(0,-2)+y(2,-2)=(2y,-2得2y=则xy=2919.如图,扇形的半径为1,且OA⊥OB,点C在弧

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